精品解析：安徽省阜阳市临泉县靖波高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

临泉县靖波高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （　　） A B. C. D. 2. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 3. 若函数 的定义域为，函数 的定义域为 ，则（　　） A B. C. D. 4. 已知 ，则 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 函数 是（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 6. 为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A. 400度 B. 420度 C. 440度 D. 460度 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 若方程有三个不相等的实数根，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 10 已知函数满足以下条件： ①最小正周期为； ②当时，函数取得最小值 ； 则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象关于点对称 11. 已知正实数满足，则下列不等式恒成立的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数在上单调递减，则 ______. 13. 函数 的单调递增区间是 ______. 14. 某食品保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系 （ 为自然对数的底数，， 为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是 ______ 小时（保留一位小数）. 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数 . （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.求函数在区间上的值域. 17. 已知函数 . （1）求函数的定义域； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； （3）若对任意的，总存在，使得成立， 求实数的取值范围. 18. 某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量 （微克）与时间 （小时）之间近似满足如下关系：当 时，；当 时，. （1）写出服药后每毫升血液中含药量 关于时间 的函数关系式； （2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效.求服药一次后治疗疾病有效的时间长度； （3）若每毫升血液中含药量达到4微克以上时开始产生副作用，求服药后什么时候开始产生副作用. 19. 对于定义在上的函数 ，如果存在实数 （），使得对任意的 ，都有 ，且存在使得，存在使得 ，则称是上的“闭函数”，区间称为的“闭区间”. （1）判断函数在区间上是否为“闭函数”，并说明理由； （2）若函数在区间上是“闭函数”，求实数的取值范围； （3）若函数是R上的“闭函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临泉县靖波高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合交集的定义进行求解即可. 【详解】解不等式，得，所以. 又，所以 . 故选：C 2. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，并对结论进行否定. 【详解】因为全称量词命题否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是. 故选：B 3. 若函数 的定义域为，函数 的定义域为 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合、，再求交集即可. 【详解】由得或，所以. 由得，所以. 故. 故选：C. 4. 已知 ，则 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意， ，即；；， 所以，即. 故选：A 5. 函数 是（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合指数幂的运算法则和余弦函数的奇偶性进行运算判断即可. 【详解】函数的定义域为全体实数， 因为， 所以为奇函数. 故选：A 6. 为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A. 400度 B. 420度 C. 440度 D. 460度 【答案】C 【解析】 【分析】根据计费方法，结合已知数据，即可直接求得结果. 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将等式平方，得到，根据的范围从而得到的值，解得，的值，再得到的值，得到答案. 【详解】因为，所以， 即， 又因为，所以， 所以，即 所以， 所以得到，， 所以， 故选：C. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的关系进行化简求值，属于简单题. 8. 已知函数 若方程有三个不相等的实数根，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出的图象，将“方程有三个不相等的实数根”转化为“函数的图象与直线 有三个不同的交点”，求得，由对数的运算性质，易得，所以，由此可得的取值范围. 【详解】令，得，所以. 因为是增函数，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 所以的图象如图所示： 方程 有三个不相等的实数根，且， 则函数的图象与直线 有三个不同的交点，交点横坐标分别为，且. 因为，且，所以 . 当时，令，则； 当时，令，得，所以. 所以. 结合的解析式及图象，知，即，所以，所以. 所以，所以的取值范围是. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对AB由简单的幂函数的性质可判断，对C由对勾函数的性质可判断，对D由函数的图象的平移及复合函数的单调性可得. 【详解】对于A：由 是奇函数，在 上单调递增，正确. 对于B： 是奇函数，在 上单调递增，正确. 对于C：是奇函数，但在 上单调递减，错误. 对于D：由函数的定义域为，且是奇函数， 又因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，图象如下， 所以在上单调递增，也是增函数，由复合函数的单调性可得在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数满足以下条件： ①最小正周期为； ②当时，函数取得最小值 ； 则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用周期公式可求；将代入得，根据的范围即可求解；由②知C正确；检验点是否满足解析式即可. 【详解】由最小正周期为得 ，A正确. 由当 时取得最小值，得即， 因为，所以 ，B错误. 函数，，所以图象关于直线对称，C正确. 当时，，函数值为，所以D错误. 故选：AC 11. 已知正实数满足，则下列不等式恒成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用基本不等式“1”的妙用方法即可求解判断；B根据不等式计算即可求解判断；C平方再利用基本不等式即可求解判断；D直接利用基本不等式求解判断. 【详解】A：， 当且仅当取等号，故A正确. B：，当且仅当取等号，故B错误. C：， 当且仅当取等号，所以，故C正确. D：，当且仅当取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数在上单调递减，则 ______. 【答案】## 【解析】 【分析】由幂函数的定义以及性质求出. 【详解】由幂函数定义得，解得或. 当时，，在 上单调递增，不符合题意； 当时，，在上单调递减，符合题意. 所以，则. 故答案为： 13. 函数 的单调递增区间是 ______. 【答案】 【解析】 【分析】将函数分解成两个基本初等函数和，再根据复合函数的单调性判断可得. 【详解】由得定义域为 R.令，则函数在上单调递增. 当时，二次函数单调递增，所以在上单调递增； 当时，二次函数单调递减，所以在单调递减； 故函数的单调递增区间为. 故答案： 14. 某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系 （ 为自然对数的底数，， 为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是 ______ 小时（保留一位小数）. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，两式相除求出，再代入计算可得. 【详解】由题意得， 两式相除得，所以. 当时，， 所以该食品在30℃时的保鲜时间约是小时. 故答案： 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到，，根据并集概念求出答案； （2）先得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 解不等式得，所以， 当时，，所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以. 当时，，解得，此时 成立. 当时，由得， 解得， 综上，实数的取值范围是. 16. 已知函数 . （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.求函数在区间上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角、辅助角公式化简，求得最小正周期，由整体法求单调递增区间； （2）先求出解析式，再由整体法结合三角函数图像性质求值域即可. 【小问1详解】 所以函数 的最小正周期 . 由 ， 得 . 所以函数 的单调递增区间为 . 【小问2详解】 将函数 的图象向右平移 个单位长度， 得到函数 的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象. 当 时，， 所以 ， 因此 ， 即函数 在区间 上的值域为 . 17. 已知函数 . （1）求函数的定义域； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； （3）若对任意的，总存在，使得成立， 求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数型函数定义域的性质进行求解即可； （2）根据对数的运算，结合对数的最值性质进行求解即可； （3）根据函数的最值，结合任意性和存在性的定义进行求解即可. 【小问1详解】 根据函数的解析式可知：， 所以该函数的定义域为； 【小问2详解】 ， 因为函数在上单调递增， 所以有， 所以， 所以关于的方程在区间上有解，只需， 因此实数的取值范围为； 【小问3详解】 对任意的，总存在，使得成立， 即函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 由在上单调递增，则， 由在上单调递减， 则， 要想，只需，即，解得， 故实数的取值为. 18. 某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量 （微克）与时间 （小时）之间近似满足如下关系：当 时，；当 时，. （1）写出服药后每毫升血液中含药量 关于时间 函数关系式； （2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效.求服药一次后治疗疾病有效的时间长度； （3）若每毫升血液中含药量达到4微克以上时开始产生副作用，求服药后什么时候开始产生副作用. 【答案】（1） （2） 小时 （3） 小时 【解析】 【分析】（1）由题意利用分段函数知识可得函数解析式； （2）解不等式结合题设可得答案. （3）解不等式结合题设可得答案. 【小问1详解】 设含药量关于时间的解析式为， 则； 【小问2详解】 当 时，； 当时，. 综上，服药一次后治疗疾病有效的时间长度为 小时； 小问3详解】 当 时，； 当时，. 则服药后开始产生副作用的时间为服药后的小时. 19. 对于定义在上的函数 ，如果存在实数 （），使得对任意的 ，都有 ，且存在使得，存在使得 ，则称是上的“闭函数”，区间称为的“闭区间”. （1）判断函数在区间上是否为“闭函数”，并说明理由； （2）若函数在区间上是“闭函数”，求实数的取值范围； （3）若函数是R上的“闭函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）是“闭函数”，理由见解析； （2）R； （3）不存在实数使是R上的“闭函数”. 【解析】 【分析】（1）直接根据“闭函数”的定义判断可得； （2）由在区间单调，再以的取值分三类讨论可得； （3）先将函数看成表示点到点和点的距离之和，再构造点关于x轴的对称点，，进而可得函数的最小值，但函数无最大值，故不存在实数使得其函数值为无穷大，因此可得结果. 【小问1详解】 函数在区间上，当时，取最小值； 当或时，取最大值. 所以对任意，有，且存在使，存在或使. 因此函数在区间上是“闭函数”，闭区间为. 【小问2详解】 因为函数在区间上单调. 若，则在上单调递减，所以，即. 由“闭函数”定义得，所以.此时闭区间为. 同理，若，则在上单调递增，闭区间为. 若，则为常函数，也是闭函数. 所以实数的取值范围为R. 【小问3详解】 因为函数表示点到点和点的距离之和. 即，如图： 因为点在上，作点关于轴的对称点，所以， 由几何意义知，，而点在上， 所以当三点共线时，函数取得最小值. 当时，，所以的最小值为，值域为. 若是R上的“闭函数”，则需存在使，但值域为无穷区间，所以不存在有限闭区间. 因此不存在实数使是R上的“闭函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $