第06讲 整式乘法（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第06讲 整式乘法（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】单项式与单项式相乘 1. 单项式乘法法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 . 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各单项式系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里. 3. 单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【知识点02】单项式与多项式相乘 1.单项式与多项式的乘法法则  单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为n(a+b+c)=na+ nb+nc． 2. 单项式与多项式相乘的几何解释 如图8.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a+b+c)，也可以将大长方形的面积视为三个小长方形的面积之和，即pa+pb+pc. 所以p (a+b+c)=pa+pb+pc. 【知识点03】多项式与多项式相乘 1. 多项式与多项式的乘法法则  多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图8.2-2，大长方形的面积可以表示为(a+b)(p+q)， 也可以将大长方形的面积看成四个小长方形的面积之和， 即ap+aq+bp+bq. 所以(a+b)(p+q)= ap+aq+bp+bq. 【题型一】计算单项式乘单项式 例1．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）计算结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·安徽六安·期中）计算的结果等于 ． 变式2．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）计算： 【题型二】利用单项式乘法求字母或代数式的值 例2．（23-24七年级·安徽淮南·月考）已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 变式2．若，求的值． 【题型三】计算单项式乘多项式及求值 例3．（22-23七年级下·安徽合肥·月考）与的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．前式是后式的倍 D．前式是后式的a倍 变式1．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）计算：y（x+y）＝ ． 变式2．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）先化简，再求值，其中． 【题型四】单项式乘多项式的应用 例4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，“”的地方被墨水弄污了，则“”内应填写的式子是（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·安徽六安·期中）有一块三角形的铁板，其中一边的长为，这边上的高为a，那么此三角形板的面积是 ． 变式2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米． (1)用含x的代数式表示 米， 米； (2)用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）． 【题型五】利用单项式乘多项式求字母的值 例5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 变式2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【题型六】计算多项式乘多项式 例6．（24-25七年级下·安徽六安·月考）若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）计算： ． 变式2．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）试说明多项式的值与x的取值无关． 【题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法 例7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值分别为（    ） A．7， B．1， C．， D．7，12 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若，则 ． 变式2．（23-24七年级下·全国·单元测试）在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【题型八】已知多项式乘积不含某项求字母的值 例8．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）多项式，，若的展开式中不含项，则 ． 变式2．（22-23七年级下·安徽淮北·期中）已知与的乘积中不含和的项，求m，n的值. 【题型九】多项式乘多项式——化简求值 例9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·安徽六安·月考）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：其中． 【题型十】多项式乘多项式与图形面积 例10．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各15张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，若小明要拼出一个宽为，长为的大长方形，则他准备的C类卡片（   ） A．够用，剩余0张 B．够用，剩余2张 C．不够用，还缺1张 D．不够用，还缺2张 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该长方形农场长30米，宽20米，要求在农场内修筑同样宽的三条道路(图中阴影部分)，余下部分作为试验田，若设道路的宽为x米，则试验田的面积用代数式表示为 米．(按x的降幂排列) 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片，其面积分别为．图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． (1)求的值； (2)若，求长方形的周长； (3)在（2）的前提下，若长方形在边上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 【题型十一】多项式乘法中的规律性问题 例11．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 变式1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列等式：；；，…，小明发现其中蕴含着一定的运算规律．并利用这个运算规律求出了式子 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是杨辉三角与（其中为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)直接写出：________；________． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：________，________； ②求的值． 【题型十二】整式乘法混合运算 例12．一个长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个箱子的体积为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知，，，若的值与的取值无关，则的值为 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：． 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； (1)第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为________． (2)第个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：________________________，请补全等式并说明它的正确性． 一、单选题 1．的运算结果是（　　） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则的值为（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知(x+a)(x+b)=x2-11x+18，则a+b的值为（    ） A．-11 B．11 C．-18 D．18 7．甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别，，则（   ） A． B． C． D． 8．小聪在学校的社团《数学新天地》读物里阅读到“整式串”的题目．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作， ①第二次操作后整式串为：a，，3，a，； ②第二次操作后，当，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有18个整式； ④第2024次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 9．如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 10．如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（　　） A．210 B．156 C．136 D．120 二、填空题 11．计算 ． 12．如图，若长方形的长为、宽为，周长为18，面积为17，则的值是 ． 13．若，则的值是 ． 14．如图，在一块长为、宽为的长方形土地上，四个角各有一块边长为的正方形草坪，其中阴影部分为花坛，则花坛的面积为 ． 15．如果用张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张长、宽分别为的长方形纸片，拼成一个长为，宽为的大长方形，则 ， ， ． 16．定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 三、解答题 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．已知，求的值． 20．有这样一道题，求代数式的值：，其中，．小明做题时不小心把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请问这是怎么回事？请通过计算说明理由． 21．计算： (1)． (2)． (3)． 22．已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 23．小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求a，b的值； (2)计算出正确的结果． 24．阅读下面问题：你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． (1)先填空：①__________． ②_________； ③_________． ④由此猜想_________． (2)利用得出的结论计算： 25．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式 ． (2)的展开式共有 项，系数和为 ． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期 ． (4)直接写出的展开式中第三项的系数 ． (5)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 整式乘法（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】单项式与单项式相乘 1. 单项式乘法法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 . 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各单项式系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里. 3. 单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【知识点02】单项式与多项式相乘 1.单项式与多项式的乘法法则  单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为n(a+b+c)=na+ nb+nc． 2. 单项式与多项式相乘的几何解释 如图8.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a+b+c)，也可以将大长方形的面积视为三个小长方形的面积之和，即pa+pb+pc. 所以p (a+b+c)=pa+pb+pc. 【知识点03】多项式与多项式相乘 1. 多项式与多项式的乘法法则  多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图8.2-2，大长方形的面积可以表示为(a+b)(p+q)， 也可以将大长方形的面积看成四个小长方形的面积之和， 即ap+aq+bp+bq. 所以(a+b)(p+q)= ap+aq+bp+bq. 【题型一】计算单项式乘单项式 例1．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式的乘法法则求解即可求得答案． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式的乘法，解题的关键是熟记运算法则． 变式1．（22-23七年级下·安徽六安·期中）计算的结果等于 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 变式2．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）计算： 【答案】 【知识点】合并同类项、计算单项式乘单项式 【分析】根据单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握幂的运算是解题的关键． 【题型二】利用单项式乘法求字母或代数式的值 例2．（23-24七年级·安徽淮南·月考）已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 变式2．若，求的值． 【答案】 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】首先利用单项式乘法可得，进而得到，再把两个方程相加可得答案． 【详解】解：， 则， ∴， 即， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【题型三】计算单项式乘多项式及求值 例3．（22-23七年级下·安徽合肥·月考）与的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．前式是后式的倍 D．前式是后式的a倍 【答案】B 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘以多项式的计算法则分别计算出两个式子的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴， ∴与的关系是互为相反数， 故选B． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，正确计算出两个式子的结果是解题的关键． 变式1．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）计算：y（x+y）＝ ． 【答案】xy+y2/ y2+ xy 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】应用乘法分配律进行计算； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式，解题关键正确应用乘法分配律进行计算． 变式2．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 【题型四】单项式乘多项式的应用 例4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，“”的地方被墨水弄污了，则“”内应填写的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，根据运算法则，将单项式分别乘以多项式中的每一项，再合并结果即可确定答案，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故“”内应填写的式子是， 故选：A． 变式1．（22-23七年级下·安徽六安·期中）有一块三角形的铁板，其中一边的长为，这边上的高为a，那么此三角形板的面积是 ． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】根据三角形的面积公式底高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据三角形的面积公式得： ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式，掌握三角形的面积公式底高和单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 变式2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米． (1)用含x的代数式表示 米， 米； (2)用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）． 【答案】(1)； (2)平方米 【知识点】列代数式、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了列式表示数量关系，长方形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据长方形的性质即可得到，，根据线段的和差关系可用含x的代数式表示的长度； （2）根据长方形的面积公式求出答案即可． 【详解】（1）解：∵①②③三个长方形区域的面积相等， ∴， ∴，， ∴米， ∴米； （2）解：长方形的面积为： 平方米． 【题型五】利用单项式乘多项式求字母的值 例5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式乘单项式、利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 变式2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【答案】0 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 【题型六】计算多项式乘多项式 例6．（24-25七年级下·安徽六安·月考）若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，先计算，结合已知可得，，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ 与右边 对比，系数相等可得： ∴，，， 解得：，，， ∴，，， ∴D选项结论不正确，符合题意； 故选：D. 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）计算： ． 【答案】8 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案． 【详解】解： ．     故答案为：8 变式2．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】见解析 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】根据单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式的法则将原式化简，即可作出判断． 【详解】解： ； 所以原多项式的值与x的取值无关． 【点睛】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 【题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法 例7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值分别为（    ） A．7， B．1， C．， D．7，12 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式的乘法将左边多项式展开后与右边比较对应项的系数，即可确定a和b的值． 【详解】解：左边展开： ， ∵右边为， ∴，． 因此，和的值分别为1和， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．先利用多项式乘多项式法则计算等号的左边，再根据等式的性质确定p、q，然后再求解即可． 【详解】解：， 又， ，， ， 故答案为：8． 变式2．（23-24七年级下·全国·单元测试）在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【答案】(1) (2)①②③④ 【知识点】计算多项式乘多项式、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察阅读材料得到结果即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④． 故答案为：①；②；③；④． 【题型八】已知多项式乘积不含某项求字母的值 例8．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ∵多项式不含x的二次项， ∴， ∴， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）多项式，，若的展开式中不含项，则 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出两个多项式的乘积，再根据乘积展开式中不含项，列出关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积的展开式中不含项， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．（22-23七年级下·安徽淮北·期中）已知与的乘积中不含和的项，求m，n的值. 【答案】， 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】利用多项式乘多项式法则计算得到结果，根据结果不含和的项，确定出与的值即可． 【详解】解：根据题意得： ， 与的乘积中不含和的项， ，， 解得：，． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型九】多项式乘多项式——化简求值 例9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用多项式乘多项式的运算法则将整式展开是解题的关键． 先利用多项式乘多项式的运算法则将整式展开，再将，代入计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：A． 变式1．（23-24七年级下·安徽六安·月考）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【答案】 9 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：其中． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则化简，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解： 原式 ， 把代入上式得： 原式 ． 【题型十】多项式乘多项式与图形面积 例10．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各15张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，若小明要拼出一个宽为，长为的大长方形，则他准备的C类卡片（   ） A．够用，剩余0张 B．够用，剩余2张 C．不够用，还缺1张 D．不够用，还缺2张 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【详解】解：大长方形的面积为，C类卡片的面积为， ∴需要C类卡片的张数是13， ∴够用，剩余2张， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该长方形农场长30米，宽20米，要求在农场内修筑同样宽的三条道路(图中阴影部分)，余下部分作为试验田，若设道路的宽为x米，则试验田的面积用代数式表示为 米．(按x的降幂排列) 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的应用，设道路的宽为x米，根据题意列式计算求解即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， ． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片，其面积分别为．图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． (1)求的值； (2)若，求长方形的周长； (3)在（2）的前提下，若长方形在边上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据长方形面积公式，结合图形得出，，然后代入，利用多项式乘法运算法则化简整式即可； （2）先把，代入，进行整式运算，得出，表示出，然后对因式分解为，结合长方形宽为，得出长为，最后根据长方形周长公式，计算出周长为． （3）先根据长方形面积公式求出，且已知．然后计算，化简得到，再配方为．结合，判断，从而得出． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴； （2）解：； ， 长方形落在边上的长为； ∴长方形的周长为； （3）解：，理由如下： 依题意， ，则 ， 即． 【题型十一】多项式乘法中的规律性问题 例11．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，首先确定含的项是的展开式中的第二项，再根据杨辉三角可得展开式中的第二项系数为n，据此可得答案． 【详解】解：由图中规律可知： 含的项是的展开式中的第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，可知展开式中的第二项系数为n， ∴的展开式中的第二项系数为， 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列等式：；；，…，小明发现其中蕴含着一定的运算规律．并利用这个运算规律求出了式子 ． 【答案】 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了规律探究－多项式乘以多项式，根据所给算式总结规律求解即可． 【详解】解：∵； ； ， …， ∴， ∴ ． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是杨辉三角与（其中为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)直接写出：________；________． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：________，________； ②求的值． 【答案】(1)， (2)①1，6；② 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了与多项式乘法有关的规律探索，得到前几个式子的各项系数的规律是解题的关键． （1）由可求展开式，由杨辉三角可得展开式中系数为，即可求解展开式； （2）①由系数为，即可求解中的系数； ②把代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 将用替代可得 由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴， 故答案为：，； （2）解：①由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴系数为， ∴中系数， 故答案为：1，6； ②当时，， 即． 【题型十二】整式乘法混合运算 例12．一个长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个箱子的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式乘法的应用，能够列出乘法式子正确计算是解题关键．先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【详解】解：这个箱子的体积为： ， 故选∶B 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知，，，若的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式乘法混合运算 【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，熟练掌握代数式求值是关键． 首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与的取值无关，可得的系数是0，据此求出的值． 【详解】解：，，， ， 的值与的取值无关， ， 故答案为：0． 变式2．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：． 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； (1)第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为________． (2)第个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：________________________，请补全等式并说明它的正确性． 【答案】(1)25 (2)，，，证明见解析 【知识点】整式乘法混合运算、有理数四则混合运算 【分析】此题考查了新定义，整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据“三角形数”的定义进行求解即可； （2）由题意得到等式，根据整式的混合运算进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为：； （2）第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：， 证明： 右边． ∴等式成立． 故答案为：，， 一、单选题 1．的运算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题考查的是单项式乘单项式的运算法则，掌握其运算法则是解决此题的关键． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式法则，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．要熟记单项式与多项式的每一项都相乘，不要漏项． 根据单项式乘以多项式法则，对各选项计算后利用排除法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 3．某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算．首先根据整式的减法法则求出原来的多项式，再根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案． 【详解】解： ， ． 故选：C． 4．如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则的值为（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式及求代数式的值；根据题意得；再把代数式用多项式乘多项式法则展开，整体代入即可求解． 【详解】解：∵长方形的周长为18，面积为17， ∴， 即； ∴； 故选：A． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，单项式乘以多项式运算法则，即可解答． 【详解】解：A. ，故选项A计算不正确，不符合题意； B. ，故选项B计算不正确，不符合题意； C. ，故选项C计算正确，符合题意； D. ，故选项D计算不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项以及单项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记合并同类项，单项式乘以多项式的运算法则． 6．已知(x+a)(x+b)=x2-11x+18，则a+b的值为（    ） A．-11 B．11 C．-18 D．18 【答案】A 【分析】(x+a)(x+b)＝x2+（a＋b）x+ab，根据多项式相等则对应项的系数相同，据此即可求解． 【详解】解：(x+a)(x+b)＝x2+（a＋b）x+ab， ∵(x+a)(x+b)=x2-11x+18， ∴x2+(a＋b)x+ab=x2-11x+18， ∴a＋b＝−11，ab＝18． 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式的乘法法则，理解多项式相等的条件是关键． 7．甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，用多项式乘以多项式的法则求出两个长方形的面积，相减即可． 【详解】解： ； 故选A． 8．小聪在学校的社团《数学新天地》读物里阅读到“整式串”的题目．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作， ①第二次操作后整式串为：a，，3，a，； ②第二次操作后，当，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有18个整式； ④第2024次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，整式的乘法，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）和平方差公式是解题关键．根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】解：第一次操作后的整式串为：a，3，， 第二次操作后的整式串为a，，3，a，， 即a，，3，a，，故①的结论正确，符合题意； 第二次操作后整式的积为， ， ，即， ， 即第二次操作后，当时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意； 第三次操作后整式串为 第四次操作后整式串为共17个，故③的说法错误，不符合题意； 第一次操作后所有整式的和为， 第二次操作后所有整式的和为， 第三次操作后所有整式的和为， ， 第n次操作后所有整式的积为， ∴第2024次操作后，所有的整式的和为， 故④的说法正确，符合题意；        正确的说法有①④，       故选：D． 9．如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式运算的实际应用，设小正方形的边长为，易得，根据阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，得到，进而求出的值，根据正方形的边长相等，得到，进行求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由题意，得： 则：， ∴ 阴影部分（四个直角三角形）的面积为：， 正方形面积的面积为， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴； 故选C． 10．如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（　　） A．210 B．156 C．136 D．120 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法中的找规律，正确掌握找规律的方法是解题的关键． 根据题意，得出展开式中第三项的系数的规律，再根据规律计算即可求解． 【详解】解：根据题意，可得展开式中第三项的系数为： 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为． 故选：D． 二、填空题 11．计算 ． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则即可求解． 【详解】解：． 故答案为： ． 【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知其运算法则．单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式． 12．如图，若长方形的长为、宽为，周长为18，面积为17，则的值是 ． 【答案】131 【分析】本题主要考查整式乘法的应用，根据题意得，，把进行变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴ ， 故答案为：131． 13．若，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在一块长为、宽为的长方形土地上，四个角各有一块边长为的正方形草坪，其中阴影部分为花坛，则花坛的面积为 ． 【答案】 【解析】略 15．如果用张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张长、宽分别为的长方形纸片，拼成一个长为，宽为的大长方形，则 ， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．根据拼接前后纸片的总面积相等进行求解即可． 【详解】解：依题意， ∴，， 故答案为：，，． 16．定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式、单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】31 【分析】本题主要考查代数式的化简与求值，涉及完全平方公式和分配律的应用，以及合并同类项．其中正确展开平方项，正确处理减号后的运算符是解题的关键． 利用完全平方公式展开，利用分配律展开乘法项，将展开后的所有项合并进行化简，代入值并计算最终结果． 【详解】解：原式展开并化简得 = = 当时， = ． 19．已知，求的值． 【答案】， 【分析】首先利用整式的乘法计算出等号左面的算式，与等号右边的式子对应，得到关于a，b的方程，解之即可． 【详解】解： ∴，，， 解得：，． 【点睛】此题考查整式的乘法，以及多项式的意义，注意对应项的指数与系数的关系． 20．有这样一道题，求代数式的值：，其中，．小明做题时不小心把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请问这是怎么回事？请通过计算说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式以及单项式乘以单项式的运算，整式的加减计算，解题的关键是熟练掌握运算法则．先利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式以及单项式乘以单项式的运算法则计算化简，得到结果不含有，即可判断． 【详解】解：原式 ． ∵化简后不含字母y， ∴代数式的值与y的值无关， ∴他的计算结果也是正确的． 21．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案； （2）用单项式乘多项式的每一项即可； （3）运用多项式乘多项式和去括号的法则先计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 22．已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，同类项的合并，多项式项的系数，幂的运算及负整数指数幂的运算．先根据多项式乘法法则求出两个多项式的乘积，再根据不含项和项这一条件求出m、n的值，最后代入计算结果． 【详解】解：， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， ∴，， ∴， ∴． 23．小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求a，b的值； (2)计算出正确的结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，   ， ∴，， 解得，； （2）解：由（1）可得：． 24．阅读下面问题：你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． (1)先填空：①__________． ②_________； ③_________． ④由此猜想_________． (2)利用得出的结论计算： 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，多项式乘法中规律性问题，掌握题中规律并正确计算是解题的关键． （1）根据平方差公式可得①，根据多项式乘多项式可求②、③，根据①、②、③规律可求④； （2）将式子乘以，利用（1）中规律求解即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④由此猜想， 故答案为：，，，； （2）解： ． 25．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式 ． (2)的展开式共有 项，系数和为 ． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期 ． (4)直接写出的展开式中第三项的系数 ． (5)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)二 (4)420 (5)2 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键： （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）根据给出的等式，得出规律进行作答即可； （3）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案； （4）求出的第三项为，令，进行求解即可； （5）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 ； （2）观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项， 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 依次类推，的展开式的系数和为； （3）∵，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （4）的展开式的第三项为， 的展开式的第三项为； 的展开式的第三项为； ∴的展开式的第三项为， ∴的展开式的第三项为 ∴的展开式的第三项的系数为； （5）∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $