第八章 实数 章节讲义（12知识详解+30典例分析）2025-2026学年人教版七年级数学下册同步讲义与测试

第八章 实数 章节（12知识详解+30典例分析） 【知识点01】平方根x是任何数，a ≥ 0 1. 平方根的概念和性质 平方根  内容  示例 定义 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个数 x叫作 a 的平方根或二次方根 . 因为(±3)²=9，所以9的平方根是±3 表示方法 正数a 的平方根可以用“± ”表示，读作“正、负根号a”.a 叫作被开方数. 特别地，0 的平方根记为 7 的平方根记为± ；16 的平方根记为± 16 =±4 性质 (1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0 的平方根是0；(3)负数没有平方根 0.01 的平方根是±0.1；0 的平方根是0；-1 没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方.与平方互为逆运算 特别提醒：，- ，±  (a ≥ 0)的区别 -  ±  表示的意义 a 的正的平方根 a 的负的平方根 a 的平方根 【知识点02】算术平方根 1. 算术平方根的定义和表示方法 算术平方根 内容 示例 定义 正数a 有两个平方根，其中正的平方根叫作a 的算术平方根. 规定：0 的算术平方根是0 因为9 的平方根是±3，所以9 的算术平方根是3 表示方法 非负数a 的算术平方根记为，读作“根号a” 5 的算术平方根记为 2. 算术平方根的性质 (1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0 的算术平方根是 0； (3)负数没有算术平方根； (4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大 . 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根  平方根 区 别 个数不同(0除外)  一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数 a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方根表示为 ± 取值范围不同(0除外)  正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负 联 系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0 【知识点03】用计算器求一个正数的算术平方根 在求某些数的算术平方根时，特别是当这些数很大或很小，或不易求出其算术平方根时，可利用计算器直接快速求出. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 因为计算器的型号不同，所以按键顺序可能有所不同，但一般先按 键，然后按数字键，再按 键，计算器上显示的结果就是该数的算术平方根(或其近似值) 【知识点04】算术平方根的估算 1. 求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值，通常有两种方法：一是用计算器；二是用夹逼法. 对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 例如，与50 最接近的两个完全平方数是49 和64，因为49<50<64，所以 < <，即7< <8. 2.用夹逼法按照精确度估计( a>0)的近似值 (1)确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数m，n(m<n)之间，则的整数部分是m. (2)确定的小数部分：从较小整数m开始，逐步加0.1，并求其平方，采用与(1)类似的方法确定的十分位上的数字；再用同样的方法确定其他数位上的数字，直到能按照精确度估计近似值为止. (注意：若要求精确到百分位，则估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位上的数字) 【知识点05】立方根 1. 立方根的定义和表示方法   内容  示例 定义 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x³=a，那么这个数 x 叫作 a 的立方根或三次方根 因 为 2³=8， 所 以 2是 8 的立方根；因为(-2) ³=-8，所以 -2是 -8 的立方根 表示方法 一个数 a 的立方根记为“  ”读作“三次根号a，”其中 a 是被开方数，3 是根指数，要特别注意，根指数 3 不能省略 读作“三次根号 -27”，其中 -27是被开方数 2. 开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 开立方与立方互为逆运算，开立方所得的结果是一个数的立方根.【知识点06】立方根的性质 1.性质：(1)正数的立方根是正数；(2)负数的立方根是负数； (3)0的立方根是 0；(4) =- ；(5)( ) 3=a. 2. 立方根与平方根的区别与联系 平方根 立方根 区 别 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a 的立方根 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数 正数有一个立方根，仍为正数 负数没有平方根 负数有一个立方根，仍为负数 表示方法 ± ，根指数2可以省略 3，根指数3不可以省略 被开方数的取值范围 被开方数为非负数，即： a ≥ 0  被开方数 a 是任意实数 联系 (1)开平方与开立方都与相应的乘方运算互为逆运算； (2)0 的平方根和立方根都是0 【知识点07】用计算器求一个数的立方根 一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值). 按键顺序为：先按 键，再输入被开方数，最后按 键.有些计算器需要调用备用功能 求一个数的立方根，具体操作参见计算器的使用说明. 【知识点08】无理数 1. 无理数的概念 定义  特征  常见形式 无限不循环小数叫作无理数 ①小数 ②位数无限 ③形式为不循环 ①开方开不尽的数的方根，如：  ，3等； ②含有 π 的一类数，如： π ， π ，1+π 等； 3.具有特定结构的数，如：0.121 121 112… (每相邻两个 2 之间依次多一个 1)等 2. 无理数与有理数的区别 有理数  无理数 本质  可以化为分数形式  不能化为分数形式 表现形式  有限小数或无限循环小数  无限不循环小数 【知识点09】实数的定义和分类 1. 定义： 有理数和无理数统称实数 . 2. 分类： (1)按定义分类： (2)按性质分类： 【知识点10】实数与数轴上的点的关系 1. 用数轴上的点表示无理数 数轴上表示正无理数a 的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a 个单位长度；表示负无理数-b(b>0)的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b 个单位长度. 2. 实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的. (1)“一一对应”包含着两层含义 ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示. 即若点A，点B在数轴上表示的数为，，则AB=|-|.类比有理数的大小比较 3. 实数的大小比较 (1)对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. (2)正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小. 【知识点11】实数的有关概念 1. 相反数：数a 的相反数是-a，这里a 表示任意一个实数. 2. 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 即设a 表示 一个实数，则|a|= 或|a|= 或|a|= 一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离 3. 倒数：数a(a ≠ 0)的倒数为. 特别提醒：实数的相反数、绝对值和倒数的意义及求法与有理数中的意义及求法是一致的. 【知识点12】实数的运算 1. 实数的运算法则：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 2. 实数的运算顺序：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的. 3. 实数运算结果的要求：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入.计算过程中有时也使用“去尾法” 【题型一】平方根概念理解 1．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．18 B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）一个正数的两个平方根分别为a，b，则 ， ． 【题型二】求一个数的平方根 3．（24-25七年级下·广西梧州·期中）4的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·周测）分别求下列各数的平方根： (1)169 (2)0.81 (3) (4) 【题型三】求代数式的平方根 5．若＝3，求2x＋5的平方根 ． 【题型四】已知一个数的平方根，求这个数 6．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）一个正数的两个平方根是和，则这个数是（   ） A．2 B． C．4 D．1 7．（24-25七年级下·广东东莞·月考）一个正数的平方根是和，求这个数． 【题型五】利用平方根解方程 8．（24-25七年级下·广西钦州·期中）若，则的值为（　　） A． B．0 C．4 D．9．（24-25七年级下·山东临沂·期末）若，则x的值为 ． 【题型六】求一个数的算术平方根 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各数的算术平方根： (1)81； (2)100； (3)0.01． 【题型七】利用算术平方根的非负性解题 12．（2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，为有理数，且，求的值． 【题型八】估计算术平方根的取值范围 14．（24-25七年级下·天津·期末）估算的值在（   ） A．2.1和2.2之间 B．2.2和2.3之间 C．2.3和2.4之间 D．2.4和2.5之间 15．（22-23七年级下·山东日照·期末）已知，则 ． 【题型九】与算术平方根有关的规律探索题 16．（24-25七年级下·湖南永州·月考）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 17．（25-26七年级下·全国·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 【题型十】算术平方根的实际应用 18．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 19．如图（1）所示，有2个边长为1的正方形，现画出分割线如图（2），把分割后的四部分在正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中拼接成一个新的正方形，如图（3）． (1)图（3）中正方形的边长为 ． (2)现有5个边长为1的正方形如图（4）所示，请在图（4）中画出适合的分割线，使之按分割线分割后能拼成一个新正方形，并把拼接图画在图（5）的正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中（直接画出图形，不要求写分析过程）；则图（5）中所拼成的新正方形边长为 ． 【题型十一】立方根概念理解 20．（24-25七年级下·全国·假期作业）下列说法正确的是（   ） A．因为，以是125的立方根 B．因为的立方是，所以的立方根是 C．因为，所以的立方根是2 D．没有立方根 21．（23-24七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 【题型十二】求一个数的立方根 22．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）计算：（　　） A． B．3 C． D． 23．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）一个正方体的体积为，则这个正方体的一个面的面积为 【题型十三】已知一个数的立方根，求这个数 24．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 25．（24-25七年级下·天津·月考）解方程 (1)； (2)． 【题型十四】与立方根有关的规律探索 26．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·吉林白城·月考）阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【题型十五】立方根的实际应用 28．（24-25七年级下·陕西·期末）已知一个正方体铁块的体积为，李师傅现准备将这个铁块融化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个的体积为，则另一个小正方体铁块的棱长是 ． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？ 【题型十六】算术平方根和立方根的综合应用 30．已知的立方根为，则的算术平方根是(      ) A． B． C． D． 31．（24-25七年级下·山东日照·月考）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【题型十七】计算器——平方根和立方根 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值（精确到0.1）： （1） ； （2） ． 33．用计算器求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【题型十八】无理数 34．（25-26七年级下·全国·课后作业）以下说法错误的是（    ） A．无理数是无限小数 B．0.202202220…（相邻两个0之间依次多一个2）是无理数 C．无理数是带根号的数 D．无理数不可能是分数 35．（24-25七年级下·云南普洱·期末）下列四个数：，，，．其中是无理数的是 ． 【题型十九】无理数的大小估算 36．（23-24七年级下·重庆·期末）估算的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为了丰富学生的课余生活，学校在艺术教室开展手工活动，霖霖同学准备在面积为的正方形纸片上裁下一块面积为且长与宽之比为的长方形，请通过计算说明霖霖同学能否做到． 【题型二十】无理数整数部分的有关计算 38．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若的值在两个整数与之间，则 ． 39．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【题型二十一】实数概念理解 40．（2023·江苏徐州·三模）下面对“”的描述错误的是(    ) A．是圆周率 B．圆的周长与直径的比值 C．是一个无理数 D． 【题型二十二】实数的分类 41．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B．0 C． D．5 42．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【题型二十三】实数的性质 43．（22-23七年级下·广西柳州·月考） ． 44．（23-24七年级下·北京·期中）计算： 【题型二十四】实数与数轴 45．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 【题型二十五】实数的大小比较 47．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）比较大小： 9（填“>”、“<”或“=”）． 48．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较大小： (1)与； (2)4，，． 【题型二十六】实数的混合运算 49．（24-25七年级下·广西南宁·月考）已知实数a，b满足关系式，则的值是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·广西北海·期末）（1）计算：； （2）解方程组 【题型二十七】程序设计与实数运算 51．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图是一个数值转换器，当输入的值是时，输出的值是 ． 52．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【题型二十八】新定义下的实数运算 53．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【题型二十九】实数运算的实际应用 54．如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    55．（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【题型三十】与实数运算相关的规律题 56．（23-24七年级下·全国·单元测试）一组有规律的数则第个数是 ． 57．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数 章节（12知识详解+30典例分析） 【知识点01】平方根x是任何数，a ≥ 0 1. 平方根的概念和性质 平方根  内容  示例 定义 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个数 x叫作 a 的平方根或二次方根 . 因为(±3)²=9，所以9的平方根是±3 表示方法 正数a 的平方根可以用“± ”表示，读作“正、负根号a”.a 叫作被开方数. 特别地，0 的平方根记为 7 的平方根记为± ；16 的平方根记为± 16 =±4 性质 (1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0 的平方根是0；(3)负数没有平方根 0.01 的平方根是±0.1；0 的平方根是0；-1 没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方.与平方互为逆运算 特别提醒：，- ，±  (a ≥ 0)的区别 -  ±  表示的意义 a 的正的平方根 a 的负的平方根 a 的平方根 【知识点02】算术平方根 1. 算术平方根的定义和表示方法 算术平方根 内容 示例 定义 正数a 有两个平方根，其中正的平方根叫作a 的算术平方根. 规定：0 的算术平方根是0 因为9 的平方根是±3，所以9 的算术平方根是3 表示方法 非负数a 的算术平方根记为，读作“根号a” 5 的算术平方根记为 2. 算术平方根的性质 (1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0 的算术平方根是 0； (3)负数没有算术平方根； (4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大 . 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根  平方根 区 别 个数不同(0除外)  一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数 a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方根表示为 ± 取值范围不同(0除外)  正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负 联 系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0 【知识点03】用计算器求一个正数的算术平方根 在求某些数的算术平方根时，特别是当这些数很大或很小，或不易求出其算术平方根时，可利用计算器直接快速求出. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 因为计算器的型号不同，所以按键顺序可能有所不同，但一般先按 键，然后按数字键，再按 键，计算器上显示的结果就是该数的算术平方根(或其近似值) 【知识点04】算术平方根的估算 1. 求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值，通常有两种方法：一是用计算器；二是用夹逼法. 对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 例如，与50 最接近的两个完全平方数是49 和64，因为49<50<64，所以 < <，即7< <8. 2.用夹逼法按照精确度估计( a>0)的近似值 (1)确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数m，n(m<n)之间，则的整数部分是m. (2)确定的小数部分：从较小整数m开始，逐步加0.1，并求其平方，采用与(1)类似的方法确定的十分位上的数字；再用同样的方法确定其他数位上的数字，直到能按照精确度估计近似值为止. (注意：若要求精确到百分位，则估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位上的数字) 【知识点05】立方根 1. 立方根的定义和表示方法   内容  示例 定义 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x³=a，那么这个数 x 叫作 a 的立方根或三次方根 因 为 2³=8， 所 以 2是 8 的立方根；因为(-2) ³=-8，所以 -2是 -8 的立方根 表示方法 一个数 a 的立方根记为“  ”读作“三次根号a，”其中 a 是被开方数，3 是根指数，要特别注意，根指数 3 不能省略 读作“三次根号 -27”，其中 -27是被开方数 2. 开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 开立方与立方互为逆运算，开立方所得的结果是一个数的立方根.【知识点06】立方根的性质 1.性质：(1)正数的立方根是正数；(2)负数的立方根是负数； (3)0的立方根是 0；(4) =- ；(5)( ) 3=a. 2. 立方根与平方根的区别与联系 平方根 立方根 区 别 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a 的立方根 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数 正数有一个立方根，仍为正数 负数没有平方根 负数有一个立方根，仍为负数 表示方法 ± ，根指数2可以省略 3，根指数3不可以省略 被开方数的取值范围 被开方数为非负数，即： a ≥ 0  被开方数 a 是任意实数 联系 (1)开平方与开立方都与相应的乘方运算互为逆运算； (2)0 的平方根和立方根都是0 【知识点07】用计算器求一个数的立方根 一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值). 按键顺序为：先按 键，再输入被开方数，最后按 键.有些计算器需要调用备用功能 求一个数的立方根，具体操作参见计算器的使用说明. 【知识点08】无理数 1. 无理数的概念 定义  特征  常见形式 无限不循环小数叫作无理数 ①小数 ②位数无限 ③形式为不循环 ①开方开不尽的数的方根，如：  ，3等； ②含有 π 的一类数，如： π ， π ，1+π 等； 3.具有特定结构的数，如：0.121 121 112… (每相邻两个 2 之间依次多一个 1)等 2. 无理数与有理数的区别 有理数  无理数 本质  可以化为分数形式  不能化为分数形式 表现形式  有限小数或无限循环小数  无限不循环小数 【知识点09】实数的定义和分类 1. 定义： 有理数和无理数统称实数 . 2. 分类： (1)按定义分类： (2)按性质分类： 【知识点10】实数与数轴上的点的关系 1. 用数轴上的点表示无理数 数轴上表示正无理数a 的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a 个单位长度；表示负无理数-b(b>0)的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b 个单位长度. 2. 实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的. (1)“一一对应”包含着两层含义 ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示. 即若点A，点B在数轴上表示的数为，，则AB=|-|.类比有理数的大小比较 3. 实数的大小比较 (1)对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. (2)正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小. 【知识点11】实数的有关概念 1. 相反数：数a 的相反数是-a，这里a 表示任意一个实数. 2. 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 即设a 表示 一个实数，则|a|= 或|a|= 或|a|= 一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离 3. 倒数：数a(a ≠ 0)的倒数为. 特别提醒：实数的相反数、绝对值和倒数的意义及求法与有理数中的意义及求法是一致的. 【知识点12】实数的运算 1. 实数的运算法则：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 2. 实数的运算顺序：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的. 3. 实数运算结果的要求：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入.计算过程中有时也使用“去尾法” 【题型一】平方根概念理解 1．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．18 B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题主要考查了平方根，把各数进行化简，再根据平方根的性质即可进行求解，解题的关键是熟练掌握平方根的性质． 【详解】解：A、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； B、是负数，没有平方根，故选项符合题意 ； C、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； D、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）一个正数的两个平方根分别为a，b，则 ， ． 【答案】 0 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题主要考查了平方根的定义．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出结果即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为a，b， ∴，． 故答案为：0；． 【题型二】求一个数的平方根 3．（24-25七年级下·广西梧州·期中）4的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根 【分析】此题考查了平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】4的平方根是． 故选：B． 4．（25-26七年级下·全国·周测）分别求下列各数的平方根： (1)169 (2)0.81 (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据以及平方根的定义进行计算即可； （2）根据以及平方根的定义进行计算即可； （3）根据以及平方根的定义进行计算即可； （4）根据以及平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：的平方根为； （2）解：的平方根为； （3）解：， 又的平方根为； 的平方根为； （4）解：的平方根为． 【题型三】求代数式的平方根 5．若＝3，求2x＋5的平方根 ． 【答案】 【知识点】求代数式的平方根 【详解】∵， ∴，解得：， ∴， ∴的平方根为：. 故答案为：. 点睛：本题解题的要点有两点：（1）式子表示“的算术平方根是3”，由此即可求得的值；（2）的值是一个正数，因此其平方根有两个. 【题型四】已知一个数的平方根，求这个数 6．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）一个正数的两个平方根是和，则这个数是（   ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的概念．根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知，求出m的值，继而得出答案． 【详解】解：由题意得：，即， 解得：， ， 这个数是， 故选：D． 7．（24-25七年级下·广东东莞·月考）一个正数的平方根是和，求这个数． 【答案】25 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 一个正数的两个平方根互为相反数，根据题意可得：，然后求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 则这个正数的平方根为和5， 这个正数为． 【题型五】利用平方根解方程 8．（24-25七年级下·广西钦州·期中）若，则的值为（　　） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了平方根，关键是掌握 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 根据平方根的性质求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：D． 9．（24-25七年级下·山东临沂·期末）若，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题根据平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键，移项，系数化1，再利用平方根解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型六】求一个数的算术平方根 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各数的算术平方根： (1)81； (2)100； (3)0.01． 【答案】(1)9； (2)10； (3)0.1． 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，掌握其定义是解题的关键．如果一个正数的平方等于，那我们称为的算术平方根，据此作答即可． 【详解】（1）解：， 81的算术平方根是9，即； （2）解：， 100的算术平方根是10，即； （3）解：， 的算术平方根是，即； 【题型七】利用算术平方根的非负性解题 12．（2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根满足且，因此必为非负数，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∴必为非负数， 故选：． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，为有理数，且，求的值． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了被开方数的非负性，熟练掌握被开方数的非负性是解答本题的关键． 根据被开方数的非负性，求出、的值，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得， ． 【题型八】估计算术平方根的取值范围 14．（24-25七年级下·天津·期末）估算的值在（   ） A．2.1和2.2之间 B．2.2和2.3之间 C．2.3和2.4之间 D．2.4和2.5之间 【答案】B 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了无理数的估算，算术平方根的定义，属于基本知识点，夹逼法的应用是解本题的关键． 根据夹逼法解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴的值在2.2和2.3之间， 故选：B． 15．（22-23七年级下·山东日照·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】运用算术平方根解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根，解决本题的关键是掌握算术平方根的运算． 【题型九】与算术平方根有关的规律探索题 16．（24-25七年级下·湖南永州·月考）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故答案为：． 17．（25-26七年级下·全国·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 【答案】（1）3  ，0.5 ， 7 ， ， 0 （2）①不一定等于a，当时，；当时， ②，   【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）①从（1）中可以得到规律：非负数的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；②利用①中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）①不一定等于， 当时，； 当时，． ②， ，， ；． 【点睛】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律解决问题是解决第（2）小题的关键． 【题型十】算术平方根的实际应用 18．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】根据题意，利用算术平方根的定义求得小宇制作的正方体礼盒的棱长，然后将其减去即可． 本题考查算术平方根，几何体的表面积，理解题意并求得小宇制作的正方体礼盒的棱长是解题的关键． 【详解】解：小宇制作的正方体礼盒的表面积为， 其棱长为， 小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小， 小恒制作的正方体礼盒的边长为， 故选：B． 19．如图（1）所示，有2个边长为1的正方形，现画出分割线如图（2），把分割后的四部分在正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中拼接成一个新的正方形，如图（3）． (1)图（3）中正方形的边长为 ． (2)现有5个边长为1的正方形如图（4）所示，请在图（4）中画出适合的分割线，使之按分割线分割后能拼成一个新正方形，并把拼接图画在图（5）的正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中（直接画出图形，不要求写分析过程）；则图（5）中所拼成的新正方形边长为 ． 【答案】(1) (2)见解析， 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）先求出正方形的面积，再根据算术平方根计算即可； （2）根据面积不变进而得到新正方形的边长，再结合图④进而设计即可． 【详解】（1）解：图③中正方形的面积为2，则边长． 故答案为：； （2）解：如图④和图⑤： 新正方形的面积为5，则边长为． 故答案为：． 【题型十一】立方根概念理解 20．（24-25七年级下·全国·假期作业）下列说法正确的是（   ） A．因为，以是125的立方根 B．因为的立方是，所以的立方根是 C．因为，所以的立方根是2 D．没有立方根 【答案】B 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了对立方根定义的应用，根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是解答即可． 【详解】解：A. 因为，以是125的立方根，原说法错误； B. 因为的立方是，所以的立方根是，说法正确； C. 因为，所以的立方根是，原说法错误； D. 有立方根，原说法错误； 故选：B． 21．（23-24七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 【答案】(1)若，那么叫做的五次方根 (2)， (3)①或；② 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了四次方根和五次方根的意义，解题的关键是熟练掌握四次方根和五次方根的意义，准确进行计算． （1）依照平方根和立方根的定义即可得出答案； （2）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （3）根据四次方根和五次方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根， 故答案为：若，那么叫做的五次方根． （2）解：∵， ∴625的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：，． （3）解：①， 或． ② ． 【题型十二】求一个数的立方根 22．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）计算：（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根 【分析】此题考查了求一个数的立方根．根据立方根的定义进行解答即可． 【详解】解： 故选：C 23．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）一个正方体的体积为，则这个正方体的一个面的面积为 【答案】25 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据正方体体积计算公式可求出该正方体的棱长，再由正方形面积计算公式可得答案． 【详解】解：∵一个正方体的体积为， ∴这个正方体的棱长为， ∴这个正方体的一个面的面积为， 故答案为：． 【题型十三】已知一个数的立方根，求这个数 24．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】0.2872 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根的性质，掌握被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点相应向左或向右移动一位是解题的关键． 根据立方根的性质，被开方数的小数点移动规律求解． 【详解】解：已知 ，由于 则． 故答案为：0.2872． 25．（24-25七年级下·天津·月考）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了平方根与立方根的定义，如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根；如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． （1）依据平方根的定义，即可得到的值； （2）依据立方根的定义，即可得到的值． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）解：， ， ， 解得． 【题型十四】与立方根有关的规律探索 26．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 27．（24-25七年级下·吉林白城·月考）阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【答案】(1)，， (2)，， 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义，理解题目所提供的解题方法是正确解答的关键． （1）完成题目所提供的解题过程即可； （2）根据（1）的解题方法进行计算即可． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 故答案为：，，； （2）解：已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是；划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， ；已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， 故答案为：，，． 【题型十五】立方根的实际应用 28．（24-25七年级下·陕西·期末）已知一个正方体铁块的体积为，李师傅现准备将这个铁块融化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个的体积为，则另一个小正方体铁块的棱长是 ． 【答案】5 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为， 故答案为：5． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？ 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据立方根的性质解答即可求解． 【详解】解：∵它的体积为， ∴它的棱长是． 【题型十六】算术平方根和立方根的综合应用 30．已知的立方根为，则的算术平方根是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】根据立方根的定义求出的值，再代入求出的值，最后由算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：的立方根为， ， 解得， ， 的算术平方根为， 故选：C． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 31．（24-25七年级下·山东日照·月考）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【题型十七】计算器——平方根和立方根 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值（精确到0.1）： （1） ； （2） ． 【答案】 0.7 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查了利用计算器进行数的开方计算，比较简单，熟练掌握计算器的使用是解题的关键． （1）利用计算器分别进行计算即可得解． （2）利用计算器分别进行计算即可得解． 【详解】解：（1）； 故答案为：0.7； （2）； 故答案为：； 33．用计算器求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）12；（2）25；（3） 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】利用计算器分别进行计算即可得解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了利用计算器进行数的开方计算，比较简单，熟练掌握计算器的使用是解题的关键． 【题型十八】无理数 34．（25-26七年级下·全国·课后作业）以下说法错误的是（    ） A．无理数是无限小数 B．0.202202220…（相邻两个0之间依次多一个2）是无理数 C．无理数是带根号的数 D．无理数不可能是分数 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义与性质，解题关键是准确理解无理数“无限不循环”的本质，避免将“带根号”作为无理数的判定标准． 逐一分析每个选项，根据无理数的定义（无限不循环小数）来判断其正确性． 【详解】解：A、无理数是无限不循环小数，属于无限小数，该说法正确，不符合题意； B、（相邻两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数，该说法正确，不符合题意； C、无理数不一定是带根号的数，例如是无理数但不带根号；而像这样带根号的数却是有理数，该说法错误，符合题意； D、分数是有理数，无理数不属于有理数，因此无理数不可能是分数，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 35．（24-25七年级下·云南普洱·期末）下列四个数：，，，．其中是无理数的是 ． 【答案】 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数的识别，熟记无理数定义是解决问题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数）判断各数即可得到答案． 【详解】解：，，，，这四个数中是无理数的是， 故答案为：． 【题型十九】无理数的大小估算 36．（23-24七年级下·重庆·期末）估算的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算． 通过比较平方数估算的范围，从而确定的整数部分． 【详解】解：，，且， ， ， 的整数部分是3． 故选：B． 37．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为了丰富学生的课余生活，学校在艺术教室开展手工活动，霖霖同学准备在面积为的正方形纸片上裁下一块面积为且长与宽之比为的长方形，请通过计算说明霖霖同学能否做到． 【答案】不能，理由见解析 【知识点】无理数的大小估算、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数的估算．设长方形的长是，宽是，得到，求出的值，得到长方形的长是，求出正方形纸片的边长为，结合实数的大小，即可判断霖霖同学不能做到． 【详解】解：不能，理由如下： 设长方形的长是，宽是， 由题意得到：， 故， ∴， ∴长方形的长是， ∵正方形的纸片的面积， ∴正方形纸片的边长是， ∵， ∴， 故， ∴霖霖同学不能做到． 【题型二十】无理数整数部分的有关计算 38．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若的值在两个整数与之间，则 ． 【答案】4 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 利用估算无理数的方法得出取值范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的值在两个整数与之间， ∴． 故答案为：4． 39．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 【题型二十一】实数概念理解 40．（2023·江苏徐州·三模）下面对“”的描述错误的是(    ) A．是圆周率 B．圆的周长与直径的比值 C．是一个无理数 D． 【答案】D 【知识点】无理数、实数概念理解 【分析】圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母表示，是一个无限不循环小数，它的近似值是，据此进行分析解答即可． 【详解】解：A、圆周率用字母表示，说法正确，不符合题意； B、圆周率是圆的周长和它直径的比值，说法正确，不符合题意； C、圆周率是一个无限不循环小数，也就是无理数，说法正确，不符合题意； D、的近似值是，而不是等于，说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周率的含义，准确理解圆周率的含义是关键． 【题型二十二】实数的分类 41．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】A 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查无理数的概念，掌握该知识点是解题的关键．根据无理数是无限不循环小数判定即可． 【详解】A． 是无理数，该选项符合题意； B． 0是整数，属于有理数，该选项不符合题意； C． 是负整数，属于有理数，该选项不符合题意； D．5是正整数，属于有理数，该选项不符合题意； 故选：A． 42．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 【题型二十三】实数的性质 43．（22-23七年级下·广西柳州·月考） ． 【答案】 【知识点】实数的性质 【分析】此题考查了实数的绝对值，根据和正数的绝对值是它本身进行解答即可． 【详解】解： 故答案为： 44．（23-24七年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了实数的运算．先求一个数的平方根和立方根，再计算加减． 【详解】解： ． 【题型二十四】实数与数轴 45．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 46．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】实数与数轴、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查数轴上两点间距离问题，求代数式的值． （1）根据数轴上两点间距离等于两坐标之差的绝对值求解即可得到答案； （2）根据（1）中的值代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示， ∴； （2）解：∵， ∴． 【题型二十五】实数的大小比较 47．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）比较大小： 9（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数的大小比较，解题的关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过比较平方值来判断原数的大小． 因为和9都是正数，所以可通过计算它们的平方值，比较平方的大小来确定原数的大小． 【详解】解：和都是正数， =，， ， ． 故答案为：． 48．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较大小： (1)与； (2)4，，． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握分数比较可通分或平方；不同根号形式的数比较可通过乘方化为同次幂，或转化为同一种根号形式是解题的关键． （1）两个分数比较大小，可通过通分或平方的方法比较分子大小； （2）三个数比较大小，可通过乘方化为相同次数的幂，或转化为同一种根号形式来比较． 【详解】（1）解：通分，将分母统一为： 比较分子​与， 平方得： ， ， 故：​​ ． （2）解：比较与：， ， ， 即 比较4与：， ， 综上所述，． 【题型二十六】实数的混合运算 49．（24-25七年级下·广西南宁·月考）已知实数a，b满足关系式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的混合运算、绝对值非负性 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性以及求一个数的平方．根据非负数的性质，每个非负数都必须为0，从而求出和的值，然后计算的次方即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴， 故选：C． 50．（23-24七年级下·广西北海·期末）（1）计算：； （2）解方程组 【答案】（1）；（2） 【知识点】实数的混合运算、加减消元法 【分析】本题考查实数的混合运算，解二元一次方程组，属于基础题，掌握运算法则并正确计算是解题的关键． （1）先进行乘方、开方、去绝对值等运算，再进行加减运算； （2）利用加减消元法求解． 【详解】（1）解：原式     ．      （2）    解：得：， 解得：， 把代入得： 解得：， 所以此方程组的解为：． 【题型二十七】程序设计与实数运算 51．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图是一个数值转换器，当输入的值是时，输出的值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了与流程图有关的实数计算，计算出的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是无理数， ∴输出的值是， 故答案为：． 52．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算、无理数 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 【题型二十八】新定义下的实数运算 53．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的绝对值 【分析】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【题型二十九】实数运算的实际应用 54．如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 55．（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【知识点】求一个数的平方根、实数运算的实际应用 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 【题型三十】与实数运算相关的规律题 56．（23-24七年级下·全国·单元测试）一组有规律的数则第个数是 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察前几个数可知，被开方数的数值为序号的平方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， 以此类推，可知被开方数的数值为序号的平方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正， ∴第个数是， 故答案为： ． 57．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【知识点】求一个数的算术平方根、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2）， 故答案为：； （3） ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $