第06讲 三角形的有关概念（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第06讲 三角形的有关概念（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【知识点02】三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点归纳： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 【知识点03】三角形的分类 1.按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 【知识点04】三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【题型一】三角形的识别与有关概念 例1．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 变式1．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么 （大小比较）． 变式2．请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【题型二】构成三角形的条件 例2．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（22-23七年级下·上海·单元测试）现有四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为 个． 变式2．下列哪组线段能构成三角形？ (1)； (2)； (3)． 【题型三】确定第三边的取值范围 例3．（24-25七年级下·上海·月考）若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 【题型四】三角形三边关系的应用 例4．（24-25七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 变式1．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 变式2．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【题型五】三角形的分类 例5．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 变式1．若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 变式2．利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： (1)在第一个方框中画锐角三角形； (2)在第二个方框中画直角三角形； (3)在第三个方框中画钝角三角形． 【题型六】三角形角平分线的定义 例6．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 变式1．三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 变式2．如图，AD∥BE，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AB∥CD． 【题型七】画三角形的高 例7．（2024七年级下·上海宝山·月考）若一个三角形的三条高所在直线的交点在此三角形外，则此三角形是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能 变式1．（23-24七年级下·上海·期中）在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是 条． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，点是的边上的一点， (1)过点作的垂线，交于点； (2)在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离； (4)线段、这两条线段大小关系是______用“”号连接． 【题型八】与三角形的高有关的计算问题 例8．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为 ． 变式2．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知AD∥BC． (1)找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由． (2)如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，＝，求的值．（直接写出答案） 【题型九】根据三角形中线求长度 例9．如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 变式1．如图，已知为的中线，，的周长为，则的周长为 ．    变式2．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 【题型十】根据三角形中线求面积 例10．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　）    A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是 ． 变式2．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知的面积是，请完成下列问题： (1)如图，中，若是边上的中线，则的面积______的面积填“”、“”或“”； (2)如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法： 连接，由得， 同理，可得． 设，，则，． 由题意得，． 可列方程组，解得______， 通过解这个方程组可得四边形的面积为______； (3)如图，，，请直接写出四边形的面积______不用书写过程 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，3，6 B．6，8，10 C．5，7，2 D．5，6，12 2．如图，下面是某同学的折纸示意图，则线段是的（    ）    A．高线 B．角平分线 C．中线 D．垂线 3．三角形的三边分别为、、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，分别是的中点，，则 （ ） A． B． C． D． 5．已知a，b、c是的三条边长，化简的结果为（　　） A． B． C． D．0 6．如图所示，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 8．已知三角形的两边为2和3，则第三边a的取值范围是 ． 9．如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是 个． 10．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为 ． 11．如图，在中，，，，，，则线段 ．    12．如图，为△的中线，，若△的周长比△的周长多，则 ． 13．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为 ． 14．如图，在中，点、、分别是线段、、的中点，且，则 ． 15．如图，在中，的面积为，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积为 ． 三、解答题 16．如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 17．a、b、c为三角形的三边，化简： 18．如图，是的边的中线，已知，求和的周长之差．    19．如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为奇数，求的长和的长． 20．如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． (1)求的面积； (2)求的长． 21．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上，将△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）请在图中画出平移后的△A，B，C，； （2）再在图中画出△ABC的高CD；中线BM （3）△ABC的面积 S△ABC= （4）在图中能使S△ABC=S△PBC的格点P的个数有 个（点P异于A） 22．利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： ． 例2：若，求M的最小值． ∵，， ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 三角形的有关概念（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【知识点02】三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点归纳： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 【知识点03】三角形的分类 1.按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 【知识点04】三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【题型一】三角形的识别与有关概念 例1．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么 （大小比较）． 【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 变式2．请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【答案】见解析 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的知识，掌握三角形的有关概念是解题的关键．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；三条线段是三角形的边，两条线段构成的角是三角形的内角，据此即可得到答案． 【详解】解：图中三角形有：、、、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 【题型二】构成三角形的条件 例2．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．共有4种取法，由三角形三边关系定理分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：共有以下4种取法： 、、；、、；、、；、、． ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个． 故选：A． 变式1．（22-23七年级下·上海·单元测试）现有四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为 个． 【答案】3 【知识点】构成三角形的条件 【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去． 【详解】解：共有4种方案： ①取4cm，6cm，8cm；由于8﹣4＜6＜8+4，能构成三角形； ②取4cm，8cm，10cm；由于10﹣4＜8＜10+4，能构成三角形； ③取4cm，6cm，10cm；由于6＝10﹣4，不能构成三角形，此种情况不成立； ④取6cm，8cm，10cm；由于10﹣6＜8＜10+6，能构成三角形． 所以有3种方案符合要求． 故答案为：3． 【点睛】此题考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 变式2．下列哪组线段能构成三角形？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)能 (2)不能 (3)能 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了构成三角形的条件．判断线段能否构成三角形，需满足任意两边之和大于第三边． 【详解】（1）解：，∴能构成三角形． （2）解：，∴不能构成三角形． （3）解：，∴能构成三角形． 【题型三】确定第三边的取值范围 例3．（24-25七年级下·上海·月考）若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和． 【详解】设第三边长度为，根据三角形三边关系得：， 求得， 故四个选项里面，A不满足． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 【题型四】三角形三边关系的应用 例4．（24-25七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边的关系． 根据三角形三边之间的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．2，2，3，最长的边为，，能组成三角形，符合题意； B．5，6，11，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； C．3，4，8，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； D．10，5，5，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【答案】3 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 变式2．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 【题型五】三角形的分类 例5．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 变式1．若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解． 【详解】解：设三角形三边的长度比为， 则：， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰 变式2．利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： (1)在第一个方框中画锐角三角形； (2)在第二个方框中画直角三角形； (3)在第三个方框中画钝角三角形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查的是画三角形，三角形的分类； （1）根据锐角三角形的定义画锐角三角形的即可； （2）根据直角三角形的定义画直角三角形的即可； （3）根据钝角三角形的定义画钝角三角形的即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 【题型六】三角形角平分线的定义 例6．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形角平分线，作出图形，根据三角形角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图， 三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部． 故选：A 变式1．三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 【答案】线段 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线．据此得出． 【详解】解：三角形的角平分线是线段． 故答案为：线段． 【点睛】掌握三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段． 变式2．如图，AD∥BE，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AB∥CD． 【答案】证明见解析． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出，然后根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】 （两直线平行，内错角相等） 平分 又 ．（同位角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键． 【题型七】画三角形的高 例7．（2024七年级下·上海宝山·月考）若一个三角形的三条高所在直线的交点在此三角形外，则此三角形是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】根据高的概念，知三角形的三条高所在直线的交点在外部的三角形是钝角三角形；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【详解】解：一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部， 那么这个三角形是钝角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了通过三角形的形状可以判断三角形高线的位置，反之，通过三条高线交点的位置可以判断三角形的形状． 变式1．（23-24七年级下·上海·期中）在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是 条． 【答案】0或2 【知识点】画三角形的高 【分析】当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内；当三角形为直角三角形和锐角三角形时没有高在三角形外． 【详解】解：∵当三角形为直角三角形和锐角三角形时，没有高在三角形外；而当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内． ∴在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是0或2条 故答案为0或2． 【点睛】此题主要考查了三角形的高的位置，不同形状的三角形，它的高的情况不同，要求学生必须熟练掌握． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，点是的边上的一点， (1)过点作的垂线，交于点； (2)在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离； (4)线段、这两条线段大小关系是______用“”号连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)； (4)． 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高、画垂线、垂线段最短 【分析】本题考查作图基本作图、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画图即可． （2）根据三角形的高的定义画图即可． （3）结合点到直线的距离的定义可得答案． （4）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：由图可知，线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （4）解：由题意得，线段、这两条线段大小关系是． 故答案为：． 【题型八】与三角形的高有关的计算问题 例8．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的面积和三角形的高，过点作于点，根据三角形的面积公式得出，再根据可得结论．掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， ∵的面积为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 变式2．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知AD∥BC． (1)找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由． (2)如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，＝，求的值．（直接写出答案） 【答案】(1)理由见解析； (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据等底等高的三角形的面积相等解答，以及等式的性质进行解答即可． （2）利用△ABC和△BCD的面积列式整理即可得解． 【详解】（1）解：①△ABC与△BCD，②△ADB与△ADC，③△AMB与△DMC； 选择①说明：设AD、BC间的距离为h， 则S△ABC＝，S△BCD＝， ∴△ABC与△DBC的面积相等； 同理：△ADB与△ADC的面积相等． ∵△ABC与△DBC的面积相等， ∴S△ABC﹣S△BCM＝S△DBC﹣S△BCM，即，S△AMB＝S△DMC． （2）解：∵S△ABC＝S△BCD， ∴AC•BE＝BD•CF， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离相等，熟记等底等高的三角形的面积相等是解题的关键． 【题型九】根据三角形中线求长度 例9．如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ∵周长为， ∴， ∴， 故选：B． 变式1．如图，已知为的中线，，的周长为，则的周长为 ．    【答案】23 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键．根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是、的差，然后计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴ ， ∵的周长为， ∴周长为：． 故答案为：23． 变式2．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 【答案】(1)见解析 (2)MB (3)见解析 (4)CH 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高、根据三角形中线求长度 【分析】（1）根据三角形的中线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）根据三角形的高的定义画出图形； （4）根据点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （3）如图，线段即为所求； （4）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：．    【点睛】本题考查作图复杂作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义，属于中考常考题型． 【题型十】根据三角形中线求面积 例10．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了与三角形面积有关的计算，由得出，，求出，再由计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是 ． 【答案】2.5 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵、是的中线，连接，的面积是10， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 变式2．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知的面积是，请完成下列问题： (1)如图，中，若是边上的中线，则的面积______的面积填“”、“”或“”； (2)如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法： 连接，由得， 同理，可得． 设，，则，． 由题意得，． 可列方程组，解得______， 通过解这个方程组可得四边形的面积为______； (3)如图，，，请直接写出四边形的面积______不用书写过程 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】根据三角形中线求面积、加减消元法 【分析】（1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以； （2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，设，，则，，根据题意，列出方程组，解出即可得到结果； （3）连接，由：：，得到，同理可得，设，，则，，由题意得列方程组，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过作于， 是的边上的中线， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为， ， ， 故答案为：，； （3）解：如图，连接， ， ， ， ， 设，，则，， 由题意得：，， 可列方程组为：， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，解二元一次方程组，熟练掌握这个结论是解题的关键． 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，3，6 B．6，8，10 C．5，7，2 D．5，6，12 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知：两边之和大于第三边；两边只差小于第三边是解本题的关键． 2．如图，下面是某同学的折纸示意图，则线段是的（    ）    A．高线 B．角平分线 C．中线 D．垂线 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的中线的定义等知识点，正确掌握中线的定义是解题的关键． 由折叠的性质可得，再根据三角形中线的定义即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质得， 所以线段是的中线． 故选：C． 3．三角形的三边分别为、、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式解答即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由三角形三边关系可得，， 解得， 故选：． 4．如图，在中，分别是的中点，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，由分别是的中点可得，，据此即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 5．已知a，b、c是的三条边长，化简的结果为（　　） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴ ． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值． 6．如图所示，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由点D，E，F分别为边，，的中点可得是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积． 【详解】解：∵已知点D，E，F分别为边的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∵是的中线， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的中线和三角形面积之间的关系“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”，这也是本题的突破点． 二、填空题 7．如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，解题的关键是熟练掌握三角形的高的定义． 根据三角形的高的定义，求解即可． 【详解】解：可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，，共条； 综上，可以作为三角形“高”的线段有：，，，，共条． 故答案为：． 8．已知三角形的两边为2和3，则第三边a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可． 9．如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是 个． 【答案】4 【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍，从而得解．本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试． 【详解】如图，满足条件的点C共有4个． 故答案为：4． 10．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高和中线，由三角形的高和面积可得，进而根据三角形中线的定义即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是高， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，，，，，，则线段 ．    【答案】 【分析】根据即可求出的值． 【详解】解：在中，，，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的面积，熟知直角三角形的面积公式是解答此题的关键． 12．如图，为△的中线，，若△的周长比△的周长多，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查三角形中线的性质与周长的计算，解题的关键是利用中线得出，再通过周长差建立边长关系． 根据中线性质得，结合两个三角形周长差，消去公共边后计算的长度． 【详解】是的中线， ． 的周长为， 的周长为， 由的周长比的周长长，可得： 代入化简得， 已知， 则，解得． 故答案为：12． 13．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了非负数的性质与三角形三边关系，掌握绝对值、平方数的和为时，各项分别为；三角形三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系确定的取值范围，结合为偶数，取的最大值，从而得到最大周长． 【详解】解：由， 得，， 解得，． 根据三角形三边关系，有． 为偶数，故或． 当时，周长最大，为． 故答案为：17． 14．如图，在中，点、、分别是线段、、的中点，且，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成的两个面积相等的三角形是解题的关键．先根据点是的中点，推出，然后根据点是的中点，推出，最后根据点是中点，即可得到． 【详解】解：点是的中点， ， ，点是的中点 点是中点 ． 故答案为：4． 15．如图，在中，的面积为，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．设，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积分别用含、的代数式表示出来，列关于和的二元一次方程组并求解，从而求出的值即可． 【详解】解：如图，连接 设，， 点是的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形的面积为 故答案为： 三、解答题 16．如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 【答案】，；，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键．根据图形直接得出所有的三角形进而得出答案． 【详解】解：以为角的三角形有，， 以为边的三角形有，，． 17．a、b、c为三角形的三边，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大小第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识；根据三角形三边关系确定的符号，由绝对值的性质及整式加减法则即可化简． 【详解】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴， 即， ∴ ． 18．如图，是的边的中线，已知，求和的周长之差．    【答案】 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差． 【详解】解：是中边上的中线， ， 和的周长的差 ． 【点睛】本题考查三角形的中线的定义以及周长的计算方法，三角形一边的中点与此边所对的顶点的连线叫做三角形的中线． 19．如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为奇数，求的长和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积计算，构成三角形的条件，先由三角形中线平分三角形面积得到，进而根据三角形面积计算公式得到，再由构成三角形的条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，是中线，， ∴， ∵是高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的长为奇数且， ∴． 20．如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)60 (2)24 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键： （1）求出的面积，再根据三角形的中线平分面积求出的面积； （2）利用面积公式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵的边上的高为， ∴， ∵为的中线， ∴； （2）解：∵为的高， ∴， ∴． 21．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上，将△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）请在图中画出平移后的△A，B，C，； （2）再在图中画出△ABC的高CD；中线BM （3）△ABC的面积 S△ABC= （4）在图中能使S△ABC=S△PBC的格点P的个数有 个（点P异于A） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8；（4）5 【分析】（1）周长A，B，C的对应点A′，B′，C′即可． （2）根据高的定义作出△ABC的高CD即可． （3）利用分割法求出△ABC的面积即可． （4）利用等高模型解决问题即可． 【详解】解：（1）△A′B′C′如图所示． （2）△ABC的高CD如图所示． （3）S△ABC=×4×4=8， 故答案为8． （4）如图所示，满足条件的点P有5个． 故答案为5． 【点睛】本题属于作图-平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22．利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： ． 例2：若，求M的最小值． ∵，， ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)当，时，多项式有最小值，最小值为3 (3)周长的最大值为13 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）把原式变换成完全平方式与一个常数的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变换成两个完全平方式与一个常数的和形式，根据完全平方式为非负数即可解答； （3）把等式变形为三个完全平方式的和等于0的形式，根据几个非负数的和为零时，几个非负数都等于0，由此求出a、b，再根据三角形三边的关系求出的最大值，由此可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当，时，多项式的最小值为3； （3）∵， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∵c是正整数， ∴当时，周长取最大值， ∴周长的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $