精品解析：河南省安阳市第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

安阳一中2025—2026学年第一学期期末考试 高一数学试题卷 命题人：朱立军 审核人：陈社斌 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 关于不等式的解集是，那么（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 3. 已知，，则与向量方向相反的单位向量为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 1 D. 5. 已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，是边上靠近三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 一个零点为 D. 在区间上单调递减 10. 已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，则下列说法正确的有（   ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数零点个数为4个 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则______. 13. 当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是______. 14. 设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为 （1）求 （2）若与垂直，求值 16. 已知角且. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 17. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.经过反复试验，喝了一定量的酒后，酒精在人体血液中含量的变化规律如下：一开始含量呈线性增长，当其上升到时，会以每小时的速度减少（函数模型如图）. （1）求血液中酒精含量（单位：）关于时间（单位：小时）的函数解析式； （2）某驾驶员在喝了同等量的酒后，至少要经过几个小时才能合法驾驶？（结果取整数）.（参考数据：，） 18 已知函数． （1）若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； （2）若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，若，求的取值范围； （2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的解析式； （3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安阳一中2025—2026学年第一学期期末考试 高一数学试题卷 命题人：朱立军 审核人：陈社斌 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解含绝对值的不等式和一元二次不等式求出集合与集合，再求即可. 【详解】由，可得：或， 解得或，， 由，解得：， ， ， 即. 故选：B 2. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集结合韦达定理即可求得的值. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则的两根为，由韦达定理可知，， 又，解得，所以. 故选：C 3. 已知，，则与向量方向相反的单位向量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的定义运算，结合相反向量和单位向量的概念即可求解. 【详解】由，，可得向量， 则与向量方向相反的单位向量为， 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算． 【详解】由诱导公式可得， . 故选：B 5. 已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性、特殊点法及排除法进行判断即可. 【详解】由函数的图象可知，函数是奇函数． 对于B：，此时为偶函数，与图象不符，故B错误； 对于C：当时，，与图象不符，故C错误； 对于D：，此时为偶函数，与图象不符，故D错误； 由排除法可知A正确， 故选：A. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两角和差公式及辅助角公式得出，再应用诱导公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 则. 故选：C 7. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 8. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式解集为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】化简的解析，根据三角函数的周期性、对称性、零点、单调性等知识求得正确答案. 【详解】因为函数，所以它的一个周期为，故A正确； 令，求得，故B错误； ，令， 求得，故一个零点为，故C正确； 当时，，而函数在上单调递减， 在上单调递增，所以在上没有单调性，故D错误． 故选：AC． 10. 已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件得到是等边三角形，进而得到 ，，，．再结合数量积的运算逐项判断即可. 【详解】因为，所以为的中点，所以为圆的直径，． 因为， 所以是等边三角形， 所以，，，． ，故A正确． ，故B错误． 设的中点为，则，为在上的投影向量，，故C正确． 因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，则下列说法正确的有（   ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数零点个数为4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的性质，可得函数关于直线对称，然后对选项逐项分析即可. 对于选项A，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围即可.对于B,由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围即可.对于C，由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数即可.对于D，令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数即可. 【详解】对于A，当时，， 所以， 当时，，， 则函数关于对称， 当时，，， ∴函数的大致图象如下图， 令，则，，，为方程的解，则， 由，可得，∴，则， 由图可知，，∴，故A错误； 对于B,∵，∴，且∴， 令，因函数在上单调递减，则，故B正确； 对于C，∵有两个零点或，∴时，或， 当时，由函数图象可知，函数有3个零点， 当时，由函数图象可知，函数有2个零点， ∴函数存在5个零点，C正确； 对于D，令，即， 则或或， ，即；，即；，无解； ，即；，无解；，即； 故函数有4个零点，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的减法运算可得，，根据三点共线可得存在实数，使，然后列方程求解即可. 【详解】由已知可得， ， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 则，即且，解得. 故答案为： 13. 当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知不等式有解得出有解，再应用基本不等式得出参数范围即可. 【详解】当时，关于x的不等式有解， 所以有解，所以， ， 当且仅当时取最小值6， 则的取值范围是. 故答案为：. 14. 设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的所在的区间，解不等式组，可求得结果. 【详解】, 在上恰有两个零点，恰有两个最高点， 即， 当时，不符合题意, 当时，不等式组为，不等式无解， 当时, 不等式组为，不等式无解， 当时，得， 当时，，得， 当时,不等式无解. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为 （1）求 （2）若与垂直，求的值 【答案】（1）1 （2）-4 【解析】 【分析】（1）根据与的夹角为列出关系式代入相关数据解出； （2）根据与垂直列出方程解出 【小问1详解】 与的夹角为， ， ， ； 【小问2详解】 与垂直， ， ， . 16. 已知角且. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再结合两角和的正切公式求解； （2）分别求出，，，再结合两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 ， 又 . 【小问2详解】 ∵， ∴，则 故 ∵，， ∴，故 ∴ . 17. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.经过反复试验，喝了一定量的酒后，酒精在人体血液中含量的变化规律如下：一开始含量呈线性增长，当其上升到时，会以每小时的速度减少（函数模型如图）. （1）求血液中酒精含量（单位：）关于时间（单位：小时）的函数解析式； （2）某驾驶员在喝了同等量的酒后，至少要经过几个小时才能合法驾驶？（结果取整数）.（参考数据：，） 【答案】（1） （2）10个小时 【解析】 【分析】（1）依题意，一开始酒精含量呈直线上升时，利用待定系数法求解析式，并求出，再由指数型函数模型求时的解析式； （2）设至少要经过个小时才能合法驾驶，根据题意，，两边取对数，利用换底公式和对数运算性质求解. 【小问1详解】 依题意，一开始酒精含量呈直线上升时，设， 函数过点，， ， 解得，，即， 当时，解得， 又当其上升到时，会以每小时速度减少， 当时，， . 【小问2详解】 设至少要经过个小时才能合法驾驶， 根据题意，， 即，即， 可得， ， ， 驾驶员至少要经过10个小时才能合法驾驶. 18 已知函数． （1）若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； （2）若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，转化为在上有两解，结合正弦函数的性质，即可求解. （3）由，求得，得到，根据，求得，把任意，总存在唯一确定的，转化为，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，其中， 因为函数的最大值为2，可得，解得， 所以， 令，可得， 当时，可得， 因为，所以函数在区间上的递增区间为. 【小问2详解】 解：当时，， 则 ， 因为在时有两解，所以在上有两解， 令，可得， 转化为与在上有两个交点， 又由， 结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：因为，解得， 所以， 因为，可得，所以， 对任意，总存在唯一确定的， 使得成立，所以， 且有且仅有唯一解， 令，则，所以， 所以，解得，所以，即实数的范围为. 19. 已知函数. （1）当时，若，求的取值范围； （2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的解析式； （3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数单调性以及定义域化简解不等式，再解分式不等式得结果； （2）先根据奇函数性质求得，再根据奇函数以及条件将要求自变量转化到已知区间，最后根据已知区间解析式求结果; （3）先根据函数性质解得一个周期下的不等式解集，再根据范围确定包含关系，解得结果. 【详解】解：（1）原不等式可化为， ∴，且，且， 得. （2）∵是奇函数，∴，得， 当时，，. 当时， ， . ∴ （3）∵ ,即周期为4， 因为为奇函数，且当时，， 所以当时， 因为， 所以当时，， 当时，，所以 在一个周期内， 记， 当时，， 因为关于的不等式在上恒成立， ∴，解得. 当时，， 因为关于的不等式在上恒成立， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查解对数不等式、函数解析式、利用函数奇偶性、单调性解解不等式，考查综合分析求解能力，属较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $