精品解析：重庆第三十中学校2025～2026学年高一年级上学期期末监测数学试题

2025~2026学年高一年级期末监测卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 4. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在恰有3个最值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在内的偶函数，且在上是增函数，设，，则a，b，c的大小关系是 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. “，”是“”成立充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. 若，，则 10. 关于函数，有下列结论，其中正确的是（ ） A. 其图象关于轴对称 B. 的最小值是 C. 当时，增函数 D. 的增区间是， 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知扇形的半径是4，圆心角为2弧度，则扇形的面积是________. 13. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为________. 14. 定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 化简下列各式，并求值． （1） （2） 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 17. 某乡镇依托生态农业政策，打造“树莓特色采摘小镇”，助力乡村旅游与产业融合.已知该小镇种植树莓的固定投入成本为50万元，有机肥料、棚架维护、病虫害防治等培育成本为每万千克树莓90万元，假设所有果实均能售罄.树莓每万千克的售价（单位：万元）与年产量（单位：万千克）满足关系：.记树莓的年利润为（单位：万元）. （1）求的函数关系式； （2）当年产量为多少万千克时，该树莓特色采摘小镇的利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数. （1）求周期及图象的对称中心的坐标； （2）求在上的值域； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数（，且）. （1）讨论的奇偶性； （2）若，，判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）在（2）的基础上，解不等式，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高一年级期末监测卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义求解即可. 【详解】由于全集，集合，所以， 又因为集合，所以. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可 【详解】命题“，”的否定是：“，”， 故选：C. 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 4. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，结合，即可求解. 【详解】因为点是角终边上一点，可得， 则. 故选：A. 5. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得. 故选：B. 6. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令、求出，再令即可求出. 【详解】当时，；当时，，即， 当时，，即后，还剩64%的污染物， 所以前消除的污染物的占比为. 故选：B. 7. 已知函数，若在恰有3个最值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简得到，，根据最值点得到，解得答案. 【详解】，令，则， 要使在恰有3个最值点，则， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查了根据三角函数的最值点求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8. 已知是定义在内的偶函数，且在上是增函数，设，，则a，b，c的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义可化简，再根据指数函数，对数函数的单调性分别求出的范围，然后由函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系． 【详解】，即． 又∵在上是增函数，∴在上递减， 即，故． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的性质应用，涉及指数函数，对数函数的单调性，函数奇偶性等，意在考查学生的转化能力，属于基础题． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. “，”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】逐一分析每个选项，利用不等式性质、充分必要条件定义及反例法判断正误. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，由，时一定有，充分性成立，由，如，，推不出，，必要性不成立， 因此“，”是“”成立的充分不必要条件，所以B正确； 对于C，“”，如，，推不出“”，所以C错误； 对于D，由，得，又，所以，即，故D正确. 故选：BD 10. 关于函数，有下列结论，其中正确的是（ ） A. 其图象关于轴对称 B. 的最小值是 C. 当时，是增函数 D. 的增区间是， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义直接判断A选项，根据复合函数单调性的判断方法判断函数单调性，进而可得最值. 【详解】由已知，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，A选项正确； 当时，， 设，， 则，当且仅当，即时等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 又函数，上单调递增， 综上所述在上单调递减，在上单调递增； 结合偶函数可知函数在上单调递减，在上单调递增； 故C选项错误，D选项正确； 当和时，取最小值，B选项正确； 故选：ABD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据周期以及最值求出的解析式即可判断A；根据得出，结合正弦函数的性质以及复合函数的单调性判断B；检验是否为判断C；根据变换求出的解析式即可判断D. 【详解】由题意可得，，则， 因在取得最大值，则， 得， 因，则，故A正确； 由A选项知，， 因，则， 因正弦函数图象在上单调递增，故B错误； ，故C正确； 由题意得，， 则，故为偶函数，故D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知扇形的半径是4，圆心角为2弧度，则扇形的面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据扇形面积公式计算即可. 【详解】由已知扇形半径，扇形圆心角， 所以扇形面积为. 故答案： 13. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，3为的两根，且，结合韦达定理可得，，代入解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知，3为的两根，且， 则，解得，， 因为，即， 等价于，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 14. 定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出当、时的函数值域即可. 【详解】当时，， 因为在上单调递增，所以， 此时函数范围为； 当时，； 因为在上单调递增，所以， 此时函数范围为， 综上，当时，的值域为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 化简下列各式，并求值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数和对数的运算即可得到答案； （2）利用对数的运算即可得到答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照集合是否为空集进行分类讨论； （2）根据运算即可. 【小问1详解】 当时，，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 ，使得是真命题，则， 则，即，则， ，，即， 故实数的取值范围为. 17. 某乡镇依托生态农业政策，打造“树莓特色采摘小镇”，助力乡村旅游与产业融合.已知该小镇种植树莓的固定投入成本为50万元，有机肥料、棚架维护、病虫害防治等培育成本为每万千克树莓90万元，假设所有果实均能售罄.树莓每万千克的售价（单位：万元）与年产量（单位：万千克）满足关系：.记树莓的年利润为（单位：万元）. （1）求的函数关系式； （2）当年产量为多少万千克时，该树莓特色采摘小镇的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为21万千克，利润最大是1251万元. 【解析】 【分析】（1）根据题设给定的函数模型及已知条件，求函数解析式. （2）利用二次函数、分式型函数的性质求分段函数各区间的最大值，并确定对应的自变量值，即可得解. 【小问1详解】 ， ∴. 【小问2详解】 当时，，故在上单调递增， ∴时，取最大值， 当时，，当且仅当时等号成立， 因为，所以当时，， 综上，当年产量为21万千克时，该小镇获得最大利润，最大利润为1251万元. 18. 已知函数. （1）求的周期及图象的对称中心的坐标； （2）求在上的值域； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开，再由辅助角公式得到，再由整体代入法即可求解； （2）由，得到再结合正弦函数的性质即可求解； （3）令，问题转换成对任意的，不等式恒成立，由二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为， 令，解得：， 所以图象的对称中心的坐标为. 【小问2详解】 因为，所以， 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，； 所以在上的值域是. 【小问3详解】 设， 则对任意的，不等式恒成立，等价于： 对任意的，不等式恒成立， 所以等价于，记函数单调递增. 所以，所以， 即的取值范围是. 19. 已知函数（，且）. （1）讨论的奇偶性； （2）若，，判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）在（2）的基础上，解不等式，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义分情况讨论，推导求出的值或范围，检验后即得结论； （2）先由条件求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义证明即可； （3）利用（1）和（2）已经证明的单调性与奇偶性将题设不等式化简为，利用对数函数的单调性求解即得. 【小问1详解】 函数（，且）定义域为，且， ① 当时，，即恒成立， 所以，即， 此时，定义域为，，所以是上的奇函数； ② 当时，，即恒成立， 所以，即， 此时，定义域为，，所以是上的偶函数； ③ 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是上的偶函数； 当时，是上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数. 【小问2详解】 函数中，由，，得，而，， 所以，，则. 判断：函数是上的增函数， 证明：任取， . ，在上单调递增，，又， ，，是上的增函数. 【小问3详解】 由（1）(2)知是上的奇函数， 则不等式， 即， 由（2）知是上的增函数， ，则. 由，解得或； 由，可得，解得， 于是， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $