精品解析：安徽宣城市2025-2026学年度高二第一学期期末检测数学试题

2025—2026学年度第一学期期末检测 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量，再求与共线的向量即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的一个方向向量， 对于A，因，即向量与不共线，A不合题意； 对于B，因，即向量与不共线，B不合题意； 对于C，因，即向量与不共线，C不合题意； 对于D，因，即向量与共线，D符合题意. 故选：D 2. 记为等差数列的前n项和.若，则（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】 ， 故选：C 3. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆圆心距离即半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线条数. 【详解】由可知圆心为，半径， 由，即， 则圆心为，半径， 则两圆圆心距离为，，， 故，即两圆相交，故公切线条数为2条. 故选：B. 4. 在三棱柱中，是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 5. 已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，则这个二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设二面角的大小为，则，又，根据向量数量积的运算律可求得，进而可求得. 【详解】如图，设二面角的大小为，因线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则， 根据题意可得， 所以， 因为，，， 所以， 解得，又因为，所以， 所以这个二面角的度数为. 故选：B. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性及特殊点函数值即可判断. 【详解】由，可得定义域为， 又， 函数为偶函数，故排除D， 又，结合图像可排查BC， 故选：A 7. 已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解得出，最后得出弦长即可. 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 代入，可得， 又因为，解得，所以， 又因为，所以，，设，所以， 则. 故选：D. 8. 记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据牛顿数列的定义通过函数求导化简得数列递推式，即得等比数列，求出数列的通项与前项和，利用数列的增减性即可求得答案. 【详解】由可得，根据牛顿数列的定义，， 将和代入上式，得， 则数列组成首项为，公比为2的等比数列，故，于是， 则，，则等价于，即， 因为递增数列，且，故满足条件的有4，5两个，它们的和为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量与共线，与共线，则与共线 B. 若G是四面体的底面的重心，则 C. 若，则A，B，C，G四点共面 D. 若向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量共线、重心性质、四点共面条件及基变换等知识逐一判断每个选项即可. 【详解】选项A：若向量 ，则 与 共线， 与 共线，但 与 不一定共线，故A错误. 选项B：若 是 的重心，则 ，故B正确. 选项C：若 四点共面，则存在实数 使得 且 ，这里 ，故四点不共面，C错误. 选项D：已知 ，在基底 下，设 ，则： 所以，解得 ，故坐标为 ，D正确. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分析函数的单调性即可得出极值点个数；对于B， 利用函数的极值与零点存在定理可得出零点个数；对于C，通过检验是否恒成立即可判断；对于D，利用导数的几何意义写出切线方程，由求出的切点个数即可判断. 【详解】对于A，由求导得． 令，得或，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以和2是函数的两个极值点，故A正确； 对于B，由A项分析，在时取得极大值，在时取得极小值， 且当时，，当时，，故函数在定义域上有三个零点，故B正确； 对于C，由， 因为， 故曲线关于点不成中心对称，故C错误； 对于D，设切点为，则切线的方程为， 代入，可得，化简得，解得或． 故过点且与曲线相切的直线恰有两条，故D正确． 故选：ABD. 11. 如图，类似“心形”的曲线E，可以看成由上部分曲线，下部分曲线（）构成，过曲线的焦点的直线l与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线E上任意一点到原点的距离都不超过 B. 曲线的方程为（） C. 直线与曲线E有2个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设易知上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆，进而确定下半部分椭圆参数得方程，结合椭圆性质判断A、B；根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果判断C；通过设直线方程，数形结合及联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求出面积解析式，再运用函数单调性求其最值判断D. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 曲线的焦点为，解得，，， 对于A，由曲线E的图形可知，当点位于的下顶点时该点到原点的距离最大，为， 即曲线E上任意一点到原点的距离都不超过，故A正确； 对于B，由上分析，可知曲线的方程为，故B正确； 对于C：联立方程，消去可得， 令，解得（舍去）或， 取直线和直线； 若点到直线，即的距离，解得或（舍去）， 若点到直线，即的距离，解得或（舍去）， 取直线和直线；以直线为临界，结合图形可知： 若直线与曲线有2个交点，则或， 所以的取值范围为，故C错误； 对于D，根据对称性，不妨设，由题意，，即， 联立，消去并整理得， ，则，， 则， 点到直线的距离为， 所以， 设，易得， 函数在上单调递增，则， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若数列的通项公式为，其前n项和为，则______． 【答案】1012 【解析】 【分析】先求出的规律，进而得到的规律，即可根据规律求出结论. 【详解】因为， 所以， 所以每四项和为2， 因此 ． 故答案为：1012. 13. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义写出切线方程，进而求得切线与坐标轴的交点，即可求得结果. 【详解】由求导得，则， 故切线方程为，令，得，令，得， 即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：. 14. 已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，左右顶点分别为，，右焦点为F，且M，N是双曲线C位于第一象限的两点，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，，余弦定理得，得，由，求，最后由求值即可. 【详解】依题意，，则， 设双曲线的左焦点为，连接，则，因，则， 在中，由余弦定理，，则，， 又，故. 设点，则易得，即， 由，可得， 则， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆内有一点，为过点P的弦． （1）当时，求直线的方程； （2）求弦中点M的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况考虑，在斜率不存在时结合图形求出弦长检验可得；在斜率存在时，利用弦长公式求出直线斜率即得直线方程； （2）方法一：由垂径定理得，从而可得点的轨迹是以为直径的圆，求出圆的方程即可；方法二：利用，代入点的坐标推导即得；方法三：利用，代入点的坐标推导即得. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，的方程为，代入， 此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 设原点O到直线的距离为d，则，解得 的方程为，即 综上，直线的方程为或 【小问2详解】 方法一：是的中点，由垂径定理得 的轨迹是以为直径的圆．的中点为， 即圆心为，半径 的轨迹方程为 方法二：设，由垂径定理得，，（且）， ，得（且 当时，，时，，也满足上式， 的轨迹方程为 方法三：设，由垂径定理得， 即，即M的轨迹方程为. 16. 已知数列的前n项和为，，（）． （1）求的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的数量关系推得，利用等比数列的定义即可求出数列的通项； （2）依题意，求出的表达式，采用裂项相消的方法求和，根据数列的增减性即可求得参数的范围. 【小问1详解】 由得：（）， 两式相减得：，即（）， 又时，，（）， 是以为首项，公比的等比数列，. 【小问2详解】 ， ， ， 易知，随n增大而增大，的最小值是， 由恒成立，可得，故的取值范围是. 17. 如图，点C在以为直径的半圆的圆周上，，且，，（）． （1）求证：平面平面； （2）当直线与平面夹角的正弦值为时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理与判定定理即可证明； （2）依题意建系，写出相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式列方程求解即得的值. 【小问1详解】 平面，平面．. 又为直径，点C在圆上，， 又，平面，，平面， 又平面，平面平面. 【小问2详解】 由平面，． 以B为原点，方向为x轴，方向为z轴，建系如图． 则，，， ，，，． ，． 设平面的法向量为，则， 即，可取. 设直线与平面所成角为， 则, ，解得或（舍）， 综上，的值是. 18. 已知椭圆（）过点，离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l与椭圆C交于A，B两点． （i）当线段的中点坐标为时，求直线l的方程； （ii）当直线l斜率为1，且不过原点O，直线l与y轴交于点P，T是A关于x轴的对称点．记直线与x轴交于点Q，求周长的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和经过的点建立方程，求出，即得椭圆方程； （2）（i）解法一：利用点差法利用弦的中点求出弦所在直线的斜率即得；解法二：设直线的方程与椭圆方程联立，借助于韦达定理求出直线的斜率即得；（ii）设直线，与椭圆方程联立，写出韦达定理，求直线的方程，令，求得，表示出的周长表达式，利用基本不等式即可求得其最小值. 【小问1详解】 由题意得，解得： 椭圆C的标准方程是. 【小问2详解】 （i）解法一：设，，则， 相减得：, 中点是，，，代入上式得：， 即l的斜率，的方程为，即. 解法二：当l的斜率不存在时，显然不合题意． 当l的斜率存在时，设方程为，代入得： ， 设， 则，解得： 的方程为，即. （ii）设直线（），令，得：， 设，，则， 联立直线l与椭圆方程消元得：， 由，得， 则，, 直线的方程为， 令，得, ，, 的周长为 （当且仅当，等号成立） 故的周长的最小值为. 19. 已知函数，（）． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围； （3）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值． 【答案】（1） 当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）函数定义域为，求导，再分和两种情况讨论求解即可得答案； （2）函数零点即方程的解，等价于,将问题转化为求与图像的交点个数; （3）根据题意得在上恒成立，故令，求函数最大值即可得答案. 【小问1详解】 由题意，， 当时，恒成立，在单调递增； 当时，令，得， 当，，当， 在单调递增，在单调递减 【小问2详解】 有两个零点，等价于有两个实数根，即， 即，等价于与有两个交点． 由得，， 当，，当，， 在单增，单减． 且，， ，，，，且时，，图象如图， 的取值范围是 【小问3详解】 不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立． 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以a的最小值为1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末检测 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前n项和.若，则（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 3. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在三棱柱中，是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，则这个二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（ ） A. 8 B. C. D. 8. 记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量与共线，与共线，则与共线 B. 若G是四面体的底面的重心，则 C. 若，则A，B，C，G四点共面 D. 若向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 11. 如图，类似“心形”的曲线E，可以看成由上部分曲线，下部分曲线（）构成，过曲线的焦点的直线l与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线E上任意一点到原点的距离都不超过 B. 曲线的方程为（） C. 直线与曲线E有2个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若数列的通项公式为，其前n项和为，则______． 13. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 14. 已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，左右顶点分别为，，右焦点为F，且M，N是双曲线C位于第一象限的两点，，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆内有一点，为过点P的弦． （1）当时，求直线的方程； （2）求弦中点M的轨迹方程． 16. 已知数列的前n项和为，，（）． （1）求的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图，点C在以为直径的半圆的圆周上，，且，，（）． （1）求证：平面平面； （2）当直线与平面夹角的正弦值为时，求的值． 18. 已知椭圆（）过点，离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l与椭圆C交于A，B两点． （i）当线段的中点坐标为时，求直线l的方程； （ii）当直线l斜率为1，且不过原点O，直线l与y轴交于点P，T是A关于x轴的对称点．记直线与x轴交于点Q，求周长的最小值． 19. 已知函数，（）． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围； （3）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $