第 2 章 二元一次方程组 章节讲义（11知识详解+27典例分析）2025-2026学年浙教版七年级数学下册同步讲义与测试

第 2 章 二元一次方程组 章节（11知识详解+27典例分析） 【知识点01】二元一次方程的概念 1.二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作二元一次方程。 2.二元一次方程必须同时满足三个条件：→识别二元一次方程的方法 （1）是整式方程； （2）含有两个未知数； （3）含有未知数的项的次数都是一次（而不是未知数的次数是一次，如5xy+1=0 ,两个未知数的次数都是一次，但含未知数的项5xy 的次数是二次，故其不是二元一次方程） 示例 二元一次方程 【知识点02】二元一次方程的解 1.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫作二元一次方程的一个解。 2.判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法 敲黑板 二元一次方程的解的特点 （1）二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示。 （2）二元一次方程有无数个解，但如果对未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个解。 【知识点03】二元一次方程的变形 把一个二元一次方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的一元一次方程。 【知识点04】二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫作二元一次方程组。例如， 都是二元一次方程组。 2.二元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）两个整式方程；（2）方程组中一共含有两个未知数； 并不是每个方程都必须含有两个未知数 （3）含有未知数的项的次数都是一次。 示例 二元一次方程组 【知识点05】二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫作这个二元一次方程组的解。例如， 就是二元一次方程组的解。 2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法 敲黑板 二元一次方程组的解的特点 （1）二元一次方程组的解要用大括号联立起来，分两行书写，如方程组的解应写成 （2）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，如方程组无解，方程组有无数组解。 【知识点06】列表尝试求二元一次方程组的解 由于二元一次方程一般有无数个解，故要求二元一次方程组的解，只需求出方程组中各个方程的解的公共部分，可通过列表尝试求出方程组的解。 【知识点07】用代入消元法解二元一次方程组 1.消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想，也就是把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。 2.代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法。 3.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示。 将一个方程变形为𝑦=𝑎𝑥+𝑏(或 𝑥=𝑎𝑦+𝑏)(𝑎，𝑏 是常数，𝑎≠0) 的形式。 一般选未知数系数比较简单的方程变形。 ②代入求值 用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值。 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。 变形后的方程只能代入另一个没有变形的方程。 ③回代 把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值。 求出另一个未知数的值。 一般代入变形后的方程。 ④写解 写出方程组的解。 表示为 的形式。 用“｛”将未知数的值联立起来。 敲黑板 代入消元法选取变形方程的原则 （1）选择未知数的系数是1或−1的方程； （2）选择常数项为0的方程； （3）若未知数的系数都不是1或−1，选系数的绝对值较小的方程。 【知识点08】用加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法：对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数互为相反数或相同时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。 使两方程相减（或相加）能消去该未知数。 当某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘。 ②加减 通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 将二元一次方程组转化为一元一次方程。 把两个方程相减（或相加）时，一定要把两个方程等号两边分别相减（或相加）。 ③求解 解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。 求出一个未知数的值。 ④回代 将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另一个未知数的值。 求出另一个未知数的值。 回代时选择系数较简单的方程。 ⑤写解 写出方程组的解。 表示为 的形式。 用“｛”将未知数的值联立起来。 解题通法 用加减消元法求解二元一次方程组的技巧 （1）若两方程中同一个未知数的系数的绝对值相等，则直接加减消元； （2）若同一个未知数的系数的绝对值不相等，则应先选一个或两个方程进行变形，使同一个未知数的系数的绝对值相等; （3）若方程组较复杂，则应先化简整理,再求解。 【知识点09】列二元一次方程组解决实际问题的步骤 1.当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程。要注意的是，必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，才能组成二元一次方程组。 2.列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤： （1）理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系； （2）制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组； （3）执行计划：列出方程组并求解，得到答案； （4）回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意。 注意：（1）一般来说，设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组。 （2）设未知数及写答时，都要写清单位。 【知识点10】三元一次方程（组）及其解的概念 1.三元一次方程：和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程。 2.三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫作三元一次方程组。例如， 就是三元一次方程组。每一个方程中不一定都含有三个未知数，只要保证方程组中一共有三个未知数即可 三元一次方程组必须同时满足三个条件 （1）方程组中一共含有三个未知数； （2）含有未知数的项的次数都是一次； （3）有三个方程。 3.三元一次方程组的解：同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫作这个三元一次方程组的解。 【知识点11】解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 2.解三元一次方程组的一般步骤： （1）消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 （2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值。 （3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中含有第三个未知数的方程中，得到一个一元一次方程。 （4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值。 （5）写解：将求得的三个未知数的值用“{ ”写在一起。 【题型一】二元一次方程的定义 1．（24-25七年级下·浙江温州·月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、中包含3个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、，未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知，则 时，它是关于x，y的二元一次方程． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 【题型二】二元一次方程的解 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列是方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值是二元一次方程的解，把未知数的值代入二元一次方程，如果左右两边的值相等，则未知数的值是二元一次方程的解，否则不是二元一次方程的解． 【详解】解：A选项：把代入， 可得：左边右边， 是方程的解， 故A选项符合题意； B选项：把代入， 可得：左边右边， 不是方程的解， 故B选项不符合题意； C选项：把代入， 可得：左边右边， 不是方程的解， 故C选项不符合题意； D选项：把代入， 可得：左边右边， 不是方程的解， 故D选项不符合题意． 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】根据方程的解的定义，将代入求出a的值即可． 本题主要考查了二元一次方程的解的定义，能够使方程成立的一组未知数的值叫做方程的解．理解方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得：． 故答案为：． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组是二元一次方程组，二元一次方程组中的各个方程应是整式方程，根据定义解答． 【详解】解：A、方程组含三个未知数x、y、z，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组仅含x、y两个未知数，且均为一次整式方程，是二元一次方程组，符合题意； C.、第一个方程含项，次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； D、第一个方程含分式，不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 6．（2023七年级下·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (2)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (3)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (4)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (5)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (6)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】（1）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （2）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （3）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （4）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （5）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （6）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． 【详解】（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （3）中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （6）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键． 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 7．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列各组数是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【详解】解：A．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故A不符合题意； B．将代入方程，左边右边，所以是方程的解，故B符合题意； C．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故C不符合题意； D．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故D不符合题意． 故选：B． 8．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）下列各组x，y的值：①，②，③，④中， 是方程的解； 是方程的解； 是方程组的解．（填序号） 【答案】 ②④/④② ①②③ ② 【知识点】二元一次方程的解、判断是否是二元一次方程组的解 【分析】分别把四组值代入两个方程，如果方程左右两边相等则是方程的解，如果左右两边不相等则不是方程的解． 【详解】解：当时，， ∴不是方程的解，是方程的解； 当时，， ∴是方程的解，是方程的解； 当时，， ∴不是方程的解，是方程的解； 当时，， ∴是方程的解，不是方程的解； 故答案为：②④；①②③；②． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 9．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）已知，若，则m的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 利用整体思想，将两个方程相减，再整体代入解题即可． 【详解】 得 因为 所以 所以． 故选：A． 10．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若关于的方程有一组解是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意，把解代入计算即可求解． 【详解】解：关于的方程有一组解是， ∴， 解得，， 故答案为： ． 11．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】把代入到方程组中得到关于a、b的方程组，接方程组即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确计算是解题的关键． 【题型六】代入消元法 12．（24-25七年级下·浙江温州·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，将代入，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用代入消元法变形即可得到结果，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 【详解】解：将代入得，， 故选：． 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）已知、满足关系式，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程．把x看作已知，求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2)． 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用整体代入消元法求解即可； （2）方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得， 解得， 把代入②得， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解：， 把②代入①得， 解得， 把代入②得， ∴方程组的解为：． 【题型七】加减消元法 15．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 通过将两个方程相加，可以直接得到的值，从而确定k的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加得， 两边同时除以3得：， 根据题意，， 故． 故选：C． 16．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知，则 ． 【答案】2 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了加减消元法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程组的两个方程加起来，得到，进而得到． 【详解】解： 将①②，得： ， ． 故答案：2． 【题型八】二元一次方程组的特殊解法 17．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键． 将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数值即可求解． 【详解】解：变形为 由题意得：， 解得：． 故选：B． 18．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)没有，理由见详解 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【详解】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 【题型九】构造二元一次方程组求解 19．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如表格所示，在方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（ ） 0 5 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组并利用加减消元法求解是解决问题的关键．根据题意，可得，解二元一次方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意可得 ， 解得， 故选：A． 20．（22-23七年级下·浙江湖州·期中）公式可以用来求正方形网格中顶点为格点的多边形面积，其中x表示多边形内部格点数，y表示多边形边上格点数.例如：图中三角形ABC中，，，；图中三角形DEF中，，，.请借助上面提供的网格求出，时， .    【答案】 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】根据题意，列出二元一次方程组，解方程组求得的值，代入公式即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： ∴ ∴当，时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意求得的值是解题的关键． 【题型十】已知二元一次方程组的解的情况求参数 21．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可． 【详解】解：， 得，即， ∵是整数，方程组有正整数解， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 综上，． 故选：C． 22．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组． (1)若关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值． (2)判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗?并说明理由． 【答案】(1) (2)是“等解”方程组，理由见解析 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解． （1）根据“等解”方程组的定义得，即可得，解方程组即可求出m的值； （2）方程组中的两个方程相减得，整理后可得，再由得，，进而得，根据“等解”方程组的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组为“等解”方程组， ∴， ∴， 解得， 即m的值为； （2）解：是“等解”方程组，理由如下： ， 得， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组． 【题型十一】二元一次方程组的错解复原问题 23．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 24．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知关于x，y的方程组，由于甲看错了方程(1)中的a得到方程组的解为，乙看错了方程(2)中的b得到方程组的解为，求的值． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把代入(2)得出，求出，把代入(1)得出，求出即可． 【详解】 解：， 把 代入(2)，得， 解得：， 把代入(1)，得， 解得：， 所以． 【题型十二】方程组相同解问题 25．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于，的方程组和有相同的解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】方程组相同解问题 【分析】先将两个方程组中不含字母、的两个方程联立，求得方程组的解，然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于、的二元一次方程组，进而确定、的值，代入求解即可． 【详解】解：根据题意可得， 得：， 解得：， 将代入，得， 解得：， ∴； 将代入，得， ，得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的同解问题，建立不含字母项的新二元一次方程组，并求解是解题的关键． 26．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）关于x、y的方程组与有相同的解，则 ． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题，代数式求值，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．根据题意重组方程组，先解方程组得，再代入方程组，得到关于、的方程组求解，再计算求值即可． 【详解】解：关于x、y的方程组与有相同的解， 关于x、y的方程组与有相同的解， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：. 【题型十三】根据几何图形列二元一次方程组 27．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，一幅宣传画的四周镶嵌宽度为m的花边，镶好后整幅作品的周长比宣传画的周长多16，面积比宣传画的面积大32，则宣传画的周长是(   ) A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，设宣传画的一边长为x，另一边长为y，根据等量关系列出方程组，根据矩形的周长公式即可求解，找准等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设宣传画的一边长为x，另一边长为y， 则， ， 故选：B． 28．（22-23七年级下·浙江温州·期中）小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ．    【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据小明和小红拼的图形，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形的周长为， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型十四】根据实际问题列二元一次方程组 29．（24-25七年级下·浙江台州·期末）《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，若每间圈舍都住满，求需要多少间圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程，明确题意，找出等量关系、列出相应的方程是解答本题的关键．根据题目中的等量关系，小圈舍和大圈舍容纳的鹿数总和为50，建立方程即可. 【详解】解：设小圈舍有x间，每间容纳4只鹿，总容纳只；大圈舍有y间，每间容纳6只鹿，总容纳只，根据总鹿数50只， 可得方程：， 即， 故选：C 30．（23-24七年级下·浙江台州·期中）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其中《孙子算经》中记我了这样一个数学问题：一群老人去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老人几个梨？若设有x个老人，y个梨，则可列出的方程组为 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组在古代问题中的应用，明确题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．根据题意列出二元一次方程组，即可作答． 【详解】解：根据题意有：， 故答案为：． 【题型十五】分配问题(二元一次方程组的应用) 31．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比略大些，是，，，，中某个数字，则这个数字是 ，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多 个    【答案】 2005 197 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设做了竖式纸盒个，横式纸盒个，有张长方形纸板．根据所需正方形纸板和长方形纸板的张数列出方程组，再根据未知数均为整数的特点，判断出为的倍数，进而求解． 【详解】解：设张长方形纸板，根据题意列得， ， 得， ， ， 是的倍数， ． ， 解得， 横式纸盒比竖式纸盒多个． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，正确列出二元一次方程组，再根据未知数的特点，判断出长方形纸板的张数正好是的倍数是解题的关键． 32．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值． 【答案】(1)做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒 (2)竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）由（1）结合题意可得：，解比例即可求解． 【详解】（1）解：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张， 由题意可得：，解得： 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）由题意可得：， 解得：x＝3y， ∴x：y＝3， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解，理解题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键． 【题型十六】图表信息题(二元一次方程组的应用) 33．（22-23七年级下·浙江温州·期中）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则，满足公式：，为已知数，则表中 ． 气温 速度米秒 【答案】 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意将；代入公式，进而得出 【详解】解：将；代入： 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确读懂表格中的数据是解题的关键． 34．如图，在的方格内，填写了一些代数式和数． （1）在图1中各行、各列和对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值； （2）在图2余下的方格中填入适当的数，使各行、各列和对角线上三个数之和都相等． 【答案】（1）x=-2，y=5；（2）见解析 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）通过理解题意可知本题的等量关系“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解． （2）根据“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”填写即可． 【详解】解：（1）由题意可得： ， 解得：； （2）如图所示： 【点睛】本题理解题意中“各行、各列及对角线上三个数之和相等”从而列出关于x、y的二元一次方程组，使问题得解．命题立意：考查了方程组的求解． 【题型十七】行程问题(二元一次方程组的应用) 35．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为 ． 【答案】 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据A，B两地路程不变列方程求解即可． 【详解】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： ， 解得：，即， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【题型十八】工程问题(二元一次方程组的应用) 37．某工地派96人去挖土和运土，如果平均每人每天挖土5或运土3，那么该怎样分配挖土和运土的人数，使挖出土的土刚好及时运走？ 【答案】有36人挖土，有60人运土，使挖出土的土刚好及时运走． 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设x人去挖土，y人运土，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设x人去挖土，y人运土， 根据题意得：， 解得：． 答：有36人挖土，有60人运土，使挖出土的土刚好及时运走． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键． 38．（2023七年级下·浙江·专题练习）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． 【答案】(1)甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元． (2)方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营，理由见解析 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“甲、乙两个装修组同时施工8天，需付两组费用共3520元；甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，根据“请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可求出甲、乙两个装修组单独施工所需时间，利用总费用＝（每天需付装修费+200）×装修时间，可求出三个方案所需装修费用及耽误营业损失的费用之和，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元． （2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n， 依题意得：， 解得：， ∴甲组单独完成装修所需时间为（天）， 乙组单独完成装修所需时间为（天）． 施工方案①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（元）； 施工方案②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（元）； 施工方案③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（元）． ∵， ∴方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型十九】几何问题(二元一次方程组的应用) 39．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为 ，与的差为 ． 【答案】 6 3 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了解二元一次方程组的意义，设小长方形的长为a，宽为b，则由题意得，可得到，解得：，设，则，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图： 设小长方形的长为a，宽为b， 则由题意得， 解得：， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为：3． 40．（24-25七年级下·浙江温州·月考）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 【答案】[任务1]，，；[任务2]35 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则，求其整数解，判断的最大值即可． 【详解】解：任务1：由题意得，， ， 解得：； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴， ∴整数解为：或， ∵， ∴的最大值为35． 【题型二十】方案问题(二元一次方程组的应用) 41．某班用700元钱购买足球和篮球共11个，其中篮球单价为50元/个，足球单价为80元/个，若设购买篮球x个，足球y个，则可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据“用700元钱购买足球和篮球共11个，其中篮球单价为50元/个，足球单价为80元/个”，找到等量关系列出方程即可． 【详解】解：设购买篮球x个，购买足球y个，根据“足球和篮球共11个”可x＋y＝11； 根据“两种球共花费了700元”可得买篮球的钱数＋买足球的钱数＝700， 即50x＋80y＝700， 因此可得方程组：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是能够找到题目中的等量关系，难度不大． 42．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）请同学们根据以下素材，完成探索任务： 素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼．拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共． 素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的，而新建教学楼则只完成了计划的，实际拆、建总面积与原计划一致． 素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积． 任务1：填表． 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x _________ 新建教学楼面积 y __________ 任务2：求学校实际新建教学楼面积． 任务3：求扩大的绿化面积． 【答案】任务1：；；任务2：；任务3： 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用： 任务1：根据题意求出拆除旧教学楼的实际面积，新建教学楼的实际面积，即可； 任务2：根据题意，列出方程组，即可求解； 任务3：求出多余资金，即可． 【详解】解：（1）拆除旧教学楼的实际面积为， 新建教学楼的实际面积为， 完成表格如下： 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x 新建教学楼面积 y （2）由题意，得 解得， 此时 答：学校实际新建教学楼面积为． （3）方法一：（元） 方法二：多余资金为， 扩大绿化面积为： 答：扩大的绿化面积为． 【题型二十一】数字问题(二元一次方程组的应用) 43．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ． 【答案】3 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出对应的方程组求解是解题的关键．根据内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等列出方程组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 两式相加得： ， 故答案为：3． 44．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解，对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为． 例如：，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，值等于666，而，所以． （1）计算：_________； （2）若，且，求n的值； （2）若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值． 【答案】（1）13；（2）315或324；（3） 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据F（n）的定义求解． （2）设n的十位数字为a，个位数字为b，表示出新三位数，根据新旧三位数的和得到方程，结合a的范围求出n值即可； （3）由s=100x+43，t=150+y结合F（s）+F（t）=20，即可得出关于x，y的二元一次方程，解出x，y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s），F（t）的值，将其代入k的定义式，求出最小值即可． 【详解】解：（1）对调256的任意两个数位上的数字后得到的三个相异数是：652，265，526， 这三个相异数的和为1443． ∵1443÷111=13， ∴F（n）=13． 故答案为：13． （2）若F（n）=9，则三个新三位数的和为999， ∵300＜n＜330， ∴n百位数字为3，十位数字小于3， 设n的十位数字为a，个位数字为b， 则n=300+10a+b， ∴新三位数为：300+10b+a，100b+10a+3，100a+30+b， ∴300+10b+a+100b+10a+3+100a+30+b=999， ∴a+b=6， ∵十位数字0＜a＜3， ∴a=1，b=5或a=2，b=4， ∴n=315或324． 故答案为：315或324． （3）∵s，t都是“相异数”，其中s=100x+43，t=150+y， ∴F（s）=（403+10x+340+x+100x+34）÷111=x+7， F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6， ∵F（s）+F（t）=20， ∴x+7+y+6=20，得 x+y=7， ∵1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数， 又∵“相异数”定义，x≠4，x≠3，y≠1，y≠5， ∴或， ∴或， ∴或， ∴k的最小值是． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，新定义的阅读理解能力，解题的关键是理解相异数的定义． 【题型二十二】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 45．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：类是三角形桌，每桌可坐3人，类是五边形桌，每桌可坐5人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购．甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对类桌椅涨价、类桌椅降价出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表： A类桌椅（套） B类桌椅（套） 总费用（元） 甲公司 6 5 1900 乙公司 5 5 1700 (1)设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，则乙公司出售一套A类桌椅的售价为______元；一套B类桌椅的售价为______元； (2)求A、B两类桌椅每套的价格分别是多少？ (3)如果该数学实验室需设置48个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、B两类桌椅各多少套时所需费用最少？ 【答案】(1)； (2)A、两类桌椅每套的价格分别是、元； (3)应分别采购A、B两类桌椅分别为1套和9套时，所需费用最小． 【知识点】列代数式、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了代数式求值问题、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用代数式的性质和方程的知识解答． （1）根据题列代数式即可求解； （2）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）设到甲公司采购A类桌椅a套，B类桌椅b套，根据题意可以得到相应的方程，然后根据代数式的性质，即可解答本题，注意． 【详解】（1）解：∵甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对类桌椅涨价、类桌椅降价出售，设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元， ∴乙公司出售一套A类桌椅的售价为元；一套B类桌椅的售价为元， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得， 答：A、两类桌椅每套的价格分别是、元； （3）解：设到甲公司采购A类桌椅a套，B类桌椅b套， 则所需费用为：， ， ， ， ，， 当b取最大值时，费用最小， ， 的最大值是9，此时， 当时，费用取得最小值，最小值为：， 故应分别采购A、B两类桌椅分别为1套和9套时，所需费用最小． 46．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 素材1：学校组织爱心义卖，七年级(1)班选定一家商店采购义卖商品．该商店销售钥匙扣每个4元，玩偶每个2元． 素材2：为支持爱心事业，商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠． 方案二 购买玩偶满50个，立减10元． 问题1：若班委购买钥匙扣和玩偶各40个，一共花费多少元？ 问题2：班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，求钥匙扣和玩偶各购买了多少个？ 问题3：现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，通过计算设计购买方案． 【答案】问题1：元；问题2：钥匙扣购买了50个，玩偶购买了30个；问题3：方案一：当时，；方案二：当时，；方案三：当时，． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． 问题1：利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论； 问题2：设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共个，其中钥匙扣超过个，一共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 问题3：设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】解：问题1：(元) 问题2：解：设购买钥匙扣个，玩偶个， 由题意，得， 解得． 答：钥匙扣购买了50个，玩偶购买了30个． 问题3：解：设购买钥匙扣个，玩偶个， 由题意得，， 则． 方案一：当时，； 方案二：当时，； 方案三：当时，． 【题型二十三】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 47．疫情期间，某单位采购了50包口罩和30瓶消毒液，一共花费1633元，其中消毒液的单价比口罩的单价多2元，求口罩的单价和消毒液的单价．设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据等量关系式：消毒液的单价=口罩的单价+2元，50包口罩+30瓶消毒液=1633元，列出方程组即可． 【详解】解：设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据题意得： ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键． 48．（23-24七年级上·浙江金华·月考）回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到215元，单价为整数） 【答案】(1)见解析 (2)①；②106元 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的实际运用，求解的方法等知识是解题的关键． （1）根据题意，用代数式表示数量关系即可求解； （2）①根据题意列二元一次方程求解即可；②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，可得，根据三种鞋的单价均超过元，不到元，通过代入合适的数字计算即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 合计 上午的销售量 下午的销售量 合计 故答案为：，，，． （2）解：①依题意有：，解得； ②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，依题意有：，即，则， ∵三种鞋的单价均超过元，不到元， ∴，． ∴型鞋的单价可能为元． 【题型二十四】古代问题(二元一次方程组的应用) 49．（24-25七年级下·浙江金华·期末）《九章算术》记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为a，乙持钱为b，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系是解题关键；根据题意，两个等量关系为“甲原有的钱＋乙的一半钱”，“乙原有的钱＋甲钱数的”，由此列出方程组即可． 【详解】设甲持钱为a，乙持钱为b，根据题意列方程得： 故选：D． 50．（23-24七年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中有这样一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙各持钱几何？”大意是：“甲、乙两人各有一些钱，如果将乙的钱的一半给甲，这时甲共有五十钱；如果将甲的钱的三分之二给乙，这时乙也共有五十钱．”设甲有钱，乙有y钱，根据题意可以列出方程组： ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.，设设甲有钱，乙有y钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半，乙的钱+甲所有钱的，据此列方程组可得． 【详解】解：设甲有钱，乙有y钱，根据题意得： ， 故答案为：． 【题型二十五】其他问题(二元一次方程组的应用) 51．（23-24七年级下·浙江·期中）假设同种类每枚硬币的质量相同，仅用一架天平和五个10克的砝码作为工具，小明作了以下记录： 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币和1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币和1个10克的砝码 平衡 记录三 一袋硬币（袋子重量忽略不计） 5个10克的砝码 平衡 记录三的袋子中装了一定数量的壹元硬币和伍角硬币，那袋子中最多有壹元硬币（　　）枚 A．6 B．7 C．8 D．11 【答案】B 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，列出方程组是本题的关键． 设1枚壹元硬币重克，1枚伍角硬币重克，根据题意列二元一次方程组并求解；设袋子中有壹元硬币枚，伍角硬币枚，根据记录三得到一个等式，将用表示出来，根据和均为正整数求出的最大值即可． 【详解】解：设1枚壹元硬币重克，1枚伍角硬币重克． 根据题意，得， 解得， ∴枚壹元硬币重6克，1枚伍角硬币重4克． 设袋子中有壹元硬币枚，伍角硬币枚， 则， 解得， ∵和均为正整数， ∴当时，值最大，此时． 故选：B． 52．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某校为了让学生感受祖国的大好河山，计划组织学生参观某景点．该景点面向学生团队出游推出以下优惠活动： 人数x/人 收费标准/元 50 45 40 经核算，若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元．其中，该校七年级参加人数多于100人、少于200人，八年级参加人数少于100人．问该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少？ 【答案】该校七年级参观该景点的学生人数是 160 人，八年级参观该景点的学生人数是 80 人 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设该校七年级参观该景点的学生人数是人，八年级参观该景点的学生人数是人，根据“若七年级、八年级学生单独组团共需花费 11200 元；若两个年级学生联合组团只需花费 9600元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该校七年级参观该景点的学生人数是人，八年级参观该景点的学生人数是人， （元）， ， ， 根据题意得：， 解得：． 答：该校七年级参观该景点的学生人数是 160 人，八年级参观该景点的学生人数是 80 人． 【题型二十六】三元一次方程组的定义及解 53．若．则k的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】先解出x、y的值，代入③，转化为关于k的方程来解． 【详解】解：由题意可得， ①×3+②得11x-22=0， 解得x=2， 代入①得y=-1， 将x=2，y=-1代入③得， -1-2k+9=0， 解得k=4． 故选：C． 【点睛】本题实质是解三元一次方程组，先用了加减消元法求得x，y后，再求得k的值． 54．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】由得：，，由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， 由得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到，是解题的关键． 55．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）解方程组 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】代入消元法、三元一次方程组的定义及解、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可； （3）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （4）根据加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得：， 把代入②，得， 所以方程组的解是． （2）解：方程组可整理为， 得：，解得：， 把代入②，得， 所以方程组的解是． （3）解：， 得：，即③， 得：， 得：， 则方程组的解为． （4）解：， 得：④， 得：⑤， 得：，即， 把代入④得：， 把，代入③得：， 则方程组的解为 【题型二十七】三元一次方程组的应用 56．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（　　） A．29 B．28 C．27 D．26 【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x，根据图形之间的关系可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x． 由题意得， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， ∴大长方形的周长． 故选：B． 57．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知的周长为，三边、、中，，，则边长 ． 【答案】/10厘米 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．由，可得，因为，所以，再根据三角形的周长为即可求出，继而求出的长． 【详解】解：， ， ， ， 的周长为， ， ， ， 故答案为：． 58．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值. 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需___________元. (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么___________. 【答案】(1)－1 (2)30 (3)-11 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的应用 【分析】（1）两式相减可求出x﹣y的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，即可求出结论； （3）根据“3*5＝15，4*7＝28”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，即可求出1*1的值． 【详解】（1）解： ， 由①﹣②可得x﹣y＝﹣1． 故答案为：﹣1． （2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得： ， 由①×10﹣②×5可得5m+5n+5p＝30， 即购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 故答案为：30． （3）解：依题意得：， 由①×3﹣②×2可得a+b+c＝﹣11， 即1*1＝﹣11． 故答案为：﹣11． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用整体思想，求出x﹣y的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 2 章 二元一次方程组 章节（11知识详解+27典例分析） 【知识点01】二元一次方程的概念 1.二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作二元一次方程。 2.二元一次方程必须同时满足三个条件：→识别二元一次方程的方法 （1）是整式方程； （2）含有两个未知数； （3）含有未知数的项的次数都是一次（而不是未知数的次数是一次，如5xy+1=0 ,两个未知数的次数都是一次，但含未知数的项5xy 的次数是二次，故其不是二元一次方程） 示例 二元一次方程 【知识点02】二元一次方程的解 1.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫作二元一次方程的一个解。 2.判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法 敲黑板 二元一次方程的解的特点 （1）二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示。 （2）二元一次方程有无数个解，但如果对未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个解。 【知识点03】二元一次方程的变形 把一个二元一次方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的一元一次方程。 【知识点04】二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫作二元一次方程组。例如， 都是二元一次方程组。 2.二元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）两个整式方程；（2）方程组中一共含有两个未知数； 并不是每个方程都必须含有两个未知数 （3）含有未知数的项的次数都是一次。 示例 二元一次方程组 【知识点05】二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫作这个二元一次方程组的解。例如， 就是二元一次方程组的解。 2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法 敲黑板 二元一次方程组的解的特点 （1）二元一次方程组的解要用大括号联立起来，分两行书写，如方程组的解应写成 （2）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，如方程组无解，方程组有无数组解。 【知识点06】列表尝试求二元一次方程组的解 由于二元一次方程一般有无数个解，故要求二元一次方程组的解，只需求出方程组中各个方程的解的公共部分，可通过列表尝试求出方程组的解。 【知识点07】用代入消元法解二元一次方程组 1.消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想，也就是把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。 2.代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法。 3.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示。 将一个方程变形为𝑦=𝑎𝑥+𝑏(或 𝑥=𝑎𝑦+𝑏)(𝑎，𝑏 是常数，𝑎≠0) 的形式。 一般选未知数系数比较简单的方程变形。 ②代入求值 用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值。 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。 变形后的方程只能代入另一个没有变形的方程。 ③回代 把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值。 求出另一个未知数的值。 一般代入变形后的方程。 ④写解 写出方程组的解。 表示为 的形式。 用“｛”将未知数的值联立起来。 敲黑板 代入消元法选取变形方程的原则 （1）选择未知数的系数是1或−1的方程； （2）选择常数项为0的方程； （3）若未知数的系数都不是1或−1，选系数的绝对值较小的方程。 【知识点08】用加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法：对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数互为相反数或相同时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。 使两方程相减（或相加）能消去该未知数。 当某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘。 ②加减 通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 将二元一次方程组转化为一元一次方程。 把两个方程相减（或相加）时，一定要把两个方程等号两边分别相减（或相加）。 ③求解 解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。 求出一个未知数的值。 ④回代 将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另一个未知数的值。 求出另一个未知数的值。 回代时选择系数较简单的方程。 ⑤写解 写出方程组的解。 表示为 的形式。 用“｛”将未知数的值联立起来。 解题通法 用加减消元法求解二元一次方程组的技巧 （1）若两方程中同一个未知数的系数的绝对值相等，则直接加减消元； （2）若同一个未知数的系数的绝对值不相等，则应先选一个或两个方程进行变形，使同一个未知数的系数的绝对值相等; （3）若方程组较复杂，则应先化简整理,再求解。 【知识点09】列二元一次方程组解决实际问题的步骤 1.当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程。要注意的是，必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，才能组成二元一次方程组。 2.列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤： （1）理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系； （2）制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组； （3）执行计划：列出方程组并求解，得到答案； （4）回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意。 注意：（1）一般来说，设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组。 （2）设未知数及写答时，都要写清单位。 【知识点10】三元一次方程（组）及其解的概念 1.三元一次方程：和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程。 2.三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫作三元一次方程组。例如， 就是三元一次方程组。每一个方程中不一定都含有三个未知数，只要保证方程组中一共有三个未知数即可 三元一次方程组必须同时满足三个条件 （1）方程组中一共含有三个未知数； （2）含有未知数的项的次数都是一次； （3）有三个方程。 3.三元一次方程组的解：同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫作这个三元一次方程组的解。 【知识点11】解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 2.解三元一次方程组的一般步骤： （1）消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 （2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值。 （3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中含有第三个未知数的方程中，得到一个一元一次方程。 （4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值。 （5）写解：将求得的三个未知数的值用“{ ”写在一起。 【题型一】二元一次方程的定义 1．（24-25七年级下·浙江温州·月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知，则 时，它是关于x，y的二元一次方程． 【题型二】二元一次方程的解 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列是方程的解的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为 ． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 6．（2023七年级下·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 7．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列各组数是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）下列各组x，y的值：①，②，③，④中， 是方程的解； 是方程的解； 是方程组的解．（填序号） 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 9．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）已知，若，则m的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 10．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若关于的方程有一组解是，则的值为 ． 11．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值． 【题型六】代入消元法 12．（24-25七年级下·浙江温州·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，将代入，得（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）已知、满足关系式，用含的代数式表示，则 ． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）解二元一次方程组 (1) (2) 【题型七】加减消元法 15．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知，则 ． 【题型八】二元一次方程组的特殊解法 17．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【题型九】构造二元一次方程组求解 19．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如表格所示，在方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（ ） 0 5 A． B． C． D． 20．（22-23七年级下·浙江湖州·期中）公式可以用来求正方形网格中顶点为格点的多边形面积，其中x表示多边形内部格点数，y表示多边形边上格点数.例如：图中三角形ABC中，，，；图中三角形DEF中，，，.请借助上面提供的网格求出，时， .    【题型十】已知二元一次方程组的解的情况求参数 21．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 22．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组． (1)若关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值． (2)判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗?并说明理由． 【题型十一】二元一次方程组的错解复原问题 23．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 24．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知关于x，y的方程组，由于甲看错了方程(1)中的a得到方程组的解为，乙看错了方程(2)中的b得到方程组的解为，求的值． 【题型十二】方程组相同解问题 25．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于，的方程组和有相同的解，则（    ） A． B． C． D． 26．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）关于x、y的方程组与有相同的解，则 ． 【题型十三】根据几何图形列二元一次方程组 27．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，一幅宣传画的四周镶嵌宽度为m的花边，镶好后整幅作品的周长比宣传画的周长多16，面积比宣传画的面积大32，则宣传画的周长是(   ) A．16 B．8 C．4 D． 28．（22-23七年级下·浙江温州·期中）小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ．    【题型十四】根据实际问题列二元一次方程组 29．（24-25七年级下·浙江台州·期末）《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，若每间圈舍都住满，求需要多少间圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·浙江台州·期中）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其中《孙子算经》中记我了这样一个数学问题：一群老人去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老人几个梨？若设有x个老人，y个梨，则可列出的方程组为 ． 【题型十五】分配问题(二元一次方程组的应用) 31．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比略大些，是，，，，中某个数字，则这个数字是 ，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多 个.    32．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值． 【题型十六】图表信息题(二元一次方程组的应用) 33．（22-23七年级下·浙江温州·期中）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则，满足公式：，为已知数，则表中 ． 气温 速度米秒 34．如图，在的方格内，填写了一些代数式和数． （1）在图1中各行、各列和对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值； （2）在图2余下的方格中填入适当的数，使各行、各列和对角线上三个数之和都相等． 【题型十七】行程问题(二元一次方程组的应用) 35．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为 ． 36．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【题型十八】工程问题(二元一次方程组的应用) 37．某工地派96人去挖土和运土，如果平均每人每天挖土5或运土3，那么该怎样分配挖土和运土的人数，使挖出土的土刚好及时运走？ 38．（2023七年级下·浙江·专题练习）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． 【题型十九】几何问题(二元一次方程组的应用) 39．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为 ，与的差为 ． 40．（24-25七年级下·浙江温州·月考）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 【题型二十】方案问题(二元一次方程组的应用) 41．某班用700元钱购买足球和篮球共11个，其中篮球单价为50元/个，足球单价为80元/个，若设购买篮球x个，足球y个，则可列方程组为 ． 42．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）请同学们根据以下素材，完成探索任务： 素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼．拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共． 素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的，而新建教学楼则只完成了计划的，实际拆、建总面积与原计划一致． 素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积． 任务1：填表． 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x _________ 新建教学楼面积 y __________ 任务2：求学校实际新建教学楼面积． 任务3：求扩大的绿化面积． 【题型二十一】数字问题(二元一次方程组的应用) 43．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ． 44．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解，对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为． 例如：，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，值等于666，而，所以． （1）计算：_________； （2）若，且，求n的值； （2）若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值． 【题型二十二】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 45．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：类是三角形桌，每桌可坐3人，类是五边形桌，每桌可坐5人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购．甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对类桌椅涨价、类桌椅降价出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表： A类桌椅（套） B类桌椅（套） 总费用（元） 甲公司 6 5 1900 乙公司 5 5 1700 (1)设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，则乙公司出售一套A类桌椅的售价为______元；一套B类桌椅的售价为______元； (2)求A、B两类桌椅每套的价格分别是多少？ (3)如果该数学实验室需设置48个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、B两类桌椅各多少套时所需费用最少？ 46．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 素材1：学校组织爱心义卖，七年级(1)班选定一家商店采购义卖商品．该商店销售钥匙扣每个4元，玩偶每个2元． 素材2：为支持爱心事业，商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠． 方案二 购买玩偶满50个，立减10元． 问题1：若班委购买钥匙扣和玩偶各40个，一共花费多少元？ 问题2：班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，求钥匙扣和玩偶各购买了多少个？ 问题3：现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，通过计算设计购买方案． 【题型二十三】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 47．疫情期间，某单位采购了50包口罩和30瓶消毒液，一共花费1633元，其中消毒液的单价比口罩的单价多2元，求口罩的单价和消毒液的单价．设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 48．（23-24七年级上·浙江金华·月考）回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到215元，单价为整数） 【题型二十四】古代问题(二元一次方程组的应用) 49．（24-25七年级下·浙江金华·期末）《九章算术》记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为a，乙持钱为b，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中有这样一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙各持钱几何？”大意是：“甲、乙两人各有一些钱，如果将乙的钱的一半给甲，这时甲共有五十钱；如果将甲的钱的三分之二给乙，这时乙也共有五十钱．”设甲有钱，乙有y钱，根据题意可以列出方程组： ． 【题型二十五】其他问题(二元一次方程组的应用) 51．（23-24七年级下·浙江·期中）假设同种类每枚硬币的质量相同，仅用一架天平和五个10克的砝码作为工具，小明作了以下记录： 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币和1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币和1个10克的砝码 平衡 记录三 一袋硬币（袋子重量忽略不计） 5个10克的砝码 平衡 记录三的袋子中装了一定数量的壹元硬币和伍角硬币，那袋子中最多有壹元硬币（　　）枚 A．6 B．7 C．8 D．11 52．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某校为了让学生感受祖国的大好河山，计划组织学生参观某景点．该景点面向学生团队出游推出以下优惠活动： 人数x/人 收费标准/元 50 45 40 经核算，若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元．其中，该校七年级参加人数多于100人、少于200人，八年级参加人数少于100人．问该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少？ 【题型二十六】三元一次方程组的定义及解 53．若．则k的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 54．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ． 55．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）解方程组 (1)； (2)； (3)； (4) 【题型二十七】三元一次方程组的应用 56．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（　　） A．29 B．28 C．27 D．26 57．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知的周长为，三边、、中，，，则边长 ． 58．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值. 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需___________元. (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么___________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $