精品解析：贵州六盘水市六枝特区2025～2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学

2025~2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和准考证号用0.5毫米黑色的签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色的签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的概念，由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是无理数，选项正确；B、C、D、都是整数，是有理数， 故选：A． 【点睛】本题考查无理数，正确理解概念是关键，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 2. 下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 3. 平面直角坐标系中，位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，根据平面直角坐标系的特点即可解答，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：平面直角坐标系中，位于第四象限， 故选：． 4. 已知变量之间的关系式为，当时，的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知自变量的值求函数值，将代入求解即可． 【详解】解：将代入关系式得，， 所以y的值为3， 故选：B． 5. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程解的定义． 将方程的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入方程，得， 化简得， 移项得， 即， 两边同时除以2，得． 故选：C． 6. 如图，，直线与分别交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行以及对顶角相等得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 小明参加篮球技能大赛，两项技能得分情况如下表所示（每项满分100分）： 项目 投球技能 控球技能 得分 70 90 若综合成绩按投球技能占，控球技能占来计分，则小明的综合成绩为（ ） A. 50分 B. 78分 C. 80分 D. 82分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，解决本题的关键是熟练掌握加权平均数的计算公式． 根据各项成绩对应的权重，运用加权平均数的计算方法即可求出综合成绩． 【详解】解：∵投球技能得分70分，占综合成绩的，控球技能得分90分，占综合成绩的， ∴综合成绩为（分）． 故选：B． 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是同位角 B. 三角形两边的平方和等于第三边的平方 C. 立方根等于本身的数只有0和1 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，结合同位角定义、勾股定理、立方根性质、等式的传递性，逐一判断各选项命题的真假，进而选出真命题即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是同位角，同位角也不一定相等，故原命题是假命题，不符合题意； B、只有直角三角形两条直角边的平方和等于第三边的平方，故原命题是假命题，不符合题意； C、立方根等于本身的数有0，1和，故原命题是假命题，不符合题意； D、如果，那么，是真命题，符合题意； 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过二、三、四象限．则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限．据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限 ∴且 对照选项，只有D选项中，符合条件， 故选：D． 10. 如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 11. 小亮骑自行车前往离家2千米的图书馆，骑行5分钟后遇到同学，停留聊天10分钟，继续骑行5分钟到达图书馆，下列选项中能大致描述他去图书馆的过程中离图书馆的距离（千米）与所用时间（分）之间的关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断函数图象，根据题意，画出函数图象，进行判断即可． 【详解】解：由题意，小亮去图书馆的过程中离图书馆的距离（千米）与所用时间（分）之间的关系的图象是： 故选C． 12. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的每个顶点都在格点上，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，割补法求出的面积，再利用面积关系求出点到直线的距离即可． 【详解】解：由勾股定理，得， 设点到直线的距离为， 则， ∴； 故选C． 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 13. 4的算术平方根是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：4的算术平方根是， 故答案为：． 14. 甲、乙两支篮球队队员身高的平均数均为，若甲、乙两队队员身高的方差分别为，则队员身高更为整齐的球队是__________队．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，方差越小，数据波动越小，队员身高越整齐． 详解】解：∵，， ∴队员身高更为整齐的球队是乙队． 故答案为：乙． 15. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负性，化简二次根式，利用绝对值和平方的非负性，求出 m 和 n 的值，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点是原点，等边的顶点的坐标是，点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动，第2025秒时点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．根据题意，点每6秒回到原点，利用确定第2025秒时点所在的位置，进行求解即可． 【详解】解：∵等边的顶点的坐标是， ∴， ∵点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动， ∴每经过秒，点回到原点， ∵， ∴第2025秒时点的坐标与第3秒时点的坐标相同，此时点运动到的中点处， 设的中点为，作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴第2025秒时点的坐标是； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共98分，解答过程写在答题卡上） 17. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握实数的混合运算法则和解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）分别计算绝对值，立方根，零指数幂，再计算加减； （2）利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 将①代入②得，， 解得， 将代入①得，， ∴原方程组解为． 18. 已知的各顶点坐标分别为． （1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出； （2）请在如图所示的平面直角坐标系中画出关于轴对称的，并写出点的坐标__________； （3）在轴上是否存在点，使得的值最小？若存在满足条件的点，请在图中作出该点，并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键： （1）描点，连线，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，得到，得到当点在线段上时，，最小，进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求；； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求； ． 19. 为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． （1）试判断图中的形状，并说明理由； （2）经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 【答案】（1）是直角三角形，见解析 （2）1800元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理求解即可； （2）求出四边形的面积，即可求解费用． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴，则（舍负） ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 解：由（1）知，而 ∴， ∴费用为：（元） 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点为轴上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，根据的面积是面积的2倍，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴或； ∴或． 21. 已知：如图，在中，的平分线交于点，点是上的一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是由平行线的判定定理证明． （1）先由角平分线的性质可得，再由，即可得，再由“内错角相等，两直线平行”证明即可； （2）根据三角形内角和为求解出的度数，再由，即“两直线平行，同位角相等”即可求解的度数． 【小问1详解】 证明：∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 22. 12月4日是国家宪法日，为了激发青少年学习法律的热情，某校举办了“宪法进校园”法律知识竞赛活动，旨在了解学生对法律知识的掌握情况．该校从八（1）班、八（2）班学生的知识竞赛成绩中，各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 八（1）班：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 八（2）班：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 八（1）班、八（2）班抽取学生的成绩统计表 班级 最小值 四分位数 最大值 八（1）班 _________ _________ _________ 100 八（2）班 70 80 93 96 （1）上述表中，__________，__________； （2）求出八（1）班这组数据的四分位数，并补全八（1）班成绩的箱线图； （3）请你利用所学的统计知识，对这两个班知识竞赛的成绩情况进行分析和评价． 【答案】（1）60，90 （2），，，箱线图见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了箱线图，求四分位数，中位数等知识点，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将两个班级成绩排序，即可求解的值； （2）根据下四分位数，中位数以及上四分位数的定义即可求解，即可补全箱线图； （3）可以从中位线，箱线图进行分析即可． 【小问1详解】 解：两个班级成绩排序后为： 八（1）班：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100； 八（2）班：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． ∴，， 故答案为：60，90； 【小问2详解】 解：八（1）班成绩排序后：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100； ∴； 而60，70，70，80，89的中位数为；而91，92，96，98，100中位数为， 故；； 补全八（1）班成绩的箱线图，如图所示： 【小问3详解】 解：两个班级中位数相同，说明中间水平的学生的成绩相当，从箱线图可得八（2）班的成绩更稳定等． 23. 某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． （1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少． 【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少． 【解析】 【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得； （2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据． 【详解】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨， 根据题意可得：， 解得：， 答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨； （2）设安排A型车m辆，B型车n辆， 依题意得：20m+15n=190，即， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种运输方案， 方案1：安排A型车8辆，B型车2辆； 方案2：安排A型车5辆，B型车6辆； 方案3：安排A型车2辆，B型车10辆． 方案1所需费用：5008+4002=4800(元)； 方案2所需费用：5005+4006=4900(元)； 方案3所需费用：5002+40010=5000(元)； ∵4800＜4900＜5000， ∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=500×安排A型车的辆数+400×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用． 24. 阅读理解： 我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法： 解：， ． 又……①， ， 即……②． 由得：， 即， 在这个方程的两边同时平方得：， 解得：． 将代入原方程检验，可得是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题： （1）若，则的“对偶式”为_____，__________； （2）解方程：． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式在二次根式乘法中的应用以及解含根号的方程． （1）根据题目中对偶式的定义直接写出，再利用平方差公式计算的值； （2）先构造已知方程左边的对偶式，利用平方差公式求出两个式子的乘积，结合原方程的值得到对偶式的式子的值，再通过加减消元消去一个根号，转化为只含有一个根号的方程求解，最后检验解的合理性． 【小问1详解】 解：根据“对偶式”的定义，， 其“对偶式”； ； 故答案为：，． 小问2详解】 解：， ∴． 又∵①， ∴②， 得：，即， 两边同时平方得：，解得； 检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解． 25. 已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． （1）观察·思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________； （2）操作・思考 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； （3）联系拓广 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，平角的定义求出的度数，内错角相等，两直线平行，得到线段与直线的位置关系即可； （2）求出，的度数，即可得证； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 解：当在上方时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和准考证号用0.5毫米黑色的签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色的签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图标是轴对称图形的是（ ） A B. C D. 3. 在平面直角坐标系中，位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知变量之间的关系式为，当时，的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知是方程的解，则的值为（ ） A B. C. 2 D. 4 6. 如图，，直线与分别交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 小明参加篮球技能大赛，两项技能得分情况如下表所示（每项满分100分）： 项目 投球技能 控球技能 得分 70 90 若综合成绩按投球技能占，控球技能占来计分，则小明的综合成绩为（ ） A. 50分 B. 78分 C. 80分 D. 82分 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是同位角 B. 三角形两边的平方和等于第三边的平方 C. 立方根等于本身数只有0和1 D. 如果，那么 9. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过二、三、四象限．则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 小亮骑自行车前往离家2千米的图书馆，骑行5分钟后遇到同学，停留聊天10分钟，继续骑行5分钟到达图书馆，下列选项中能大致描述他去图书馆的过程中离图书馆的距离（千米）与所用时间（分）之间的关系的图象是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的每个顶点都在格点上，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 13. 4的算术平方根是__________． 14. 甲、乙两支篮球队队员身高的平均数均为，若甲、乙两队队员身高的方差分别为，则队员身高更为整齐的球队是__________队．（填“甲”或“乙”） 15. 若，则__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点是原点，等边的顶点的坐标是，点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动，第2025秒时点的坐标是__________． 三、解答题（本大题共9个小题，共98分，解答过程写在答题卡上） 17. （1）计算：； （2）解方程组： 18. 已知的各顶点坐标分别为． （1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出； （2）请在如图所示的平面直角坐标系中画出关于轴对称的，并写出点的坐标__________； （3）在轴上是否存在点，使得的值最小？若存在满足条件的点，请在图中作出该点，并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 19. 为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． （1）试判断图中的形状，并说明理由； （2）经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点为轴上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标． 21. 已知：如图，在中，的平分线交于点，点是上的一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 12月4日是国家宪法日，为了激发青少年学习法律的热情，某校举办了“宪法进校园”法律知识竞赛活动，旨在了解学生对法律知识的掌握情况．该校从八（1）班、八（2）班学生的知识竞赛成绩中，各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 八（1）班：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 八（2）班：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 八（1）班、八（2）班抽取的学生的成绩统计表 班级 最小值 四分位数 最大值 八（1）班 _________ _________ _________ 100 八（2）班 70 80 93 96 （1）上述表中，__________，__________； （2）求出八（1）班这组数据的四分位数，并补全八（1）班成绩的箱线图； （3）请你利用所学的统计知识，对这两个班知识竞赛的成绩情况进行分析和评价． 23. 某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． （1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少． 24. 阅读理解： 我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法： 解：， ． 又……①， ， 即……②． 由得：， 即， 在这个方程的两边同时平方得：， 解得：． 将代入原方程检验，可得是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题： （1）若，则的“对偶式”为_____，__________； （2）解方程：． 25. 已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． （1）观察·思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________； （2）操作・思考 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； （3）联系拓广 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $