精品解析：安徽省宣城市2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试题

2024-2025学年安徽省宣城市高二上学期期末调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式即可求解； 【详解】解：由题意，因为， 则， 解得， 故选：D 2. 已知点A，B在直线上运动，且，点C在圆上，则面积最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线l的距离，进而得到点C到直线l的最大距离，得到三角形面积最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线l的距离为， 则点C到直线l的最大距离为， 则面积的最大值为 故选：A 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 4. 在平行六面体中，若，，，则的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算及数量积的运算律求出长. 【详解】在平行六面体中，，，， ，而， 所以 . 故选：B 5. 已知正三棱台的体积为，，，则直线与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式求出棱台的高，设和的中心分别为，作平面ABC交平面ABC于点，即为直线与平面ABC所成的角，利用锐角三角函数求得线面角的正切值. 【详解】设正三棱台的高为 ，， ， 正三棱台的体积 . ， 如图： 设和的中心分别为，连接，，AO， 作平面ABC交平面ABC于点D， 由几何体为正三棱台可知，点D在AO上，且四边形为矩形， 其中即为直线与平面ABC所成的角， 由，，可得，， ， 故选：. 6. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围. 【详解】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 7. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得相应点的坐标，结合题意可得切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 令代入椭圆方程可得，不妨设， 则切线，即， 可知直线的斜率，切线的斜率， 由题意可知：，即. 故选：C 【点睛】关键点点睛：由根据题意可得切线，即可得切线斜率. 8. 已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于A，B两点（其中点A为垂足），且点A，B分别在第二、第三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到OA和OB的方程，设，根据题意得到，进而得到方程组，求出，由垂直关系可得斜率之积等于，求出，得到渐近线方程. 【详解】由题意可得，OA的方程为 ，OB的方程为 ， 设， 点A，B分别在第二、三象限内，若  ，则 ，  ，  ， ，  ， 由可得，斜率之积等于， 故 ，即 ，解得  所以双曲线C的渐近线方程为  故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点E到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由中位线线线平行即可判断，对于B，由可判断，对于CD，由向量法可判断； 【详解】解：对于A，因为E，F分别是棱AB，BC的中点， 所以 因为，所以，故A正确； 对于B，易知平面， 所以 ， 故B正确； 对于C，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以 ， 故C错误； 对于D，， 则， 所以， 所以点E到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（ ） A. 切线长的最小值为 B. 四边形面积最小值为4 C. 当最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦所在直线必过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D． 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 11. 抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 三角形ABC面积的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出两点的坐标可判断A；根据焦半径公式可判断B；根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式判断C；利用焦半径公式结合基本不等式以及韦达定理可判断D. 【详解】由可得，抛物线的焦点为，准线方程为， 对于A，当时，可得，，故A正确； 对于B，当时，直线l方程为，与抛物线方程联立， 消去y，化简整理得，解得或， 所以，，所以，故B错误； 对于C，设直线l的方程为，与抛物线方程联立 消去x，化简整理得，设， 则，， 所以 又点C到直线l的距离， 所以 当且仅当时，等号成立，三角形ABC面积的最小值为4，故C正确； 对于D，由抛物线的定义得 ，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出直线方程，求出圆心到直线l的距离，由垂径定理求得弦长. 【详解】由题意可得直线l的方程为，即，即， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l被圆所截得的弦长为 故答案为：. 13. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列性质得到 【详解】由等差数列性质得 故答案为： 14. 已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程和双曲线方程的定义可得，进而由得，设，由，可得，，由可得. 【详解】 设椭圆和双曲线的方程分别为，， 所以，可得， 设椭圆的半焦距为，因为， 所以，即， 化简得，即，即， 令，则，取， 因为，，所以，， 所以，故， 则， 时，， 因为， 所以，所以， 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是各项均为正数的等比数列，且，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前2025项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差中项公式与等比数列的通项公式即可求解； （2）利用裂项相消法结合对数运算公式求数列的前项和即可. 【小问1详解】 设数列的公比为q，， 因为是和的等差中项， 所以，即， 因为,所以 解得，或（舍） 所以 【小问2详解】 由知，则， 所以， 所以， 故的前2025项和 16. 若平面内动点P到两定点距离的比值为常数且，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.已知两定点的坐标分别为，，动点M满足 （1）求动点M的阿波罗尼斯圆方程； （2）过点作该圆的切线l，求切线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设动点M坐标为，由两点间距离公式结合即可求解； （2）分直线l的斜率存在与不存在两种情况，由圆心到直线的距离等于半径即可求解； 【小问1详解】 设动点M坐标为，则，， 由条件，得， 化简得 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，即， 由l与圆相切，得圆心到直线的距离，解得， 此时l的方程为 综上，l的方程为或 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，O为BD的中点，， （1）证明：平面 （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一证明，并求得长.再由勾股定理逆定理证明，由线面垂直的判定证明平面； （2）由（1）得到三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系得到点坐标和向量坐标，然后得到平面的法向量，求出平面的法向量，由空间向量的夹角求得面面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：如图，连接OC， 在中，由可得 因为，且O是BD中点， 所以，， 因为，，，所以，所以 又因为BD，平面ABCD，，所以平面 【小问2详解】 由（1）及可知，OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由，，则， 设平面PBC的法向量， 由，， 有， 取，则，， 可得平面PBC的一个法向量， 设平面PAD的法向量， 由，， 有， 取，则，， 可得平面PAD的个法向量， 所以平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值为 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且 （1）求椭圆的标准方程; （2）直线，均过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点和若分别是线段和的中点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两点距离可得，结合离心率即可求解的值即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，进而根据，，即可根据三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意，因为，， 所以 又，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 由题意知，，直线的斜率存在. 设直线的方程为，，， 则直线的方程可设为，， 联立，消去y得， 所以， 所以， 所以 同理联立，可得 则的中点， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以面积的最大值为 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 设数列的前n项和为，若，则称是“紧密数列”. （1）已知数列是“紧密数列”，前4项依次为1，，x，，求x的取值范围; （2）若数列的前n项和，判断是否是“紧密数列”，并说明理由; （3）设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. 【答案】（1） （2）数列  为“紧密”数列；理由见解析 （3） . 【解析】 【分析】（1）由紧密数列定义，构造不等式求解即可； （2）由，的关系求得通项，再由紧密数列定义即可说明； （3）通过和，结合紧密数列定义讨论即可； 【小问1详解】 若数列为“紧密”数列， 则，且， 解得：，即x的取值范围为 【小问2详解】 数列  为“紧密”数列；理由如下： 数列  的前项和  ， 当  时，  ； 当  时，  ， 又  ，即  满足  ， 因此   ， 所以对任意  ，  ， 所以  ， 因此数列  为“紧密”数列； 【小问3详解】 因为数列  是公比为 q 的等比数列，前 n 项和为  ， 当  时，有  ，  ， 所以  ，  ，满足题意； 当  时，  ，  ， 因为  为“紧密”数列， 所以  ， 即  或  ， 当  时，  ，  ， 所以  ，满足  为“紧密”数列； 当  时，  ，不满足  为“紧密”数列； 综上，实数 q 的取值范围是  . 【点睛】难点点睛：充分理解紧密数列的概念，构造不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年安徽省宣城市高二上学期期末调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 2. 已知点A，B在直线上运动，且，点C在圆上，则面积的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在平行六面体中，若，，，则的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 5 5. 已知正三棱台的体积为，，，则直线与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于A，B两点（其中点A为垂足），且点A，B分别在第二、第三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点E到直线距离为 10. 已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（ ） A. 切线长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为4 C. 当最小时，弦所在直线方程为 D. 弦所在直线必过定点 11. 抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ） A 当时， B. 当时， C. 三角形ABC面积的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为__________. 13. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则__________. 14. 已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是各项均为正数的等比数列，且，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前2025项和 16. 若平面内动点P到两定点距离的比值为常数且，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.已知两定点的坐标分别为，，动点M满足 （1）求动点M的阿波罗尼斯圆方程； （2）过点作该圆的切线l，求切线l的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，O为BD的中点，， （1）证明：平面 （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且 （1）求椭圆的标准方程; （2）直线，均过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点和若分别是线段和的中点，求面积的最大值. 19. 设数列前n项和为，若，则称是“紧密数列”. （1）已知数列是“紧密数列”，前4项依次为1，，x，，求x取值范围; （2）若数列的前n项和，判断是否是“紧密数列”，并说明理由; （3）设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $