精品解析：广东省佛山市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量检测数学试题

2024~2025学年上学期佛山市普通高中教学质量检测 高二数学 本试卷共4页，19小题.满分150分，考试用时120分钟. 2025年1月 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，在斜率为的直线l上，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲乙两名同学参加羽毛球单打比赛，比赛规则是3局2胜制.现通过设计模拟实验估算概率，用1，3，5表示一局比赛甲获胜，用2，4表示一局比赛乙获胜.利用计算机产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 254 由此估计甲赢得比赛的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.65 C. 0.7 D. 0.75 6. 已知圆和圆都和x轴正半轴相切，且圆心都在直线上，半径之差为4，则（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. A与B相等 D. 9. 如图，为的直径，为上异于、的动点，平面，为的中点，且，，则（ ） A. 的长等于点到直线的距离 B. 为二面角的平面角 C. 当时，与平面所成角为 D. 过作平面平面，则平面与交点的轨迹为椭圆 10. 已知抛物线和椭圆有相同的焦点F，且交于M，N两点，C的准线与交于P，Q两点，则（ ） A. 存在，使为等边三角形 B. 存在，使四边形PQNM为正方形 C. 任意，点M总在圆外 D. 任意，椭圆上任一点总在圆外 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量，点在内，则原点O到的距离为______. 12. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与C的右支交于点P，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为______. 13. 已知点关于直线的对称点在圆上，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知，，是圆上的三点，. （1）判断四点是否共圆，并说明理由； （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 15. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，，平面，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小. 16. 甲同学参加立定投篮训练活动.规则如下：每投中一球得1分，投不进得分.已知甲每次的投篮命中率为，前6次投篮全部命中，各次投篮结果相互独立. （1）求甲投完第8次球后得分依旧为6分的概率. （2）若甲最多有10次投篮机会，得分不少于7分则为优秀.为了使获得优秀的概率最大，甲选择的投篮次数应该是多少次？ 17. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，直线，其中，直线l与C有且只有一个公共点P，直线PF交C于另一个点Q. （1）当时，求的值； （2）求面积的取值范围. 18. 已知长为3的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且. （1）求动点P的轨迹方程； （2）记，动点P的轨迹为曲线C，过点的直线交曲线C于M、N两点，分别过点M、F作y轴和x轴的垂线交于点Q，求证直线恒过定点，并求该定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期佛山市普通高中教学质量检测 高二数学 本试卷共4页，19小题.满分150分，考试用时120分钟. 2025年1月 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，在斜率为的直线l上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点求概率即可求参； 【详解】点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先把抛物线转化为标准方程进而得出焦点坐标及准线，最后求出距离. 【详解】抛物线转化为，则焦点为，准线为，焦点到准线的距离为4. 故选：B. 3. 已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质可得. 【详解】由题意可设双曲线的方程为， 由题意，，故，故双曲线的方程为， 故选：A 4. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率越小，越接近于圆，写出各项椭圆的离心率并比较大小，即可得答案. 【详解】由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆， 对于，， 对于，， 对于，， 对于，， 显然的离心率最小. 故选：D 5. 甲乙两名同学参加羽毛球单打比赛，比赛规则是3局2胜制.现通过设计模拟实验估算概率，用1，3，5表示一局比赛甲获胜，用2，4表示一局比赛乙获胜.利用计算机产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 254 由此估计甲赢得比赛的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.65 C. 0.7 D. 0.75 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题中数据得甲获胜的场数为13场，进而可得甲赢得比赛的概率为. 【详解】由题中数据可知甲获胜的场数为13场， 故甲赢得比赛的概率为， 故选：B 6. 已知圆和圆都和x轴正半轴相切，且圆心都在直线上，半径之差为4，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先明确圆与轴正半轴相切以及圆心在直线上这两个条件的含义，通过这两个条件确定圆心坐标的特点，再利用半径之差以及两点间距离公式求出的值. 【详解】因为圆和圆的圆心都在直线上，所以可设圆心，. 又因为两圆都和轴正半轴相切，所以圆的半径（），圆的半径（）. 已知两圆半径之差为，不妨设，即. 根据两点间距离公式， . 把代入上式可得：. 故选：A. 7. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法求出最小值. 【详解】由正方形，得，而平面平面，平面， 得平面，又四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，， 设与都垂直的向量，则，令，得， 所以的最小值为. 故选：B 【点睛】思路点睛：求两条异面直线上两点间距离最小值，可以利用空间向量求出两条异面直线的公共法向量，再求投影长即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. A与B相等 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件以及事件相等的概念，再根据抛掷硬币的实际情况来判断各选项. 【详解】对于A，互斥事件是指两个事件不可能同时发生.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，第一次正面朝上（事件A发生）时，第二次仍有可能反面朝上（事件B发生），即A与B是可以同时发生的.所以A与B不是互斥事件，A选项错误. 对于B，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 第一次抛掷硬币的结果不会影响第二次抛掷硬币的结果. 事件A发生的概率， ，即. 所以A与B相互独立，B选项正确. 对于C，事件A是“第一次正面朝上”，事件B是“第二次反面朝上”，它们所包含的具体情况明显不同.所以A与B不相等，C选项错误. 对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上和反面朝上的概率都是. 事件A“第一次正面朝上”的概率，事件B“第二次反面朝上”的概率.所以，D选项正确. 故选：BD. 9. 如图，为的直径，为上异于、的动点，平面，为的中点，且，，则（ ） A. 的长等于点到直线的距离 B. 为二面角的平面角 C. 当时，与平面所成角为 D. 过作平面平面，则平面与交点的轨迹为椭圆 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质证明出，可判断A选项；利用二面角的定义可判断B选项；利用线面角的定义可判断C选项；找出平面与的交点，并求其轨迹，可判断D选项. 【详解】对于A选项，为的直径，为上异于、的动点，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，故的长等于点到直线的距离，A对； 对于B选项，因为，，所以，为二面角的平面角，B错； 对于C选项，当时，由于，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 因为平面，则直线与平面所成角为， 因为，则，则， 故当时，与平面所成角为，C对； 对于D选项，分别取、的中点、，连接、、， 取线段的中点，连接，如下图所示： 因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面，且， 因为，、平面，所以，平面平面， 所以，平面即为平面，所以，平面与的交点为， 因为、分别为、的中点，则， 因为，则， 因为为的中点，所以，， 又因为点为上异于、的动点，故点不与点、重合， 所以，过作平面平面，则平面与交点的轨迹为圆（除去点和点），D错. 故选：AC. 10. 已知抛物线和椭圆有相同的焦点F，且交于M，N两点，C的准线与交于P，Q两点，则（ ） A. 存在，使为等边三角形 B. 存在，使四边形PQNM为正方形 C. 任意，点M总在圆外 D. 任意，椭圆上任一点总在圆外 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意,焦点，则抛物线，准线方程为，若为等边三角形，即，可求出，判断A；根据椭圆、抛物线的对称性，则，发生矛盾，可判断B；利用抛物线定义判断C；利用椭圆定义和性质判断D. 【详解】根据题意，椭圆， ，所以焦点， 则抛物线，准线方程为， 设椭圆左焦点为，准线过点， 若为等边三角形，即， 即，解得，故A正确； 根据椭圆、抛物线的对称性，若四边形PQNM为正方形， 则，所以直线方程为， 代入抛物线方程，得，此时，矛盾，B错误； 根据题意，又由抛物线定义，， 所以任意，点M总在圆外，C正确； 设椭圆上任意一点，根据椭圆定义， 则，而， 所以，所以点在圆外，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项C、D中，分别利用抛物线和椭圆定义进行判断是解题关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量，点在内，则原点O到的距离为______. 【答案】7 【解析】 【分析】先求出向量，再利用点到平面距离公式来计算原点到平面的距离. 【详解】已知点，点，那么向量. 已知，，则. 对于向量，根据向量模长公式. 计算原点到平面的距离： 根据点到平面距离公式，把，代入可得，. 故答案为：7. 12. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与C的右支交于点P，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】首先通过构建辅助线，利用垂直关系和三角函数的定义来确定线段长度，进而根据双曲线的性质求出离心率 【详解】如图，取的中点Q，，连接，则. 已知，不妨设. 根据正切值的定义，当时，. 在中， 由勾股定理. 因为是的中点，且，所以. 又因为，所以. 离心率. 故答案为：3. 13. 已知点关于直线的对称点在圆上，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】分析出点在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而联立与，求出，根据的中点在上得到方程，求出答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 显然在上， 由对称性可知，，故点在以原点为圆心，2为半径的圆上， 即， 联立与得， 故点，显然的中点在上， 即，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知，，是圆上的三点，. （1）判断四点是否共圆，并说明理由； （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1）四点共圆，理由见解析 （2）或. 【解析】 【分析】（1）先根据三点解得圆的方程为，代入可判断； （2）直线斜率不存在时，与圆的方程联立可得，直线斜率存在时，根据垂径定理可得. 【小问1详解】 四点共圆. 法一：依题意，，，则，故， 所以是圆的直径.于是圆心，即； 半径为，故圆P的方程为. 代入，则有， 因此点在圆上，即四点共圆. 法二：设圆的方程为.则， 解得，，.所以，圆的方程为， 代入圆的方程，. 故点在圆P上，即四点共圆. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，对于，令，得或. 此时弦长，符合题意，故直线的直线方程为. 当直线的斜率存在时，设，即. 于是圆心到直线的距离为. 设弦长为，则，即， 解得.故直线的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 15. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，，平面，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）60°. 【解析】 【分析】（1）先分别在梯形和三角形中通过边长计算判断直线垂直，然后根据直线与平面垂直判定定理得出最终结论.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和平面法向量坐标，借助向量夹角余弦值公式计算即可. 【小问1详解】 四边形是边长为2的菱形，，则为等边三角形，,. 由于平面，平面，则,， 根据勾股定理求得，同理. 在梯形中，， 所以，则， 在中，，，， 所以，则， 因为，平面，所以平面. 【小问2详解】 以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示， ，，，， ，,， 设平面的一个法向量为， 所以，得，从而可得， 同理设平面的一个法向量为， ，得 可得平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值为，其大小为60°. 16. 甲同学参加立定投篮训练活动.规则如下：每投中一球得1分，投不进得分.已知甲每次的投篮命中率为，前6次投篮全部命中，各次投篮结果相互独立. （1）求甲投完第8次球后得分依旧为6分的概率. （2）若甲最多有10次投篮机会，得分不少于7分则为优秀.为了使获得优秀的概率最大，甲选择的投篮次数应该是多少次？ 【答案】（1） （2）投篮7次或9次. 【解析】 【分析】（1）运用相互独立事件的概率乘法公式，结合对立事件的概率加法公式计算即可. （2）运用相互独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件的概率加法公式计算即可. 【小问1详解】 依题意，记“接下来第i次投中”，，2，3，4 “甲投完第8次球后甲得分为6分” 则，且与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得 . 【小问2详解】 记“甲再投一次优秀”，则，故， 记“甲再投两次优秀”，则，故 记“甲再投三次优秀”，则， 则 记“甲再投四次优秀”，则， 故， 因此应该选择投篮7次或9次. 17. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，直线，其中，直线l与C有且只有一个公共点P，直线PF交C于另一个点Q. （1）当时，求的值； （2）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）通过联立方程组得到一个关于的方程，利用判别式求出与的关系，进而确定、的值，得到相关点的坐标，再根据点的位置关系求出弦长. （2）法一：通过联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到相关量的关系，再结合已知条件推导三角形面积的表达式，由函数单调性可求面积范围；法二：联立直线与抛物线方程，求出点坐标，设直线，与抛物线方程联立，求出点坐标，即得三角形面积公式，由函数单调性可求面积范围. 【小问1详解】 由，得，由，得， 所以，此时点P坐标为， 注意到点F坐标为，有轴，由抛物线对称性，点Q坐标为，故弦长； 【小问2详解】 方法一：直线PF过点，且斜率不为0，不妨设直线PF方程为， 联立，消去得：， 设，，由，知且，且， 则的面积为， 由（1）中，得，所以，可求得点P坐标为， 点在直线PF上，可得，即， 而 所以， 由，且，知，则， 当时，，根据对勾函数单调递增，其值域为， 所以，则， 所以，故面积的取值范围是. 法二：联立，可得，依题意可得，则. 且，得，故，即点. 设直线，联立，得，则， 结合，得，于是，即点. 从而， 因为，且，故，根据对勾函数单调性，可得. 因此面积的取值范围是. 【点睛】难点点睛：本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线位置关系中的范围问题，综合性较强，解答时要注意设直线方程，联立方程组，利用根与系数的关系式化简，难点在于计算过程较为复杂，计算量大，要十分细心. 18. 已知长为3的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且. （1）求动点P的轨迹方程； （2）记，动点P的轨迹为曲线C，过点的直线交曲线C于M、N两点，分别过点M、F作y轴和x轴的垂线交于点Q，求证直线恒过定点，并求该定点坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析，定点. 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件中两点间距离公式得出一个等式，再依据向量关系列出方程组并求解得到关于、与、的关系，最后将其代入前面的等式从而得到动点的轨迹方程.（2）通过联立直线与曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得出与的表达式.根据已知条件求出直线的方程，通过令，结合韦达定理对表达式进行化简，从而确定直线所过的定点. 【小问1详解】 设，，，由，得， 由，，，则，得， 所以，即，故动点P的轨迹方程为. 【小问2详解】 设直线，且，.联立， 得，则，得. 且，. 由题可得，于是，故直线QN的方程为. 由对称性可得，若QN恒过定点，则可猜想定点在x轴上. 令，则. 由，，得，即， 于是. 故直线QN恒过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $