专题8.2 向量的数量积 （2大知识点+9大题型+强化训练）- 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义（沪教版)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题8.2 向量的数量积 知识点、投影向量与数量投影 1、向量的夹角：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角；记作〈，〉； 【说明】（1）当θ＝〈，〉=0时，与同向；当θ＝π时，与反向； （2）垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作⊥； 2、向量在向量的方向上的投影向量： 设，是两个非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量， ＝，＝，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线， 垂足分别为A1，B1，得到， 我们称上述变换为向量在向量方向上的投影向量，叫做向量在向量上的投影向量； 记为| 【说明】（1）向量在向量上的投影向量是与向量平行的向量； （2）如果向量与向量平行或垂直，向量在向量上的投影向量具有特殊性； （3）由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果； （3）、向量在向量的方向上的数量投影； 其中就是向量在向量的方向上的数量投影； 知识点二、向量的数量积及运算律 1、向量的数量积定义 已知两个非零向量和，它们的夹角是θ，我们把数量||||cos θ叫做向量和的数量积(或内积)， 记作·，即·＝||·||cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的数量积的运算律 向量数量积的运算律：已知向量，，和实数λ； （1）·＝·； （2）(λ)·＝·(λ)＝λ(·)＝λ·； （3）( ＋)·＝·＋·; 3、数量积的性质： 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 （1）·＝||2或||＝； （2）|·|≤||||； （3）⊥⇒·＝0； （4）·＝·＝||cos θ. （5）当∥时，·b＝特别地，·＝||2或||＝； （6）|·|≤|||b|； （7）cos θ＝； 【说明】（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． （2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. （3）·＝0不能推出和中至少有一个零向量． （4）||＝是求向量的长度的工具． （5）区分0·＝0与0·＝. （6）·>0是与的夹角为锐角的必要不充分条件；·<0是与的夹角为钝角的必要不充分条件． 4、向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.以上结论可作为公式使用. （6）若两非零向量，的夹角为锐角⇔·＞0且·≠||||； 两非零向量，的夹角为钝角⇔·＜0且·≠－|||. 提醒：求两向量的夹角时，要注意θ∈[0，π]； 题型01：向量的夹角 【名师点拨】两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出； 特别地，与的夹角为θ，λ1与λ2 (λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0， 当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 【例1】试指出图中向量的夹角， 图①中向量与的夹角________； 图②中向量与的夹角________； 图③中向量与的夹角________； 图④中向量与的夹角________． 【答案】θ；0°；180°；θ； 【说明】两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角； 【跟踪训练】 1.若向量与的夹角为60°，则向量与的夹角是（ ） A．60° B．120° C．30° D．150° 【提示】注意：向量的夹角的定义； 【答案】A； 【解析】向量与的夹角与与的夹角相等，夹角为60°； 2.若△ABC为等边三角形，则与的夹角为________，与的夹角为________． 【提示】注意：数形结合理解向量的夹角； 【答案】60°；120°； 3.已知非零向量，，，满足，向量，的夹角为120°，且，则向量与的夹角为________． 【提示】注意：数形结合分析； 【答案】90°； 【解析】由题意可画出图形，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，， 所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量与的夹角为90°. 【说明】本题考查了向量的线性运算及其几何意义；体现了向量几何表示的直观与简捷； 题型02：向量的投影与数量投影 【名师点拨】将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 【例2】已知向量与的夹角为，且，，求在方向上的投影与数量投影. 【答案】向量在方向上的投影是，相应的数量投影是 【例3】已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为 ． 【答案】 【详解】在上的投影向量为，则， 因，则，则， 因，则， 则平面向量和的夹角为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知||＝2，||＝4，向量与向量的夹角为120°，则向量在向量方向上的数量投影等于(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．－1 【提示】注意：题设“向量在向量方向上” 【答案】D； 【解析】向量在向量方向上的数量投影为||cos 120°＝2×(－)＝－1；故选D； 2.已知向量|，为单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【提示】注意；题设中“在方向上的投影向量”； 【答案】B； 【解析】由向量，为单位向量，当它们的夹角为， 在方向上的投影向量为，故选B； 3. 已知向量与的夹角为，且，则在的方向上的数量投影是 【答案】 4. 在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是边长为的等边三角形，为中点， 所以， 则点在以为圆心，为半径的圆上， 则，，， 则， 则向量在向量方向上的投影向量为.    故选：B 题型03：向量数量积的计算 【名师点拨】向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 【例4】已知，，与的夹角是，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得. 故选：B. 【例5】在中，，是的中点，，.求下列各式的值.. （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【例6】已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 【例7】下列各命题中，不正确的命题的个数为（    ） ①   ②   ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、向量数乘的有关计算、相等向量 【分析】利用平面向量数量积的运算性质及运算律可判断①③，利用数乘向量的结合律可判断②，利用数量积的意义及相等向量判断④作答. 【详解】由向量数量积的运算性质知，①正确；由数乘向量的结合律知，②正确； 因，③正确； 都表示两个非负实数，表示与共线的向量，表示与共线的向量，即与不一定相等，④不正确. 故选：D 【跟踪训练】 1.已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 2.已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义求解即可 【详解】根据题意，. 故选：C 3.在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案. 【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误； 0乘以任何向量都为零向量，故②正确； 向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误； 不一定有，如满足条件，结论不成立，故④错误； 故选：A 4.一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（   ） A．12 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的定义运算即可求解. 【详解】由题可知，，，， 所以. 故选：B. 题型04：求向量的夹角（夹角的余弦值） 【名师点拨】（1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值；（2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 【例8】若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算 【分析】利用数量积公式求出，然后由数量积定义可得夹角； 【详解】因为， ， ， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B. 【例9】 设，是两个非零向量，则“”是“向量与夹角为钝角”的____________条件 【答案】必要非充分 【例10】已知平面向量，且．求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因， 则， 可得； （2）因， ， 设向量与的夹角为， 则. 【跟踪训练】 1. 若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】由数量积的定义和运算律进行运算即可. 【详解】∵，∴， 设与的夹角为，且，∴， 由已知，， ∴， ∵，∴. 故选：C. 2. 若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】对进行平方求出的值，再利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】由可得，，即， 因为，，均为单位向量，所以， 所以，即. 设与的夹角为， 则，所以. 故答案为： 3. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得. 【详解】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 4. 已知单位向量，的夹角为，则 . 【答案】0 【详解】由， 则. 故答案为：0. 题型05：向量表示垂直关系 【名师点拨】涉及已知两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律. 【例11】设、是互相垂直的单位向量，向量，.求. 【答案】 【例12】已知向量 满足： ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则， 即，解得， 所以， 又，所以. 故选：B 【例13】已知，，． (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，则． （2）若与垂直，则， 从而，又因为，， 所以，解得． 【跟踪训练】 1. 已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角 【答案】设、的夹角为，则cos = ∴ = 60 2. 已知与垂直，则_____. 【答案】 3.设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标运算，得出，从而可得出，再利用向量数量积公式即可求出结果. 【详解】因为，，又，所以，得到， 所以，得到， 所以， 故选：B. 题型06：求向量的模 【名师点拨】求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 【例14】已知向量与夹角为，且，求. 【答案】 【例15】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的模长与数量积运算即可求解. 【详解】因为，所以， 展开得，又，所以. 因为，则，所以， 解得（负值舍去）. 故选： 【例16】已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【分析】先根据题意求，再求. 【详解】由，，得，. 由， 所以， 所以. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知，，则（　　） A．1 B． C．2 D．或2 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据数量积的运算律即可求解模长. 【详解】因为，所以， 故选：C. 2.已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 【答案】B 【分析】先根据已知条件，得到与的关系，再利用向量夹角公式建立关于的方程，最后求解即可. 【详解】由可得，则， 因为，故有，即， 又因为，两边同时平方得， 将与代入上式， 得，整理得， 解得或， 故选：B. 3.已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】 【详解】（1）由已知， ， ，， 又，所以； （2）， 解得或． 题型07：已知向量模或夹角求参数 【例17】已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 【跟踪训练】 1.已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【详解】（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 2.已知向量和的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算可求得的值； （2）利用平面向量的数量积可得出关于实数的二次不等式，解之即可. 【详解】（1）解：. （2）解：，则，即， 整理可得，解得或. 因此，实数的取值范围是. 题型08：利用向量数量积求向量投影 【例18】已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先求出向量，夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可. 【解析】因为，所以， 又，，所以，得到， 所以， 设与的夹角为，则， 所以在上的投影向量为：， 故选：D. 2.已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可. 【解析】由于向量，满足，，， 所以，解得， 则在方向上的投影向量为. 故选：B. 3.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解. 【详解】， 在上的投影向量为， 故选：C 4.设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（  ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解. 【解析】因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以， 因为与垂直， 所以， 即，解得. 故选：B. 题型09：利用向量数量积判断平面图形形状 【名师点拨】利用向量数量积定义及运算律进行判别平面图形形状常见结论： （1）即可得为等腰三角形； （2）平面四边形满足，，即可得平行四边形为菱形； 【例19】已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【解析】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 【跟踪训练】 1．在中，若，则是 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可. 【详解】因为，所以， 则， 故， ， 所以是直角三角形 故选：A. 7． 下列命题正确的是__________ (1)在中，若，则 (2)已知向量满足条件，则等边三角形 (3)在中，若，则为直角三角形 (4)在中，若，则为等腰三角形 【答案】(2)(3)(4) 【解析】对于(1)，，故(1)错误； 对于(2)，设 由得，， 所以，即， 所以， 又，所以， 同理可得，， 所以为等边三角形，故(2)正确； 对于(3)，由，得， 展开整理得，即，故(3)正确； 对于(4)，设，则射线是的平分线， 又，所以， 所以为等腰三角形，故(4)正确； 故选：(2)(3)(4)． 一、选择题 1.已知▱ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【提示】理解向量的夹角； 【答案】D； 【解析】如图，与的夹角为∠ABC＝150°. 2.下列各命题中，不正确的命题的个数为（    ） ①   ②   ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、向量数乘的有关计算、相等向量 【分析】利用平面向量数量积的运算性质及运算律可判断①③，利用数乘向量的结合律可判断②，利用数量积的意义及相等向量判断④作答. 【详解】由向量数量积的运算性质知，①正确；由数乘向量的结合律知，②正确； 因，③正确； 都表示两个非负实数，表示与共线的向量，表示与共线的向量，即与不一定相等，④不正确. 故选：D 3.设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】已知模求数量积、探求命题为真的充要条件 【分析】将化简，求出，结合充分、必要条件判断即可. 【详解】由， 又，均为单位向量，所以， 所以， 所以“”是“⊥”的充分必要条件. 故选：C 4.已知向量，满足同向共线，且，，则（    ） A．3 B．15 C．或15 D．3或15 【答案】D 【详解】因为向量，满足同向共线，所以设， 又因为，，所以， 所以或，即或. ①当时，； ②当时，； 所以的值为3或15. 故选：D. 5.已知，是单位向量，且在上的投影向量是，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在上的投影向量为， ，故，， ，， . 故选:D. 二、填空题 6.若向量，满足，为单位向量，且与夹角为θ＝，则在上的投影向量为 【提示】注意：求“在上的投影向量” 【答案】； 【解析】由，即在上的投影向量为； 7.设为单位向量，且，则 ． 【答案】1 【分析】根据向量数量积的性质列方程求解即可. 【详解】因为为单位向量，所以. 由可得， 解得. 故答案为：1. 8． 下面给出的关系式中，正确的个数是___________ ①；②；③；④. 【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③. 【解析】，，， 表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等， 故①②③正确， 9.向量满足，向量与的夹角为，则__________ 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 10.在等边中，是边上的点.若，则 . 【答案】14 【分析】应用平面向量数量积定义及数量积运算律计算求解. 【详解】在等边中，， 则. 故答案为：. 11.已知，，且与的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】由向量数量积定义计算即可求解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 故答案为： 12.已知则 ． 【答案】10 【分析】利用平面向量的数量积运算求解. 【详解】因为，所以， 所以，故， ， 故答案为：10. 13.已知平面向量满足，且，则 . 【答案】 【分析】结合题意与平面向量数量积的定义得到，再结合求出夹角即可. 【详解】因为，所以， 可得，即， 得到， 解得，而，故. 故答案为： 14.若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为 . 【答案】 【分析】根据数量积的运算律可得，即可由夹角公式求解. 【详解】因为，所以，解得， ， 由于，得到. 故答案为： 15.设为单位向量.若向量满足：， 则 在方向上的投影为 【答案】 【分析】由投影公式，代入已知条件即可求解 【详解】向量在方向上的投影为： 故答案为：-1 16.已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为 . 【答案】 【分析】由题意可得在上的数量投影为，计算即可. 【详解】因为在上的数量投影为，且， 所以， 故答案为： 17．已知向量满足，且，则________ 【详解】因为， 所以， 两式相减得，即. 又，所以，所以，从而. 18．若向量满足，且，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 19.已知，，且在上的数量投影为，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量投影的概念可得的值，再根据数量积与模长的关系求解即可. 【详解】因为，， 又在上的数量投影为，则， 所以. 故答案为：. 3、 解答题 20.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，求： （1）在上的投影向量； （2）在上的投影向量； 【提示】注意：数形结合理解投影向量； 【答案】（1）－2；（2）－2； 【解析】如图，连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形． 又D是BC边的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝2. 延长AB到E，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°. （1）设与向量方向相同的单位向量为， 则在上的投影向量是||cos 135°＝4×＝－2；. （2）设与向量方向相同的单位向量为， 则在上的投影向量是||cos 135°＝2×＝－2；. 21.已知，为单位向量，它们的夹角为， 求：（1）向量在向量上的投影向量；（2）向量在向量上的投影向量； 【提示】注意：投影向量的相对性；向量在向量上的投影向量：与向量共线，即向量在向量上投影的数量乘以向量方向上的单位向量；同理，向量在向量上的投影向量亦如此；由向量的数量积的几何意义知：向量在向量上投影的数量为，向量在向量上投影的数量为，由此向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量 【答案】（1） ；（2）； 【解析】由已知，为单位向量，它们的夹角为；结合教材结论得： 即向量在向量上的投影数量：； 向量在向量上的投影数量： 所以，向量在向量上的投影向量：；向量在向量上的投影向量： 故答案为：； 22.已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意向量，，向量与的夹角为， ， 与垂直，即向量与的夹角为. （2）由（1）可知，而， 则 ， 当时，取得最小值45， 即的最小值为. 23.已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 24.已知向量、满足：，，且． （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由展开，可解出，根据向量夹角公式，即可求出夹角的大小； （2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出的值． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴． （2）∵ ∴，即 ∴． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题8.2 向量的数量积 知识点、投影向量与数量投影 1、向量的夹角：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角；记作〈，〉； 【说明】（1）当θ＝〈，〉=0时，与同向；当θ＝π时，与反向； （2）垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作⊥； 2、向量在向量的方向上的投影向量： 设，是两个非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量， ＝，＝，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线， 垂足分别为A1，B1，得到， 我们称上述变换为向量在向量方向上的投影向量，叫做向量在向量上的投影向量； 记为| 【说明】（1）向量在向量上的投影向量是与向量平行的向量； （2）如果向量与向量平行或垂直，向量在向量上的投影向量具有特殊性； （3）由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果； （3）、向量在向量的方向上的数量投影； 其中就是向量在向量的方向上的数量投影； 知识点二、向量的数量积及运算律 1、向量的数量积定义 已知两个非零向量和，它们的夹角是θ，我们把数量||||cos θ叫做向量和的数量积(或内积)， 记作·，即·＝||·||cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的数量积的运算律 向量数量积的运算律：已知向量，，和实数λ； （1）·＝·； （2）(λ)·＝·(λ)＝λ(·)＝λ·； （3）( ＋)·＝·＋·; 3、数量积的性质： 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 （1）·＝||2或||＝； （2）|·|≤||||； （3）⊥⇒·＝0； （4）·＝·＝||cos θ. （5）当∥时，·b＝特别地，·＝||2或||＝； （6）|·|≤|||b|； （7）cos θ＝； 【说明】（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． （2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. （3）·＝0不能推出和中至少有一个零向量． （4）||＝是求向量的长度的工具． （5）区分0·＝0与0·＝. （6）·>0是与的夹角为锐角的必要不充分条件；·<0是与的夹角为钝角的必要不充分条件． 4、向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.以上结论可作为公式使用. （6）若两非零向量，的夹角为锐角⇔·＞0且·≠||||； 两非零向量，的夹角为钝角⇔·＜0且·≠－|||. 提醒：求两向量的夹角时，要注意θ∈[0，π]； 题型01：向量的夹角 【名师点拨】两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出； 特别地，与的夹角为θ，λ1与λ2 (λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0， 当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 【例1】试指出图中向量的夹角， 图①中向量与的夹角________； 图②中向量与的夹角________； 图③中向量与的夹角________； 图④中向量与的夹角________． 【跟踪训练】 1.若向量与的夹角为60°，则向量与的夹角是（ ） A．60° B．120° C．30° D．150° 2.若△ABC为等边三角形，则与的夹角为________，与的夹角为________． 3.已知非零向量，，，满足，向量，的夹角为120°，且，则向量与的夹角为________． 题型02：向量的投影与数量投影 【名师点拨】将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 【例2】已知向量与的夹角为，且，，求在方向上的投影与数量投影. 【例3】已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为 ． 【跟踪训练】 1.已知||＝2，||＝4，向量与向量的夹角为120°，则向量在向量方向上的数量投影等于(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．－1 2.已知向量|，为单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 3. 已知向量与的夹角为，且，则在的方向上的数量投影是 4. 在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 题型03：向量数量积的计算 【名师点拨】向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 【例4】已知，，与的夹角是，则等于（　　） A． B． C． D． 【例5】在中，，是的中点，，.求下列各式的值.. （1）；（2）；（3）；（4）. 【例6】已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 【例7】下列各命题中，不正确的命题的个数为（    ） ①   ②   ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪训练】 1.已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 2.已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 3.在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（   ） A．12 B．16 C． D． 题型04：求向量的夹角（夹角的余弦值） 【名师点拨】（1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值；（2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 【例8】若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例9】 设，是两个非零向量，则“”是“向量与夹角为钝角”的____________条件 【例10】已知平面向量，且．求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值． 【跟踪训练】 1. 若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2. 若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 3. 已知，则（    ） A． B． C． D． 4. 已知单位向量，的夹角为，则 . 题型05：向量表示垂直关系 【名师点拨】涉及已知两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律. 【例11】设、是互相垂直的单位向量，向量，.求. 【例12】已知向量 满足： ，则 （    ） A． B． C． D． 【例13】已知，，． (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【跟踪训练】 1. 已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角 2. 已知与垂直，则_____. 3.设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型06：求向量的模 【名师点拨】求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 【例14】已知向量与夹角为，且，求. 【例15】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【例16】已知向量，满足，，且，则 . 【跟踪训练】 1.已知，，则（　　） A．1 B． C．2 D．或2 2.已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 3.已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 题型07：已知向量模或夹角求参数 【例17】已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 2.已知向量和的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 题型08：利用向量数量积求向量投影 【例18】已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2.已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 3.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4.设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（  ） A．2 B． C． D． 题型09：利用向量数量积判断平面图形形状 【名师点拨】利用向量数量积定义及运算律进行判别平面图形形状常见结论： （1）即可得为等腰三角形； （2）平面四边形满足，，即可得平行四边形为菱形； 【例19】已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【跟踪训练】 1．在中，若，则是 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 7． 下列命题正确的是__________ (1)在中，若，则 (2)已知向量满足条件，则等边三角形 (3)在中，若，则为直角三角形 (4)在中，若，则为等腰三角形 一、选择题 1.已知▱ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2.下列各命题中，不正确的命题的个数为（    ） ①   ②   ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 3.设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知向量，满足同向共线，且，，则（    ） A．3 B．15 C．或15 D．3或15 5.已知，是单位向量，且在上的投影向量是，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6.若向量，满足，为单位向量，且与夹角为θ＝，则在上的投影向量为 7.设为单位向量，且，则 ． 8． 下面给出的关系式中，正确的个数是___________ ①；②；③；④. 9.向量满足，向量与的夹角为，则__________ 10.在等边中，是边上的点.若，则 . 11.已知，，且与的夹角为，则 ． 12.已知则 ． 13.已知平面向量满足，且，则 . 14.若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为 . 15.设为单位向量.若向量满足：， 则 在方向上的投影为 16.已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为 . 17．已知向量满足，且，则________ 18．若向量满足，且，则的值为 . 19.已知，，且在上的数量投影为，则 ． 3、 解答题 20.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，求： （1）在上的投影向量； （2）在上的投影向量； 21.已知，为单位向量，它们的夹角为， 求：（1）向量在向量上的投影向量；（2）向量在向量上的投影向量； 22.已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 23.已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 24.已知向量、满足：，，且． （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $