2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第18课时： 相似三角形及其应用

2026年中考第一轮复习 (核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练) 第18课时相似三角形及其应用 核心知识 (一)相似三角形的基本概念 相似图形：形状相同，大小不一定相同的图形称为相似图形， 其对应角相等，对应边成比例一。 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似 三角形，用符号∽表示，书写时对应顶点需依次排列（如△ABC∽△DEF,A与 D、B与E、C与F为对应顶点)。 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比，若△ABC∽△DEF的相 似比为k,则△DEF∽△ABC的相似比为k1:相似比为1时，两个三角形 全等（全等是相似的特殊情况）。 (二)相似三角形的核心性质 角的性质： 对应角相等 边的性质： 对应边成比例一； 线段性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比： 周长与面积性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 延伸性质：相似三角形的一切对应线段的比均等于相似比，对应图 形的面积比为相似比的平方。 (三)相似三角形的判定定理（中考必考） 基本判定（通用三角形） 第1页共76页 平行线判定：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边延长线）相 交，所构成的三角形与原三角形相似(A型、X型相似，最基础判定)； 两角判定(AA)：两角分别相等的两个三角形相似（中考最常用，优 先找公共角、对顶角、同位角)： 两边夹角判定(SAS)：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似（注意：角必须是两边的夹角，非夹角不成立）： 三边判定(SSS)：三边对应成比例的两个三角形相似。 特殊判定（直角三角形，除通用判定外新增） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形，与原三角形都相似（双 垂直模型)； 一个锐角相等的两个直角三角形相似； 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。注意： SSA、AAA不能判定一般三角形相似。 (四)相似三角形的常见基本模型（中考高频） A型（正A/斜A)：公共角在顶点，一边平行于底边 (DE∥BC→△ADE∽△ABC/△ADE∽△ACB); D X型（八字型）：对顶角为公共角，两边互相平行 (AB∥CD→△AOB∽△DOC); 第2页共76页 K型（一线三等角）：同一直线上有三个相等角，常为直角 (∠A=∠DCE=∠B=90°→△ACD∽△BEC); D 双垂直模型：Rt△ABC中，CD⊥AB→△ABC∽△ACD∽△CBD: (五)位似图形（与相似结合考查） 定义：两个图形不仅相似，且对应顶点的连线交于一点，对应 边 互相平行（或共线），这个点叫做位似中心，位似图形是 相似图形的特殊形式： 性质：位似比等于相似比，对应点到位似中心的距离比等于位似 比； 作图：分内位似（位似中心在图形内部）和外位似（位似中心在图形外 部)，按位似比截取对应边即可。 (六)相似三角形的实际应用核心思路 将实际问题转化为数学相似模型，通过找相等角构建相似三角形，利用 “对应边成比例” 列方程求解，常见场景：测量物体高度、河宽、航海测 距、影子问题、平面镜反射问题。 第3页共76页 二、核心能力 (一)相似三角形的判定 题型1：相似三角形的判定 解题思路 先找角，再看边 有平行线→直接用平行线判定定理(A型/X型)； 有公共角/对顶角/己知等角→优先找另一组等角，用AA判定： 有两边成比例→验证夹角是否相等，用SAS判定； 无角相等→计算三边比例，用SSS判定： 直角三角形→优先用锐角相等或双垂直模型，再考虑L型相似。 (二)相似三角形的性质应用 题型2：利用相似三角形的性质计算 解题思路 线段/边长计算：找准对应边，列比例式，设未知数求解（关键：标注对 应顶点，避免对应边找错)； 周长/面积计算：周长比直接等于相似比；面积比先转化为相似比的平方， 己知面积比则开方求相似比： 高/中线/角平分线计算：直接利用“对应线段比=相似比”列比例 式求解。 (三)相似三角形的综合证明 第4页共76页 题型3：相似三角形的综合证明 解题思路 证明线段成比例：将比例式转化为三角形相似，证出相似后直接得对应边 成比例： 证明线段相等：先证三角形相似，得对应边成比例，再结合已知相等线段， 推导出所求线段相等； 证明垂直/平行：通过相似得对应角相等，再结合角的关系（如同位角相 等、内错角相等、互余)证明垂直/平行。 (四)相似三角形的实际应用题型 题型4：相似三角形的综合证明 常见模型及解题步骤： 标杆测量物体高度：构建A型相似，标杆高/物体高=观测者到标杆距 离/观测者到物体距离： 影子测量物体高度：同一时刻，物体高度/影长=参照物高度/参照物 影长（相似三角形的对应边成比例）： 平面镜反射测量高度：利用“反射角=入射角”构建相等角，形成相似 三角形： 测量河宽：构建X型/A型相似，将河宽转化为相似三角形的对应边， 列比例求解。通用步骤：①审题，画出几何图形：②找相等角，构建相似三角 形；③设未知数，列比例式：④解方程，检验并作答。 三、易错警示 对应点错误 第5页共76页 错误：未按对应顶点找对应边，如将△ABC∽△DEF的对应边写成DF/AB= DE/BC; 提醒：根据相等角的对边确定对应边，或严格按照书写顺序找对应边。 误用相似判定 错误：两边成比例，但夹角不是对应角，直接证相似： 提醒：SAS判定的“角”必须是两边的夹角，非夹角则为SSA,不能判 定相似。 面积比与相似此混淆 错误：面积比与相似比混淆：认为相似三角形的面积比等于相似比； 提醒：牢记周长比=相似比，面积比=相似比的平方，反向求解时面积 比开方得相似比。 忽略多解情况 错误：等腰三角形、直角三角形相似时，未考虑边的不同对应关系； 提醒：遇等腰/直角三角形相似，分类讨论不同的对应方式，避免漏解。 位似与相似混淆 错误：认为所有相似图形都是位似图形： 提醒：位似图形必须满足对应顶点连线交于一点，相似图形不一定是位似 图形。 四、真题演练 (一)选择题演练(2023-2025年中考真题/模拟题)] 1.(24-25·广东模拟)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角 形（阴影部分）与△ABC相似的是() 第6页共76页 【答案】A 【解析】根据勾股定理，易得出△ABC的三边的边长，故只需分别求出各 选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可. 【解答】解：由题意知，在△ABC中，AC=1+12=V2,BC=2, AB=12+32=V10,A.三边各为：1,2,12+22=5与△ABC中的三边能对 应成比例，故两三角形相似，符合题意； B.三边各为：2,3,1+2=V5与△ABC中的三边不能对应成比例，故两三 角形不相似： C.三边各为：1,2V2,1+2=V5与△ABC中的三边对应成比例，故两三角 形相似； D.三边各为：2,1+2=只5,3+2=V13与△ABC中的三边不能对应成比 例，故两三角形不相似. 故此题答案为A. 2.(24-25·内蒙古中考)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标 分别是O(0,0),A(2,1),B(1,2),以原点O为位似中心，在第三象限画△OAB 与△OAB位似，若△OAB与△OAB的相似比为2：1，则点A的对应点A的坐标 为( 第7页共76页 B B A.（-2,-1)B.（-4,-2)C.（-1,-2)D.（-2,-4) 【答案】B 【解析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点 的位置是解题的关键.利用相似比为2：1，A(2,1),直接利用相似比可得出坐标. 【解答】解：，△OAB与△OAB位似，相似比为2：1， ∴.OB:OB=1:2=OA:OA, ,A(2,1),位似中心为原点O, .A(-4,-2), 故选：B 3.(24-25·贵州模拟)如图，B、A、E三点共线，C、A、D三点共线， 在下列四个条件中：①∠ADE=∠ABC;②LAED=∠ACB③AD.AC=AB. AB:@8=2.不能满足△ABC-△ADE的条行是( ) 第8页共76页 A.①B.② C.③ D.④ 【答案】D 【解析】此题暂无解析 【解答】D 4.(23-24·广西中考)如图，在五边形ABCDE中，AE/UBC,延长BA, BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后，仍无法判定 △MAE一△DCN,则这个条件是( M A E D 30 4 A.∠B+∠4=180°B.CD/iABC.∠1=∠4D.∠2=∠3 【答案】D 【解析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当 ∠B+∠4=180时，可证明CD‖BM,由平行线的性质得到∠CDN=∠AME, 第9页共76页 ∠AEM=∠CND,则可证明△MAE一△DCN,据此可判断A、B;由平行线的 性质可得∠1+∠B=180°，则∠B+∠4=180°，同理可判断C;D中条件结合已给 条件不能证明△MAE一△DCN, 【解答】解：A、.∠B+∠4=180， ∴.CD BM, ∴.∠CDN=∠AME, AE/i BC, .∴.∠AEM=∠CND, .△MAE一△DCN,故A不符合题意： B、.CD/UAB, .∴.∠CDN=∠AME, .AE/i BC, .∴.∠AEM=∠CND, ∴.△MAE一△DCN,故B不符合题意； C、.AE/i BC, .∠1+∠B=180°， .∠1=∠4， .∠B+∠4=180°， ∴.CD BM, ∴.∠CDN=∠AME, '.AE/BC, .∠AEM=∠CND .△MAE一△DCN,故C不符合题意： D、根据∠2=∠3结合已知条件不能证明△MAE一△DCN,故D符合题意： 故选：D 5.(24-25·浙江中考)如图，五边形ABCDE,ABCD'E是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，已知点A,A'的坐标分别为(2,0)，(3,0).若DE的长为3， 第10页共76页 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第18课时 相似三角形及其应用 一、核心知识 （一）相似三角形的基本概念 相似图形： 相同， 不一定相同的图形称为相似图形，其对应角 ，对应边 。 相似三角形：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形，用符号∽表示，书写时对应顶点需依次排列（如△ABC∽△DEF，A 与 D、B 与 E、C 与 F 为对应顶点）。 相似比：相似三角形 的比叫做相似比，若△ABC∽△DEF 的相似比为k，则△DEF∽△ABC 的相似比为 ；相似比为 1 时，两个三角形全等（全等是相似的特殊情况）。 （二）相似三角形的核心性质 角的性质： ； 边的性质： ； 线段性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于 ； 周长与面积性质：周长比等于 ，面积比等于 ； 延伸性质：相似三角形的一切对应线段的比均等于 ，对应图形的面积比为 。 （三）相似三角形的判定定理（中考必考） 基本判定（通用三角形） 平行线判定：平行于 ，所构成的三角形与原三角形相似（A 型、X 型相似，最基础判定）； 两角判定（AA）：两角分别 的两个三角形相似（中考最常用，优先找公共角、对顶角、同位角）； 两边夹角判定（SAS）：两边 且夹角 的两个三角形相似（注意：角必须是两边的夹角，非夹角不成立）； 三边判定（SSS）：三边 的两个三角形相似。 特殊判定（直角三角形，除通用判定外新增） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形，与原三角形都相似（双垂直模型）； 一个锐角 的两个直角三角形相似； 斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似。注意：SSA、AAA 不能判定一般三角形相似。 （四）相似三角形的常见基本模型（中考高频） A 型（正 A / 斜 A）：公共角在顶点，一边平行于底边（DE∥BC→△ADE∽△ABC /△ADE∽△ACB）； X 型（八字型）：对顶角为公共角，两边互相平行（AB∥CD→△AOB∽△DOC）； K 型（一线三等角）：同一直线上有三个相等角，常为直角（∠A=∠DCE=∠B=90°→△ACD∽△BEC）； 双垂直模型：Rt△ABC 中，CD⊥AB→△ABC∽△ACD∽△CBD； （五）位似图形（与相似结合考查） 定义：两个图形不仅 ，且对应顶点的 交于一点 ，对应边 （或 ），这个点叫做 ，位似图形是 的特殊形式； 性质：位似比等于 ，对应点到位似中心的距离比等于 ； 作图：分内位似（位似中心在图形内部）和外位似（位似中心在图形外部），按位似比截取对应边即可。 （六）相似三角形的实际应用核心思路 将实际问题转化为数学相似模型，通过找相等角构建相似三角形，利 用 列方程求解，常见场景：测量物体高度、河宽、航海测距、影子问题、平面镜反射问题。 二、核心能力 （一）相似三角形的判定 题型 1：相似三角形的判定 解题思路 先找角，再看边 有平行线→直接用平行线判定定理（A 型 / X 型）； 有公共角 / 对顶角 / 已知等角→优先找另一组等角，用 AA 判定； 有两边成比例→验证夹角是否相等，用 SAS 判定； 无角相等→计算三边比例，用 SSS 判定； 直角三角形→优先用锐角相等或双垂直模型，再考虑 HL 型相似。 （2） 相似三角形的性质应用 题型2 ：利用相似三角形的性质计算 解题思路 线段 / 边长计算：找准对应边，列比例式，设未知数求解（关键：标注对应顶点，避免对应边找错）； 周长 / 面积计算：周长比直接等于相似比；面积比先转化为相似比的平方，已知面积比则开方求相似比； 高 / 中线 / 角平分线计算：直接利用 “对应线段比 = 相似比” 列比例式求解。 （三）相似三角形的综合证明 题型3 ：相似三角形的综合证明 解题思路 证明线段成比例：将比例式转化为三角形相似，证出相似后直接得对应边成比例； 证明线段相等：先证三角形相似，得对应边成比例，再结合已知相等线段，推导出所求线段相等； 证明垂直 / 平行：通过相似得对应角相等，再结合角的关系（如同位角相等、内错角相等、互余）证明垂直 / 平行。 (四)相似三角形的实际应用题型 题型4 ：相似三角形的综合证明 常见模型及解题步骤： 标杆测量物体高度：构建 A 型相似，标杆高 / 物体高 = 观测者到标杆距离 / 观测者到物体距离； 影子测量物体高度：同一时刻，物体高度 / 影长 = 参照物高度 / 参照物影长（相似三角形的对应边成比例）； 平面镜反射测量高度：利用 “反射角 = 入射角” 构建相等角，形成相似三角形； 测量河宽：构建 X 型 / A 型相似，将河宽转化为相似三角形的对应边，列比例求解。通用步骤：①审题，画出几何图形；②找相等角，构建相似三角形；③设未知数，列比例式；④解方程，检验并作答。 三、易错警示 对应点错误 错误：未按对应顶点找对应边，如将△ABC∽△DEF 的对应边写成 DF/AB = DE/BC； 提醒：根据相等角的对边确定对应边，或严格按照书写顺序找对应边。 误用相似判定 错误：两边成比例，但夹角不是对应角，直接证相似； 提醒：SAS 判定的 “角” 必须是两边的夹角，非夹角则为 SSA，不能判定相似。 面积比与相似比混淆 错误:面积比与相似比混淆：认为相似三角形的面积比等于相似比； 提醒：牢记周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方，反向求解时面积比开方得相似比。 忽略多解情况 错误:等腰三角形、直角三角形相似时，未考虑边的不同对应关系； 提醒：遇等腰 / 直角三角形相似，分类讨论不同的对应方式，避免漏解。 位似与相似混淆 错误:认为所有相似图形都是位似图形； 提醒：位似图形必须满足对应顶点连线交于一点，相似图形不一定是位似图形。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·广东模拟）如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 2.（24-25·内蒙古中考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A. B. C. D. 3.（24-25·贵州模拟）如图，、、三点共线，、、三点共线，在下列四个条件中：①；②③． ．；④，不能满足的条件是（        ） A.① B.② C.③ D.④  4.（23-24·广西中考）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A. B. C. D. 5.（24-25·浙江中考）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为，则的长为（   ） A. B. C. D. 6.（24-25·全国模拟）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（    ） A. B. C. D. 7.（24-25·浙江模拟）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A. B. C. D. 8.（23-24·云南中考）如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（    ） A. B. C. D.  9.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（    ） A. B. C. D. 10.（23-24山东模拟）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A. B. C. D. 11.（23-24·广东中考）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“”刻度线重合，点落在“”刻度线上，与“”刻度线重合，若测得，则的长是（      ） A. B. C. D. 12.（24-25·内蒙古中考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A. B. C. D. 13.（24-25·浙江中考）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为，则的长为（   ） A. B. C. D. 14.（24-25·全国模拟）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A. B. C. D. 15.（23-24·江苏中考）如图，在正方形中，点在边上（不与点、重合），点在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤ （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（25·四川模拟）（3分）如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是         ．（写出一个即可） 17.（25·福建模拟）（3分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为___________． 18.（24·山东模拟）如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是     米． 19.（24·湖北模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是        ．   20.（25·江苏模拟）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ________；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 _______． 21.（25·达州模拟）如图，正方形的边长为，点 、在边，上运动，且满足，连接，交于点，连接，则的最小值为 ______________ ；当取最小值时，的长为 _______________ 22.（23·浙江中考）如图，在中， ，．将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连结，使得面积为，连结，则的最大值是_____________． 23.（25·山东模拟）如图，已知中，，，，点是内部一点，连接、、，若，则的最小值为____________． 24.（25·四川模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则____________． 25.（24·河南中考）如图，在矩形中， ，，是的中点，是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，的延长线交线段于点．给出下列判断：①；②；③当时，的长度是 ④线段长度的最小值是 ；⑤当点落在矩形的对角线上，的长度是3或；其中正确的是_____________．（写出所有正确判断的序号）    （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（25江苏模拟）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点，并写出点的坐标； （2）以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 27.（23· 云南中考）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 28.（25·贵州模拟）如图，已知．求证：． 29.（25·吉林模拟）如图，已知中，点是边上一点，点是外一点，,. （1）求证： ; （2）若 ，求的值． 30.（24·湖南模拟）为测量水平操场上旗杆的高度，九班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________； （2）如图，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面，两点始终处于同一水平线上． 如图，在支架上端处，用细线系小重物，标高线始终垂直于水平地面． 如图，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交点，测得标高，．将观测点后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 31.（25·四川模拟）如图，在等腰直角三角形中，，，，点是的中点，点和点分别是线段和上的动点． （1）当点和点分别是和的中点时，求的值； （2）当时，以点，，为顶点的三角形与相似，求的值； （3）当时，求的最小值． 32.（24·广西中考）如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，，平分． （1）求证：； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 33.（23·四川中考）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，． （1）如图，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； （2）如图，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长．  34.（24·浙江中考）解答下列试题 （1）如图，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图，将图中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图，在的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 35.（24·湖南中考）如图，在矩形中，，．点是线段上的动点（点不与点，重合），连接，过点作，交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，过点作，垂足为，连接．点是线段的中点，连接． ①求的最小值； ②当取最小值时，求线段的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $