10.5分式方程（第3课时用分式方程解决问题）同步练习2025-2026学年苏科版八年级数学下册

10.5分式方程（第3课时 用分式方程解决问题）同步练习 一、单选题 1．《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有人，平分元钱；第二次比第一次增加人，平分元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某公司第一季度总共生产80万部手机．已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部的电影，手机比手机快190秒，设手机的下载速度为，则正确的方程是（    ） A． B． C． D． 4．某公路进行施工，为尽量减少施工对市民出行造成的影响，实际施工时工作效率比原计划提高了，结果提前4个月完成这一任务．设原计划个月完成这一任务，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．自城市精细化管理（改造）工作开展以来，甘南藏族自治州碌曲县不断把城市精细化（改造）管理工作作为打造“五无甘南”创建“十有家园、七美碌曲”的有力推手．为加快推进城市精细化，该州建成了多条快速干线，小洁开车从家到单位有两条路线，A路线为全长千米的普通道路，路线全长千米，其中包含有快速干线，走路线比走路线的平均速度提高，时间节省小时，由此可列方程，则方程中表示的是（   ） A．走路线的速度 B．走路线的速度 C．走路线的用时 D．走路线的用时 6．甲乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少2小时，若两人合作处理，仅需小时即可完成．设甲单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中有题为：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛、羊的数量相等，求每头牛的价格．根据题意，嘉嘉和淇淇分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉： 淇淇： A．表示每头牛的价格 B．表示买得牛（羊）的数量 C．表示 D．表示 二、填空题 8．一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是，原来得两位数是 ． 9．某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中表示的是 ． 10．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费2000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程是 ． 11．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木2000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务．则实际每天植树 棵． 12．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资9000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了两间直播教室，总投资追加了3000元，根据题意，则原计划每间直播教室的建设费用是 ． 13．一组学生去春游，统计共需要费用240元，后来又有一组学生参加进来，总费用不变，每人可以少分摊6元．如果两组学生的人数相等，那么每组学生的人数为 ． 14．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路 . 15．甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有 m． 16．某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是 km/h． 17．为了进一步落实国务院关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见的精神，某校计划为学生购买一些篮球和跳绳．调查了某商店的价格情况后，已知一个篮球的价格比一根跳绳的价格的倍多元，、分别表示购买篮球和跳绳所需费用（元）与数量（单位：个或根）的关系，如图所示．若设一根跳绳的单价为元，则可列方程为 ． 三、解答题 18．某校计划租车前往博物馆开展研学活动．某租车公司有，两种型号的客车可供租用，每辆车满员的情况下，每辆型客车的载客量比每辆型客车的载客量多人，用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同．求每辆型客车的载客量． 19．列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 20．某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程，并说明理由． 21．两个小组同时开始攀登一座900米高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰． (1)求这两个小组的攀登速度各是多少？ (2)如果山高为米，第一组的攀登速度是第二组的b倍，并比第二组早到达顶峰，则第一组的攀登速度为_________，第二组的攀登速度为_________．（用含a，b，t的式子表示） 22．在田径铁饼赛场上，使用机器狗送铁饼．某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ (1)小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为 ．小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为 ． (2)请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 23．【问题情境】年某城市文创市集推出了书包和笔记本两款文创产品，某摊主购进这两种产品开展销售．已知用元购进书包的数量比用元购进笔记本的数量少个，且书包的进价是笔记本进价的倍． (1)若小宇同学列出方程：，解得，经检验是原方程的解且符合题意，则此方程中的x表示________． (2)小轩同学有不同的解法；设笔记本的数量为y个，请你帮他求笔记本和书包的进价． (3)该摊主再次以相同进价购进这两种产品，若购进笔记本的数量比书包数量的倍多个，且购进两种产品的总资金不超过元，则最多可以购进书包多少个？ 24．【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多7个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出A，B两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据“两次每人分得的钱数相同”这一等量关系，分别表示出两次每人分得的钱数，进而列出方程． 【详解】解：∵第一次有人，平分元钱，∴第一次每人分得元． ∵第二次比第一次增加人， ∴第二次有人，平分元钱， ∴第二次每人分得元． ∵第二次每人分得的钱与第一次相同，∴可列方程为． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设实际每小时包x个，原计划每小时包个，根据实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相等，据此列方程． 【详解】解：设实际每小时包x个，原计划每小时包个， 根据题意，得． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据“手机比手机快190秒”列方程即可． 【详解】解：设手机下载速度为， 则手机下载速度为 下载时间为 秒， 下载时间为秒， 所以方程为， 故选B． 4．B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是找到等量关系式． 根据工作效率提高和提前个月完成，利用工作总量相等列方程． 【详解】解：设工作总量为，原计划个月完成，则原工作效率为． ∵ 实际工作效率比原计划提高了， ∴ 实际工作效率为. 又∵ 实际提前个月完成， ∴ 实际完成时间为个月， ∴ 实际工作效率也为． 因此，有方程， 即． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查分式方程的应用，代数式的实际意义，百分比的应用，理解行程三要素的关系是解题关键． 根据题意，方程表示走路线与走路线的时间差为小时，其中表示速度，通过比较方程与时间差表达式可确定的含义． 【详解】解：设走路线的速度为，则走路线的时间为， 走路线的速度为，则走路线的时间为， 时间差为，与给定方程对比， 可知，即走路线的速度． 故选：． 6．B 【分析】本题考查了分式方程在工程问题中的应用，解题的关键是抓住“工作效率之和合作时间工作总量”这一等量关系． 先根据甲单独处理需要小时，得出乙单独处理需要小时；再分别表示出甲、乙的工作效率；最后根据两人合作小时完成全部工作，列出方程． 【详解】解：设甲单独处理需要小时，则乙单独处理需要小时． 甲的工作效率为，乙的工作效率为， 两人合作1.2小时完成工作，可列方程：． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，每头牛比每只羊贵1两，牛、羊数量相等．嘉嘉的方程中，表示每头牛的价格，表示每只羊的价格；淇淇的方程中，若为牛（羊）的数量，则为牛价格，由方程和题意可知，表示羊的价格；根据题意，羊的价格为，故应为；因此选项B正确，选项D错误． 【详解】解：设每头牛价格为两，每只羊价格为两， ∵，且牛数量为，羊数量为，数量相等， ∴． 嘉嘉方程：，对比得x为牛价格，为羊价格，即，故A、C正确． 淇淇方程：，为数量，则为牛价格，牛价格减1为羊价格，即，又羊价格为， ∴，而非，故B正确，D错误． 故选：D． 8．63 【分析】设这个两位数个位上的数为x，，再根据等量关系列出方程，最后检验并作答． 【详解】解：设这个两位数个位上的数为x， 则可列方程：， 整理得66x＝198， 解得x＝3， 经检验x＝3是原方程的解，则60+x＝63， 故答案为：63． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验． 9．篮球的数量 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出等量关系，即可解题． 【详解】解：设篮球的数量为个，足球的数量为个， 根据题意可得， ， 表示的是篮球的数量， 故答案为：篮球的数量． 10． 【分析】本题考查了列分式方程，设纯电汽车每百公里的耗电费为 元，则每百公里的耗油费为 元，根据燃油汽车耗费 7000 元油费行驶的路程与纯电汽车耗费 2000 元电费行驶的路程相同，列出分式方程； 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为 元，则每百公里的耗油费为 元， 根据题意得，； 故答案为： 11．125 【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1+25%)x棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入(1+25%)x中即可求出结论． 【详解】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1+25%)x棵， 依题意得：， 解得：x=100， 经检验，x=100是原方程的解，且符合题意， ∴(1+25%)x=125． 故答案为：125． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 12．500元 【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了两间直播教室，总投资追加了3000元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据题意得：， 解得：x=500， 经检验：x=500是原方程的解， 所以，原计划每间直播教室的建设费用是500元， 故填：500元． 【点睛】考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大． 13．20人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设每组学生人数为，根据又有一组学生参加进来，总费用不变，而每人却可以少分摊元，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设每组学生人数为人，根据题意得： 解这个方程得： 经检验：为原方程的解． 故答案为：人 ． 14． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是关键，注意要检验；设原计划每小时修路x米，根据实际工作效率提高和提前8小时完成任务，列出关于时间的方程． 【详解】解：设原计划每小时修路x米，则实际每小时修路米． 原计划修路时间为小时，实际修路时间为小时． 由题意得：， 解得． 经检验是原分式方程的解且符合题意． 故原计划每小时修路50米． 故答案为：50． 15．1600 【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据“结果甲同学比乙同学晚到”列出分式方程，求解并检验即可得到甲同学步行的速度，进而求出公交车所走的路程即可所求． 【详解】设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据题意，得 ， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意． 所以． 故乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有． 故答案为：1600 16．3 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，熟练掌握解分式方程是解题的关键； 设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h，根据返回时间比去时多0.5小时列出分式方程． 【详解】设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h． 去时时间为小时，返回时间为小时． 由题意，得方程． 两边同乘，得， 整理得， 解得，． 经检验，是原方程的解且符合题意， 不符合题意舍去． ∴返回时步行速度为3 km/h． 故答案为：3． 17． 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据数量等于总价除以单价，结合图象得到当时，购买的篮球数量和跳绳的数量相等，列出分式方程即可． 【详解】解：设一根跳绳的单价为元，则一个篮球的单价为元， 由图象可知，当时，购买的篮球数量和跳绳的数量相等， 故可列方程为； 故答案为：． 18．人 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列出分式方程并检验解的合理性是解题的关键．设每辆型客车的载客量为人，根据题意表示出型客车的载客量为人；利用“载客人数每辆车的载客量车辆数”这一关系，结合“用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同”这一等量关系，列出分式方程；最后解方程并检验，得出型客车的载客量． 【详解】解：设每辆B型客车的载客量为x人，则每辆A型客车的载客量为人． 由题意，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：每辆B型客车的载客量为45人． 19．(1)制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟 (2)升级后制作一对“一字扣”需20分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用等知识． （1）设制作一对“花扣”需要x分钟，根据制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟列出方程，解方程即可求解； （2）设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟，根据50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的列分式方程，解分式方程即可求解． 【详解】（1）解：设制作一对“花扣”需要x分钟，则制作一对“一字扣”需分钟． 由题意得， 解得， ． 答：制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟； （2）解：设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟， 由题意得， 整理得， 去分母得， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴分钟． 答：升级后制作一对“一字扣”需20分钟． 20．(1)乙施工队单独施工，完成整个工程需要天； (2)不能，理由见解析． 【分析】本题考查分式方程在工程问题的实际应用，核心是将总工作量看作单位“1”，利用“工作效率×工作时间=工作量”的数量关系建立方程或进行计算． （1）先根据计划工期和提前天数确定实际总工期，进而得到甲、乙的工作时间，设乙单独完成的天数为未知数，根据总工作量为1列方程求解； （2）先计算甲、乙合作的工作效率，再求出合作完成工程的总时间，与天比较大小即可判断． 【详解】（1）解：设乙施工队单独施工完成整个工程需要天，将整个工程的工作量看作单位“1”， 则甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为． 根据题意，工程实际完成时间为（天），所以甲队总共工作了天，乙队工作了（天）． 根据总工作量为1，可列方程：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要天； （2）解：若甲、乙两支队伍一开始合作施工， 则两队合作的工作效率为， 完成整个工程所需的时间为（天）． ∵， ∴不能在天内完成工程； 答：不能在天内完成工程． 21．(1)第一组的速度是，第二组的速度是． (2)， 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列分式方程求解，注意检验． （1）设第二组的速度是，则第一组的速度是，根据第一组比第二组早，列方程求解并检验即可； （2）方法同（1），把数字代换为字母进一步列出方程解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设第二组的速度是，则第一组的速度是， 依题意可得：， 解得， 经检验是原方程的根，且符合实际， 当时， ， ∴第一组的速度是，第二组的速度是． （2）解：设第二组的速度是，则第一组的速度是， 依题意可得： 解得： 经检验既是原方程的根，也符合实际 当时， ∴第一组的速度是，第二组的速度是 故答案为：， 22．(1)；0.5 (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）根据甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，分别列出分式方程即可； （2）设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是，根据甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为； 小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为； 故答案为：；； （2）解：设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙机器狗这次运铁饼的速度是． 23．(1)笔记本的进价； (2)笔记本的进价是元/个，书包的进价是元/个； (3)个． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）根据列出的方程，确定表示的意义即可； （2）设笔记本的数量为y个，则书包的数量为个，列出方程，解方程即可求解； （3）设购进书包m个，则购进笔记本个，根据购进两种产品的总资金不超过元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：小宇同学列出方程：， 表示笔记本的进价， 故答案为：笔记本的进价； （2）根据题意列方程，得， 解得， 经检验是原方程的解， 笔记本的进价是：元/个， 书包的进价是：元/个， 答：笔记本的进价是元/个，书包的进价是元/个； （3）设购进书包m个，则购进笔记本个， 由题意得， 解得：， 因为m为整数， 所以m的最大值为， 答：最多购进书包个． 24．(1)A,B两种书架的单价分别为1200元，1000元 (2)；费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次方程的求解，解题的关键是根据题意建立正确的数学模型，先通过分式方程求出单价，再利用一次函数的单调性求费用最小值，最后根据价格调整后的费用列方程求解． 先设B种书架单价，根据A、B单价关系表示A种单价，再由素材二列分式方程求解；接着根据购买数量的限制条件，建立总费用与购买数量的一次函数关系，利用函数单调性求最优方案；最后根据价格调整后的总费用，代入最优方案列方程求解的值． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴A种书架的单价为（元）． 答：两种书架的单价分别为元，元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用，即， 由题意得，a应满足：，解得． ∵， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 答：w与a的函数关系式为，费用最少时购买A种书架8个，B种书架个． （3）解：由题意得，解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $