精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

2024-2025学年高一上学期期末测试数学试卷 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2. 设命题，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得结论. 【详解】因为命题， 所以为. 故选：B. 3. 已知函数在处取得最小值，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用给定的极值点求出值，即可得解. 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此函数在处取得最小值， 所以，则. 故选：A 4. 某科研单位与企业合作，为该企业研发并安装了新的清除企业产品中某杂质的设备.在清除过程中，产品中某杂质含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系满足:(为杂质含量的初始值，k为常数).已知经过1 h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质，则经过3 h，产品中某杂质的含量与下列四个值中最接近的是（ ） A. 32% B. 28% C. 25% D. 21% 【答案】D 【解析】 【分析】应用已知及对数运算得，再代入计算求解即可. 【详解】因为经过1 h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质， 所以，即得， 设经过3 h产品中某杂质含量M， 则. 即21.6％ 故选：D. 5. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导函数可得对恒成立，求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以对恒成立， 所以对恒成立，所以对恒成立， 所以，所以实数a的取值范围是. 故选：B. 6. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性排除B；利用排除C；利用时函数值的符号排除D，从而可得答案. 【详解】因为，且定义域为R，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B； 因为，故排除C； 又时，故排除D. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求导可证，可得，令，求导可证，可得，可得结论. 【详解】令，求导得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，所以，当且仅当时取等号， 当时，，所以， 令，求导可得， 当时， ，所以在上单调递增， 当时， ，所以在上单调递减， 所以，即，所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，所以. 故选：D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，令，利用导数可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 令， 求导得， 令，可得，所以， 解得或（舍去）， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以函数在取得最小值， ， 即的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于把原式转化为，然合构造函数，利用导数求得最小值. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，若，则m的值可以是（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】AD 【解析】 【分析】应用分段函数函数值列方程组，结合指数对数运算计算得出自变量即可. 【详解】因为，若， 则或， 所以或， 所以或. 故选：AD. 10. 已知实数a，b，c满足，则（ ） A. B. << C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AD；利用正数越大的数倒数越小可判断B；由已知易得，进而可得，可判断C. 【详解】对于A，令，可得，故A错误； 对于B，由，可得<<，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，又， 所以，所以，又，所以，故C正确； 对于D，令，可得，故D错误. 故选：BC. 11. 设函数，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数有三个零点 C. 函数有两个极值点 D. 点是曲线的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导可判断A；求得零点判断B；求得的根，结合二次函数的性质可判断C；令，结合奇函数的性质可判断D. 【详解】由，可得， 当时，，所以函数在上单调递增，故A正确； 令，可得，所以， 所以，，解得或， 所以函数有2个零点，故B错误； 令，解得，由二次函数的可知是的变号零点， 所以函数有两个极值点，故C正确； 令，则，所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，再将向下平移2个单位即可得到， 所以点是曲线的对称中心，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，若，则a=____. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，结合集合元素的互异性，即可求解. 【详解】根据题意，， 则或， 当时，，不成立， 当时，得或（舍）， 所以. 故答案为： 13. 已知，若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式可得或，结合已知可得m的取值范围. 【详解】由，可得，解得或， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 所以m的取值范围为. 故答案为：. 14. 函数的图象在点处的切线方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】先求导，再根据导数的几何意义即可求出. 【详解】由， 则，则， 且， 所以函数在点处的切线方程为， 即. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，再利用并集运算法则求得即可； （2）由题，从而转化为研究两集合端点之间的不等关系，列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 由题意知， 由，解得． 当时，，又，则． 【小问2详解】 由题意知，则，解得，即． 16. 已知函数在和处取极值 （1）求 （2）证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导利用的两根分别为和列方程组可求 （2）先判断函数的单调性，求出时，，再根据可得结论. 【小问1详解】 函数在和处取极值， 所以的两根分别为和 则 解得， ， 时，函数在上单调递增， 时，函数在上单调递减， 所以， 符合题意， 【小问2详解】 由(1)知函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，有极大值，极大值为 当时，有极小值，极小值为 又， 所以时， 所以当时， 17. 室内空气消毒是为消灭污染室内空气的有害微生物而采取的有效措施.常用方法有自然通风、紫外线灯消毒、臭氧及其他化学消毒剂消毒和静电等空气净化器消毒等.某公司新研发一款室内空气消毒剂，根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的空气消毒剂，空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的关系如下:当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次喷洒的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到有效消毒空气的作用. （1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间可达几天? （2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6天后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4天中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据:≈1.4) 【答案】（1）8天 （2）1.6 【解析】 【分析】（1）分类讨论，进而由可求出结果； （2）根据题意求出从第一次喷洒起，经天后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果. 【小问1详解】 一次喷洒4个单位的消毒剂，当时，浓度， 令，解得； 当时，浓度，由，解得， 综上所述，，故一次喷洒4个单位的消毒剂，消毒时间可达8天. 【小问2详解】 设从第一次喷洒起，经天， 浓度， 因为，而，， 所以，当且仅当时取等号. 令，得， 解得，则a的最小值为. 18. 已知函数. （1）若直线是曲线的一条切线，求a; （2）讨论函数的零点个数. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】1）设切点坐标为，求出原函数的导函数，由切线斜率与切点处函数值相等可得关于与的方程组，即可求得的值； （2）由，得令利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象，数形结合得答案 【小问1详解】 由，得 ， 设切点为，则，解得 【小问2详解】 显然不是函数零点，所以由，得令 则 当时，，当时，，当时， 在，上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象如图： 由图可知，当 时，函数有1个零点， 当 时，函数有2个零点， 当 时，函数有3个零点. 19. 已知函数是奇函数. （1）求实数a； （2）若，恒成立，求t的最小值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由函数的定义域关于原点对称求实数a，并进行验证； （2）由（1）知|，先研究函数单调性和正负性，再根据单调性解不等式. 【小问1详解】 由题意知函数的定义域关于原点对称，则， 由，得， 则，解得， 此时，， 即，函数为奇函数，符合题意. 【小问2详解】 由（1）知|， 当，且时，，， 当，时，，， 又，则，若恒成立， 则，得， ，可知，则， 当时，， 由复合函数的单调性知在上单调递增， 由题意得，解得或， 则，故t的最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一上学期期末测试数学试卷 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则为（ ） A B. C D. 3. 已知函数在处取得最小值，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 某科研单位与企业合作，为该企业研发并安装了新的清除企业产品中某杂质的设备.在清除过程中，产品中某杂质含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系满足:(为杂质含量的初始值，k为常数).已知经过1 h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质，则经过3 h，产品中某杂质的含量与下列四个值中最接近的是（ ） A 32% B. 28% C. 25% D. 21% 5. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上的图象大致是（ ） A B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，若，则m的值可以是（ ） A. B. C. 4 D. 8 10. 已知实数a，b，c满足，则（ ） A. B. << C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数有三个零点 C. 函数有两个极值点 D. 点是曲线的对称中心 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，若，则a=____. 13. 已知，若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围为____. 14. 函数的图象在点处的切线方程为____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数在和处取极值 （1）求 （2）证明： 17. 室内空气消毒是为消灭污染室内空气的有害微生物而采取的有效措施.常用方法有自然通风、紫外线灯消毒、臭氧及其他化学消毒剂消毒和静电等空气净化器消毒等.某公司新研发一款室内空气消毒剂，根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的空气消毒剂，空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的关系如下:当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次喷洒的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到有效消毒空气的作用. （1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间可达几天? （2）若第一次喷洒2个单位消毒剂，6天后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4天中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据:≈1.4) 18. 已知函数. （1）若直线是曲线的一条切线，求a; （2）讨论函数的零点个数. 19. 已知函数是奇函数. （1）求实数a； （2）若，恒成立，求t的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$