精品解析：广东省佛山市普通高中2025-2026学年高二供题训练数学试题

2025～2026学年普通高中供题训练 高二数学 2026.2 本训练卷共4页，19小题.满分150分.训练用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.训练结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列四条直线中，方向向量为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向向量的定义，把选项中的直线方程化成斜截式方程逐一判断即可. 【详解】直线的方向向量为，说明直线的斜率为. A：，所以该直线斜率为，不符合题意； B：，所以该直线斜率为，不符合题意； C：，所以该直线斜率为，不符合题意； D：，所以该直线斜率为，符合题意. 故选：D 2. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算求解即可. 【详解】， . 故选：C 3. 等差数列的前项和为，，，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推公式和等差数列的性质，求出公差，再结合题目条件即可判断出的值. 【详解】已知数列为等差数列，且，， 则，，即， ，， ，满足，故. 故选：B 4. 抛物线上与焦点的距离为2的点的横坐标为，则（ ） A B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的定义进行求解即可. 【详解】该抛物线的准线方程为， 因为抛物线上与焦点的距离为2的点的横坐标为， 所以由抛物线的定义可知. 故选：D 5. 柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按古典概型的概率公式进行计算. 【详解】设鞋柜中的两双鞋子分别为为, 则取出鞋子的所有可能为：， 取出的鞋成双的概率. 故选：B 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】将已知递推关系式变形，构造出等差数列，再利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】由， 所以数列是以为首项，为公差等差数列， 所以. 故选：A 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是坐标原点，为的内心.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内心的定义，结合等腰三角形和椭圆的对称性、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】因为上顶点为， 所以是等腰三角形，所以内心在纵轴上，如图所示： 因为是的内心， 所以设， 因为，所以， 所以在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以，或舍去， 所以 . 故选：C 8. 如图，已知正方形的边长为4，以为圆心、为半径的圆与为直径的圆交于，两点，则到边的距离为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义，结合圆的性质、同角三角函数关系式、二倍角余弦公式进行求解即可. 【详解】连接， 所以，取的中点，连接， 所以，设， 所以， 所以由， 所以在直角三角形中，， 因为为直径的圆交于，两点， 所以， 在直角三角形中，， 所以， 过作，垂足为， 所以有 所以到边的距离为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机事件，满足，则（ ） A. B. 、不是互斥事件 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用反证法判断A；根据互斥事件的定义判断B，根据对立事件的定义判断CD. 【详解】若，则，与题干矛盾，故A错误； 因为，所以随机事件，可以同时发生，即、不是互斥事件，故B正确； 因为，所以，即，故C正确D错误； 故选：BC 10. 已知正三棱柱的所有棱长为2，，分别为棱，上的点，则（ ） A. 当为中点时，任意点到平面的距离均为1 B. 当为中点时，存在点到直线的距离为2 C. 对任意给定的点，存在点，使得 D. 对任意给定的点，存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先证平面，接着证平面，故点到平面的距离为定值1；对于B，利用点到线的距离公式求解判断即可；对于CD，设，，再由垂直的坐标表示得，再根据的范围即可判断． 【详解】对于A，在正三棱柱中，当为中点时， ，平面，又平面， ，又平面， 平面，即平面，且， 所以点到平面的距离为， 又平面，平面， 平面， 所以，任意点到平面的距离均为1，故A正确； 对于B，在正三棱柱中，设中点为，中点为， ，又平面，平面， ，又平面， 平面，则以为原点建立空间直角坐标系， ， 当为中点时，，， 设，， 故点到直线的距离， 解得，又，所以无解， 即不存在点到直线的距离为2，故B错误； 对于C，设，若， 则， 即，，， 则对任意给定的点，存在点，使得，故C正确； 对于D，，，， 则对任意给定的点，存在点，使得，故D正确． 故选：ACD． 11. 设是坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，与轴交于，的外接圆交轴于（异于），中点到轴的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立可得一元二次方程，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标公式、直线斜率公式、圆的方程逐一判断即可. 【详解】设直线的方程为，与抛物线方程联立，得 ， 所以， 设， 所以， 因为，所以， 舍去， 所以点的坐标为. 所以. 因为， 所以中点的坐标为，所以 ， 因此的外接圆的方程为， 令，得舍去， 所以， ，所以选项A正确； 假设，由上可知，所以，显然不成立， 所以选项B不正确； ， 当时，由上可知点与坐标原点重合，不符合题意， 当时，，所以选项C正确； ，， 因为， 所以，所以选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中14题第一空2分，第二空3分. 12. 数列满足，，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据递推公式依次赋值即可得出答案. 【详解】令，则， 令，则， 令，则， 三个式子联立可得，即，解得. 故答案为：2 13. 如图，平面，，，，，，则直线与所成角的余弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过向量分解将空间线段表示为向量，并利用已知的垂直关系简化向量的乘积计算，代入异面直线夹角的向量公式，计算余弦值得出结果. 【详解】设，， 平面，，故， ，， 平方得：， 代入得：， 即，所以：， 设与的夹角，则，即. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，，，，，且动点满足，设点到直线的距离分别为，，，则的最大值为________，________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用点到距离公式的和条件化简得到圆的轨迹方程，再根据圆外一点到圆上点的距离最值性质求出最大值；通过点到直线的距离公式分别列出距离平方，结合圆的轨迹方程代入化简，得到平方和. 【详解】， 三式相加：， 计算得：， 化简得：， ∴轨迹是以原点为圆心、半径的圆， ， 因在圆上，故； 直线：， 直线：，方程：， ， 直线：，方程： ， ， 展开合并分子：， 代入得：， 于是：. 故答案为：①；② 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，是轴正半轴上的一点. （1）若以为直径的圆经过，求的坐标； （2）若的面积是，求中边上高所在直线的方程. 【答案】（1）、 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式和两点间的距离公式求出以为直径的圆的圆心和直径，再结合题目条件求出的坐标. （2）利用距离公式与面积公式建立方程，求出点的坐标；然后根据直线的斜率，确定其高的斜率（互为负倒数）；最后利用点斜式写出高所在直线的方程. 【小问1详解】 已知，，则圆心坐标为， 半径，则圆的方程为， 圆经过，又是轴正半轴上的一点， 则，即，或， 故的坐标为或. 【小问2详解】 直线的斜率：， 方程为，即， ， 设，点到直线距离为： 由的面积得： 即解得，即， 边上高的斜率等于直线斜率的负倒数，即， 过的直线方程为即. 16. 甲、乙两位同学组队参加“十五届全国运动会”知识竞赛活动，比赛具体规则如下：第一阶段由其中一位同学答一道题，答对则进入第二阶段，答错则比赛结束；第二阶段由另一位同学答题，第二阶段有两道题，两题全部答对得分，两题恰有题答对得分，两题都答错得分，第二阶段的得分为总得分.已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，每个阶段答题相互独立，每道题答对与否相互独立. （1）甲参加第一阶段比赛，求总得分为分的概率； （2）为使总得分不低于分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2）甲 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式，先确定进入第二阶段的条件概率，再计算第二阶段全对的概率，相乘得总概率; （2）通过比较两种人员安排方案的得分达标概率，运用对立事件简化至少答对一题的概率计算，根据概率大小做出最优决策. 【小问1详解】 总得分为分的条件是： 甲第一阶段答对（从而进入第二阶段），且乙在第二阶段两题全部答对， 甲第一阶段答对的概率为；乙第二阶段两题全对的概率为； 由于事件独立，总概率为. 【小问2详解】 总得分不低于分等价于：第一阶段答对，且第二阶段答对至少题（得分或分），分两种情况计算： 情况一：甲参加第一阶段，乙参加第二阶段 甲第一阶段答对的概率：； 乙第二阶段答对至少题的概率：； 总概率， 情况二：乙参加第一阶段，甲参加第二阶段 乙第一阶段答对的概率：； 甲第二阶段答对至少题的概率：； 总概率， 因为，故应选甲参加第一阶段. 17. 已知双曲线的右焦点为，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用代入法，结合焦点的定义进行求解即可； （2）设直线方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，利用弦长公式得，同理计算出，再计算出其乘积，同理再计算得，最后代入计算即可证明. 根据两点间距离公式，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系进行运算证明即可. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为，且经过点， 所以，因此双曲线的方程为； 【小问2详解】 由题意可知直线都存在斜率且不为零，且不相等， 设直线的斜率为，方程为，与双曲线方程联立，得 ，不等于0. 所以有， 设， ，解得， 同理， 所以 ， 设直线的斜率为， 同理可得：， 因为， 所以， 因为，所以， 因此直线与直线的斜率之和是定值. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点满足，，则点到平面的距离是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质、结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据空间向量点到直线距离公式，结合空间向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以， 又因，平面， 所以平面，又因为平面， 所以； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以边上的高为， 则由题意可得， 设平面的法向量为， 因为， 所以，取，则， 所以是平面的一个法向量. 显然是平面的一个法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值为：. 【小问3详解】 点到平面的距离是定值，理由如下： 是平面的一个法向量， 设点到平面的距离. ， 所以点的坐标为， 因为， 所以， 因此有， 把，代入，得 ， 所以点的坐标为， 于是， 所以点到平面的距离是定值. 19. 已知圆，椭圆，若过上任意一点作的两条切线，，总有，则称圆为椭圆所对应的蒙日圆，此时. （1）若椭圆的两个焦点分别为和，且与直线相切，求的标准方程； （2）过圆上任一点作椭圆的一条切线交于点（异于），过点作椭圆的另一条切线交于点（异于），重复该过程，形成. （ⅰ）证明：与重合； （ⅱ）设面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析 （ii） 【解析】 【分析】（1） 利用直线与椭圆的位置关系结合的关系即可求解； （2）（i）根据蒙日圆的性质即可证明； （ii）根据蒙日圆的性质结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，即，联立消去得： ，因为直线与椭圆相切， 所以，把代入上式得：， 整理得，即，解得或（舍去）， 则，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）因为圆为椭圆对应的蒙日圆，过上任意一点作的两条切线，， 总有，由圆的性质和切线垂直的关系可知，相邻两点之间的切线夹角为， 经过四次操作后，相当于绕圆旋转了一周，所以与重合； （ii）由蒙日圆的性质可知，，所以为圆的一条直径， 所以， 而， 当且仅当时成立， 所以的面积为的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年普通高中供题训练 高二数学 2026.2 本训练卷共4页，19小题.满分150分.训练用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.训练结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列四条直线中，方向向量为的是（ ） A. B. C. D. 2 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前项和为，，，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 抛物线上与焦点距离为2的点的横坐标为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是坐标原点，为的内心.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形的边长为4，以为圆心、为半径的圆与为直径的圆交于，两点，则到边的距离为（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机事件，满足，则（ ） A. B. 、不是互斥事件 C. D. 10. 已知正三棱柱的所有棱长为2，，分别为棱，上的点，则（ ） A. 当为中点时，任意点到平面的距离均为1 B. 当为中点时，存在点到直线的距离为2 C. 对任意给定的点，存在点，使得 D. 对任意给定的点，存在点，使得 11. 设是坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，与轴交于，的外接圆交轴于（异于），中点到轴的距离为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中14题第一空2分，第二空3分. 12. 数列满足，，，则______. 13. 如图，平面，，，，，，则直线与所成角的余弦值为________. 14. 在平面直角坐标系中，，，，，且动点满足，设点到直线的距离分别为，，，则的最大值为________，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，是轴正半轴上一点. （1）若以为直径的圆经过，求的坐标； （2）若的面积是，求中边上高所在直线的方程. 16. 甲、乙两位同学组队参加“十五届全国运动会”知识竞赛活动，比赛具体规则如下：第一阶段由其中一位同学答一道题，答对则进入第二阶段，答错则比赛结束；第二阶段由另一位同学答题，第二阶段有两道题，两题全部答对得分，两题恰有题答对得分，两题都答错得分，第二阶段的得分为总得分.已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，每个阶段答题相互独立，每道题答对与否相互独立. （1）甲参加第一阶段比赛，求总得分为分的概率； （2）为使总得分不低于分概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 17. 已知双曲线右焦点为，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点满足，，则点到平面的距离是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由. 19. 已知圆，椭圆，若过上任意一点作的两条切线，，总有，则称圆为椭圆所对应的蒙日圆，此时. （1）若椭圆的两个焦点分别为和，且与直线相切，求的标准方程； （2）过圆上任一点作椭圆的一条切线交于点（异于），过点作椭圆的另一条切线交于点（异于），重复该过程，形成. （ⅰ）证明：与重合； （ⅱ）设的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $