精品解析：重庆第三十中学校2024-2025学年上学期高一期末考试数学试题

重庆第三十中学校2024-2025学年上学期高一期末考试数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 满足的集合M的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据提议写出符合条件的集合. 【详解】因为集合， 则集合M可以为，，，，，，，共7个. 故选：B. 2. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义,奇函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项. 【详解】对于定义域为，不关于原点对称， 是非奇非偶函数，选项错误； 对于是偶函数，但是是减函数，选项错误； 对于奇函数，选项错误； 对于的定义域为，满足， 是偶函数，且在是递增的，选项正确，故选D. 【点睛】本题主要考查奇函数和偶函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性，属于基础题. 3. 若函数两零点间的最小距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出周期，即可求出. 【详解】因为函数两零点间的最小距离为， 所以，所以，所以，解得：. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 故. 故选：A. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 6. 已知，则函数的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值是20， 故选：D. 7. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可. 【详解】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为. 若，则不等式可化为，解得，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上可知：， 故选：D. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义可得，且时，；时，，再分别讨论，，解不等式可得所求解集. 【详解】定义在上的奇函数满足，可得， 当时，，当时，，可得时，；时，， 则等价为或，解得或，即所求解集为. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，以及作差法，判断选项. 【详解】对于A，由，，可得，，故，所以A正确； 对于B，若，则，所以B正确； 对于C，若，，则，所以，所以C正确； 对于D，因为，又因为，可得，，所以，所以，所以D错误. 故选：ABC. 10. 已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件求出函数解析式，根据解析式即可判断函数的单调性判断A选项；利用判断函数为偶函数判断B选项；根据函数单调性判断C选项，根据与的意义，结合函数图像，判断D选项. 【详解】设幂函数，函数的图像经过点，则，， ，，所以，即； 由，所以函数为偶函数，所以B正确； 分析函数解析式可知：时，随着的增大，也增大，也增大， 所以时，单调递增； 又为偶函数，所以时，单调递减，所以A错误； 时，单调递增，又，所以时，，C正确； 大致画出函数图像如下， 为点与点两点中点的纵坐标， 为时的函数值， 观察图象可知选项D正确. 故选：BCD 11. 函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（ ） A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于5 D. 的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，求得函数，结合三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数图象，可得，所以， 所以，解得， 又由函数的图象过点，且， 当时，可得，所以， 解得，因为，可得； 当时，可得，所以， 解得，因为，不存在，舍去， 综上可得，，，所以，所以A不正确，B正确； 又因为，所以是函数的一条对称轴，所以B正确； 将函数的图象向右平移个单位后，得到， 因为在上单调递减，则满足． 解得， 当时，，而，故不可能等于5，所以C错误． 当时，，又因为，所以，所以D正确． 故选：BD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【答案】 【解析】 【分析】先由函数图象经过定点推得，求出，再由图象过点确定值即可. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以， 解得，故. 又的图象也过点，则，则得， 因，故，所以. 故答案为：. 13. 已知函数，则________；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据题干将代入得到，再将4代入即可求得；x的方程恰有两个不同的解，画出函数图像观察图像即可得到实数k的取值范围. 【详解】易知，所以； 又当时，单调递减，且， 当时，单调递减，且，作出函数的图象如图， 所以方程有两个不同解，即函数与有两个不同交点，显然. 故答案为： 14. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由倍角公式和辅助角公式可得，由题意，再由三角函数的定义即可求. 【详解】圆的半径为1. 又，为等边三角形. ，且为锐角. . 由三角函数的定义可得，. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的定义，倍角公式和辅助角公式，公式的熟练运用是解决问题的关键. 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数的运算性质求解. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知角的终边经过点P，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简目标式，结合三角函数定义，即可求得结果； （2）将目标式化为二次齐次式，再根据同角三角函数关系，即可求得结果. 【小问1详解】 角的终边经过点P，故； 故. 【小问2详解】 . 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若方程仅有一个实数解，求的最小值. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二次不等式的解集和二次方程的关系，结合韦达定理求解； （2）根据判别式先进行条件转化，然后结合基本不等式中“的妙用”求解. 【小问1详解】 由题意，知方程的两根为和1， 所以， 解得或. 【小问2详解】 由题意，方程仅有一个实数解， 即， 即，所以，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 18. 设函数，且函数的最小正周期为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）求函数在区间上最值. 【答案】（1） （2），. （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由函数的最小正周期为，利用，即可求得结果. （2）利用整体带入思想，令，，即可求得函数的单调递减区间. （3）由x的范围，先算出，进而求出最值. 【小问1详解】 ∵函数的最小正周期为， ∴，∴，∴ 【小问2详解】 令，， 解得，. ∴函数的单调递减区间为，. 【小问3详解】 ∵，得， ∴，得， 当时，；当时，. ∴可得函数在区间上的最大值为，最小值为. 19. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用指数函数的值域，结合二次函数求出值域. （2）按分类，结合指数函数的值域及二次函数求出取得最小值的. （3）由（2）的结论，等价变形不等式，分享参数并构造函数，求出最小值即可得解. 【小问1详解】 当时，，而， 所以的值域为. 【小问2详解】 令，函数， 当，即时，在上递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上递减，在上递增， 所以，而，解得， 所以的最小值为时，. 【小问3详解】 由（2）知，， 不等式， 设，依题意，有实数解， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆第三十中学校2024-2025学年上学期高一期末考试数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 满足的集合M的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 2. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 A. B. C. D. 3. 若函数两零点间最小距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则函数最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 7. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C 若，，则 D. 若，则 10. 已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则 11. 函数部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（ ） A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于5 D. 的最小值为2 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 13. 已知函数，则________；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是________. 14. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为____________. 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）. 16. 已知角的终边经过点P，求下列各式的值． （1）； （2）． 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若方程仅有一个实数解，求的最小值. 18. 设函数，且函数的最小正周期为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）求函数在区间上的最值. 19. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $