10.5 分式方程（第2课时 分式方程的增根）同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

10.5分式方程（第2课时 分式方程的增根）同步练习 一、单选题 1．已知关于的分式方程解为负数，则的值为（    ） A． B． C．且 D．且 2．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．0或1 B．或3 C．2或 D．或3 3．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 4．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 5．若关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（） A． B．且 C．且 D．且 6．若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 二、填空题 7．分式方程的解为 ． 8．若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为 ． 9．若分式方程的解为 ，则检验可知该解 （填“成立”或“不成立”）． 10．关于的分式方程有增根，则 ． 11．若关于的分式方程无解，则 ． 12．小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是 ． 13．对于实数，定义一种新运算“”：，例如：，则当分式方程的解大于时，的取值范围是 ． 三、解答题 14．解下列分式方程： (1) (2) 15．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 16．下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 17．按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 18． 是否存在整数，使关于的分式方程的解大于且小于2？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由． 19．已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 20．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围． 【详解】解：， ， 解得， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， ∵， ∴， 即， 解得， ∵时，不可能取， ∴； 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 即， ∴或， ∴或． 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法，是解题的关键．先解不等式组，得到有解的条件是；再解分式方程，得到，要求y为正整数且，从而是4的正约数，但排除的情况，得到或；结合不等式组条件，和均满足． 【详解】解： 由不等式①得， 由不等式②得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； 解分式方程得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴是4的正约数，即或2或4， ∴或或5， ∵， ∴或， 结合，满足条件的整数a为2或3． 故选：A． 4．D 【分析】本题主要考查根据分式的解求参数，掌握解分式方程的方法，分式有意义的条件，不等式的性质是解题的关键． 解分式方程得到，根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 两边同乘（），得， ∴， ∵解为非负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了可化为一元一次方程的分式方程的解法，正确计算是解题的关键．先求解分式方程得到解x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零，得到m的取值范围 【详解】解：∵原方程：， ∵， ∴， 两边同乘（需）， ， 化简：， ∴， ∵解为正数：， ∴， 解得，， ∵分母不为零：， ∴， 解得，， 综上：且． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，首先解分式方程，得到x关于a的表达式，注意分母不为零的条件；然后根据x为整数且，确定整数a的取值；最后验证每个a是否满足原方程有整数解且． 【详解】解：∵ 分式方程 ，且 ， 两边乘 得：， 整理得：， ∴ （其中 )． 设 （t为整数且 ）， 则 ， 变形得：． ∵ a为整数， ∴ 为整数， 即 是4的约数：， ， ． ∴ ， 对应 ． 但 ，排除 ， ∴ ． 代入求a： 时，； 时，； 时，； 时，； 时，． 当 时，原方程无解，无效． 验证各a值均使x为整数且， ∴ 整数a有5个：3， 1， ， ， 故选：C． 7． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 去分母化为整式方程，解整式方程，再检验整式方程的解是否为增根，即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且能使去分母后的整式方程成立是解题的关键． 分式方程的增根是使公分母为零的根，公分母为 ，因此可能增根为 或 ，代入整式方程检验， 时方程不成立， 时方程成立当 ，因此增根为 ． 【详解】解：原方程为 公分母为 ，两边乘公分母得整式方程 增根为使公分母为零的 值，即 或 当 时，代入整式方程得 ，即 ，不成立； 当 时，代入整式方程得 ，即 ，解得 ， 此时整式方程有解 ，但 使原方程分母为零，故为增根 因此该分式方程的增根为 ． 故答案为： ． 9． 1 不成立 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1，从而可得答案. 【详解】解：， 去分母得：， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴不是原方程的根， 故答案为：，不成立 10．1 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分式方程有增根时，分母为零，即，代入化简后的方程求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简得． 令，得， 解得：． 故答案为：1． 11． 【分析】本题考查了解分式方程，关键是将分式方程化为整式方程后，讨论无解的条件；将分式方程化为整式方程得到，把增根代入求解． 【详解】解： ， 两边同乘 （）得 ： ， 整理得 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ， ∵分式方程无解时， ∴根为增根，即 ， 代入得 ， 解得 ． 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．设△表示的数为a，则方程为，通过解分式方程，得到用a表示的x的值，由方程无解得到当时，，即，求解即可． 【详解】解：设△表示的数为a，则方程为， 两边同乘，得， 解得． ∵方程无解， ∴其增根， 故， ∴， ∴△处的数应是2． 故答案为：2． 13．且 【分析】本题考查了实数新定义运算，解分式方程；根据新运算定义将方程转化为分式方程，求解后得到，再结合解大于及分母不为零的条件求的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意得， 去分母得， 解得， 由解大于得， 解得， 由得，即， 由 得 即， 综上， 且 ， 故答案为： 且 ． 14．(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，再解整式方程，最后检验方程的解是否为增根，即可求解． 【详解】（1）解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 15．(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 16．四，见解析 【分析】本题考查了实解分式方程． 观察解分式方程的步骤，找出错误，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：小虎是从第四步开始出现错误， ①若，则方程无解，此时 ②若， ， 若方程无解，则为增根，即 综上，或． 17．(1)且 (2)且 (3)的值为或或 (4)或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 【详解】（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 18．存在，的值为或或或 【分析】本题考查了分式方程的解法、解的范围与分母不为零的条件，以及整数解的确定，掌握解分式方程时要检验分母不为零，结合解的范围列不等式求参数范围是解题的关键． 先去分母解分式方程得到的表达式，再根据解的范围和分母不为零的条件列出不等式，求出的取值范围，最后确定整数的值． 【详解】解：存在． 解分式方程，得． 关于的分式方程的解大于且小于， ，且，，， ，且，，， 为整数， 的值为或或或． 19．(1)4 (2)且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，以及分式方程的无解问题，弄清题意是解本题的关键． （1）先解分式方程，得出，再根据分式方程无解，得到最简公分母为，即可求出的值，从而得出，求出m的值即可； （2）根据解大于且，得出且，求出的范围即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵该分式方程无解， ， ， ∴， 解得：． （2）解：根据解析（1）得：， ∵该分式方程的解大于1且， ∴且， 解得：且． 20．(1)2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $