专题7.4 正切函数的图像与性质（2大知识点+8大题型+强化训练）寒假班预修提升讲义-2025-2026学年高一数学沪教版

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题7.4 正切函数的图像与性质 1.正切函数图像 （1）函数图像 （2） 正切函数的图象称作 正切曲线 ，正切曲线各支的渐近线方程为 。 【注意】③ 正切函数不是轴对称图形，没有对称轴。 2.正切函数性质 函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间 上都是增函数 对称性 对称中心为 零点 题型01：正切函数的图象 【例1】画出函数在上的简图． 【跟踪训练】 1．画出函数，的简图． 2．下列图形分别是①y＝|tanx|，②y＝tanx，③y＝tan(－x)，④y＝tan|x|在内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)    A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ 题型02：正切函数图像的应用（求定义域与解不等式） 【例2】函数的定义域为（  ） A．， B．， C．， D．， 【例3】已知，且，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2.函数的定义域是（  ） A． B． C． D．且 3.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4.不等式，的解集为 . 5.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型03：正切函数的周期性 【例4】函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 【例5】下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（  ） A． B． C． D． 【例6】若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【跟踪训练】 1.函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 2．已知函数，且经过点，则函数的最小正周期是（  ） A． B． C． D． 3．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若的周期为，则 . 5．函数经过点，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 . 6.若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 题型04：正切函数的单调性 【例7】函数的单调区间是（  ） A． B． C． D． 【例8】已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【例9】比较大小： (1)与； (2)与． 【跟踪训练】 1.函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则它们的大小关系为 （用“”连接） 5.比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 6.下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05：正切函数的奇偶性 【例10】判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例11】若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 2．已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 3．已知函数，若，则（  ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 题型06：正切函数的对称性 【例12】函数图象的对称中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例13】已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．下列是函数的对称中心的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的对称中心为 ． 3.设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 题型07：正切函数的值域及最值 【例14】函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【例15】函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【例16】函数，的值域为 ． 【例17】函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为=___________- 【跟踪训练】 1．函数的值域是 . 2．求下列函数的值域： （1）；（2）． 3．若函数的最小值为-6，则实数a的值为 . 4.函数的值域是 题型08：正切函数图像与性质的综合应用 【例18】已知函数，则下列正确的是__________ (1)的最小正周期为 (2)的图象关于点对称 (3)将的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为 (4) 【例19】已知函数的最小正周期为，且． (1)求函数的解析式； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． 【例20】已知函数，其中，． (1)若，求函数的单调区间以及函数图象的对称中心； (2)将函数图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移个单位得到的图象，且满足方程在上恰有20个根，求正实数的取值范围． 【跟踪训练】 1．已知函数，则下列结论中正确的有（  ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 2．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． （1）求f(x)的解析式； （2）求f(x)的单调区间； （3）求不等式－1≤f(x)≤的解集． 一、选择题 1．（24-25上海大同中学高一期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25上海宝山中学高一期中）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25上海格致中学高一期中）函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（    ） A． B．的图象过点 C．函数的图象关于直线对称 D．若函数在区间上单调递增 4.（24-25上海西南模范中学高一期中）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 6.（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 7.（24-25高一下·上海浦东新·期末）下列3个函数：①；②；③；其中最小正周期为的偶函数的编号为 . 8．（24-25高一下·上海·期中）函数的定义域为 ． 9．（2025上海高一阶段练习）函数的定义域为 ． 10．（2025上海高一阶段练习）函数的对称中心为 ； 11.（高一下·上海杨浦·期中）函数的对称轴是 . 12．（24-25高一下·上海奉贤·期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是 ． 13.（24-25高一下·上海宝山·期末）函数（常数）在开区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 14.（24-25高一下·上海长宁·期末）函数，的值域为 . 15．当时，确定方程的根的个数为_________-个. 3、 解答题 16.（2024高一·上海·专题练习）判断下列函数的奇偶性 （1）（2） 17．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）已知函数（）的最小正周期为． (1)求的单调递增区间； (2)若，，求． 18．（24-25高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 19．已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 20．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题7.4 正切函数的图像与性质 1.正切函数图像 （1）函数图像 （2） 正切函数的图象称作 正切曲线 ，正切曲线各支的渐近线方程为 。 【注意】③ 正切函数不是轴对称图形，没有对称轴。 2.正切函数性质 函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间 上都是增函数 对称性 对称中心为 零点 题型01：正切函数的图象 【例1】画出函数在上的简图． 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    【跟踪训练】 1．画出函数，的简图． 【答案】答案见解析． 【难度】0.85 【知识点】画出正切函数图象 【分析】用列表描点法画图． 【详解】列表： 0 1 0 －1 描点连线： 2．下列图形分别是①y＝|tanx|，②y＝tanx，③y＝tan(－x)，④y＝tan|x|在内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)    A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ 【答案】D 【详解】由函数图象的特征得a为函数的图象，b为函数的图象，c为函数，d为函数的图象．选D． 题型02：正切函数图像的应用（求定义域与解不等式） 【例2】函数的定义域为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】令可求得的范围，根据正切函数值域可求得定义域. 【解析】令，解得：，， 定义域为，. 故选：C. 【例3】已知，且，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将转化为或，利用数形结合法求解. 【详解】解：等价于或， 如图所示： 由正切函数图象知， 故选：B． 【跟踪训练】 1.函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合正切函数的定义域，代入求解即可得答案. 【详解】由题意得， 则，解得. 故选：C 2.函数的定义域是（  ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由题可得，即得. 【解析】由题可得，解得， ∴函数的定义域为. 故选：A. 3.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，即可得出函数的定义域. 【详解】对于函数，有，即，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：B. 4.不等式，的解集为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的单调性解不等式即得. 【详解】依题意，得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 题型03：正切函数的周期性 【例4】函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据正切型函数的周期性求解最小正周期即可. 【详解】函数的最小正周期是. 故选：C. 【例5】下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解. 【解析】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误； 对于B，若，首先定义域为关于原点对称， 且，所以是偶函数， 又，所以是周期函数，故B正确； 对于C，画出函数的图象如图所示： 由此可知函数不是周期函数，故C错误； 对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误. 故选：B. 【例6】若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出． 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以． 故选：C． 【跟踪训练】 1.函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切型函数的周期性求解最小正周期即可. 【详解】函数的最小正周期是. 故选：C. 2．已知函数，且经过点，则函数的最小正周期是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，，解得，又，则有，，所以，进一步可得最小正周期. 【解析】由题意，，所以，即，又， 所以，即，故，所以，其最小正周期为. 故选：C 3．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】算出的最小正周期，再根据加绝对值后，函数之间的最小正周期关系得到的最小正周期． 【详解】对于，，因此它的最小正周期为， 加上绝对值后，图像会将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图所示，    由图可知，加上绝对值后，周期不变，所以的最小正周期与一致，均为． 故选：D． 4．已知函数，若的周期为，则 . 【答案】 【分析】利用周期求出可得的解析式，再求即可. 【详解】因为周期为，所以，， 则. 故答案为：. 5．函数经过点，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 . 【答案】0 【分析】根据阴影部分的面积得到方程，，代入特殊点函数值得到，得到的解析式，进而求得. 【详解】由图可知， 则， 依题意，， 由于， 所以， 所以. 则. 故答案为：0 6.若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】由函数是周期为3的周期函数，计算的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数是周期为3的周期函数， 且，， ， 所以． 故选：B. 题型04：正切函数的单调性 【例7】函数的单调区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单调区间满足，解得答案. 【解析】函数的单调区间满足：， 解得. 故选：D 【例8】已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增， 由，，得，， 所以的单调递增区间为，， 依题意得，， 所以，， 所以，， 由得，由得， 所以且， 所以或， 当时，，又，所以， 当时，. 综上所述：. 故选：C. 【例9】比较大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据诱导公式把两个角转化为一个单调区间的两个角，利用正切函数的单调性进行判断即可； （2）根据诱导公式把两个角转化为一个单调区间的两个角，利用正切函数的单调性进行判断即可. 【详解】（1）因为，， 又，在上单调递增， 所以， 即． （2）因为，， 又，在上单调递增， 所以， 所以， 即． 【跟踪训练】 1.函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】利用正切函数的单调性求解即可 【详解】令 ，得 ， 故 的单调递增区间为 ， 令,则函数 的一个单调递增区间是. 故选：B 2.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 3.已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 4．已知，，，则它们的大小关系为 （用“”连接） 【答案】 【解析】因为，所以，，， 由正切函数性质得在上单调递增， 所以，故，即. 故答案为： 5.比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式得，然后由正切函数的单调性可得. 【详解】， 因为函数在上单调递增，且， 所以，即. 故选：D 6.下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项由诱导公式化简，由在一象限，得出判断；B选项由诱导公式化简，由余弦函数在的单调性得出判断；C选项由正切函数在的单调性得出判断；D选项由正余弦函数在的单调性分别判断，与，的大小，然后得出判断. 【详解】A选项：∵，且，∴，∴，A选项错误； B选项：，又∵，∴，B选项正确； C选项：∵，∴，C选项错误； D选项：∵，∴，，且， ∴，D选项错误. 故选：B. 题型05：正切函数的奇偶性 【例10】判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 (3)奇函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【分析】根据函数奇偶性以及正切函数的知识求得正确答案. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 设，由解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数. （2）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. （3）是奇函数，理由如下： 设，则定义域是， ， 所以是奇函数. （4）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. 【例11】若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案. 【详解】若0在定义域内，由时，得，； 若0不在定义域内，由时，无意义，得． 综上，． 故选：C． 【跟踪训练】 1.函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】先判断的定义域是否对称，再利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】的定义域为，定义域对称， 因为， 所以是偶函数. 故选：B. 2．已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 【答案】C 【分析】先求函数的最小正周期，再判断函数的奇偶性得解. 【解析】解：的最小正周期为, 令， 所以函数的定义域关于原点对称. 又， 所以函数是奇函数. 故选：C 3．已知函数，若，则（  ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】将代入可推导出，再将代入，利用整体代换思想即可得最后结果. 【解析】∵，， ∴， ∴， ∴， 故选C. 题型06：正切函数的对称性 【例12】函数图象的对称中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数性质计算即可得. 【详解】令，解得， 故函数图象的对称中心的坐标为. 故选：A. 【例13】已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由周期公式和正切函数的取值得到函数表达式，再利用换元法求出正切函数的对称中心； 【详解】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则， 又，则，故． 令，解得． 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心． 故选：B. 【跟踪训练】 1．下列是函数的对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的对称中心进行求解即可. 【详解】令，解得， 故函数的对称中心为，故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确， ，C不满足要求． 故选：D 2．已知函数，则的对称中心为 ． 【答案】 【分析】由正切函数对称中心公式列式计算即可. 【详解】令，则， 故的对称中心为，. 故答案为：，. 3.设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的图象与性质计算即可. 【详解】由题意可知：（）， ∴，则， 显然当时， 是的一个最小正周期． 不存在，使得，或. 故选：B 题型07：正切函数的值域及最值 【例14】函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的单调性可得在处取得最小值. 【详解】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增， 所以其最小值为. 故选：D 【例15】函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】 故选：C. 【例16】函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， ， 则当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【例17】函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为=___________- 【答案】 【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可. 【解析】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故答案为： 【跟踪训练】 1．函数的值域是 . 【答案】 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 2．求下列函数的值域： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由定义域可得，令则，所以，再根据幂函数的性质计算可得； （2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得； 【详解】解：（1）因为，所以 令则 所以 因为，所以，，， ，即 （2）因为 所以 令， 所以 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 所以 即函数的值域为 【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题. 3．若函数的最小值为-6，则实数a的值为 . 【答案】-7或7 【解析】设，则原函数化为，分别讨论，，时函数的最小值即可求出a. 【详解】设.因为，所以， 则原函数化为， 对称轴方程为直线. ①若，即，则 当时，， 所以，不符合题意，舍去； ②若，即， 则二次函数在上单调递增， 当时，，所以； ③若，即， 则二次函数在上单调递减， 当时，，所以. 综上所述，实数a的值为-7或7. 故答案为：-7，7 【点睛】本题考查了正切函数的值域和二次函数的最值，考查了换元法和分类讨论法，属于中档题. 4.函数的值域是 【答案】 【分析】求出的范围，利用二次函数的性质得出值域. 【详解】， 故答案为： 题型08：正切函数图像与性质的综合应用 【例18】已知函数，则下列正确的是__________ (1)的最小正周期为 (2)的图象关于点对称 (3)将的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为 (4) 【答案】(2)(4) 【分析】利用正切函数的图象的性质逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】由，可得函数的最小正周期为，故(1)错误； 由，可得， 所以的图象关于点对称， 当时，可得对称中心为，故(2)正确； 将的图象向左平移个单位得到的图象，故(3)错误； ， 又在上单调递增，， 所以，即，故(4)正确. 故选：(2)(4) 【例19】已知函数的最小正周期为，且． (1)求函数的解析式； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正切型函数的周期和定点求，即可得函数解析式； （2）根据三角函数图像变换可得，结合，分析可得，运算求解即可. 【详解】（1）因为，且，解得， 又因为，则， 解得， 且，可得， 所以. （2）由题意可知：， 因为， 由，即， 可知，解得， 且，所以的最小值为． 【例20】已知函数，其中，． (1)若，求函数的单调区间以及函数图象的对称中心； (2)将函数图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移个单位得到的图象，且满足方程在上恰有20个根，求正实数的取值范围． 【答案】(1)的单调增区间是，无单调递减区间；对称中心为， (2) 【分析】（1）由正切函数的单调区间和对称中心可得结果； （2）换元转化为在上恰有20个根，根据正切函数的图象列式可得结果. 【详解】（1）由于，，，∴， 由，解得， 所以的单调增区间是．无单调递减区间， 令，求得，，故的图象的对称中心为，． （2）由题意可知，当时， 即在上恰有20个根，所以，解得． 综上，的取值范围是 【跟踪训练】 1．已知函数，则下列结论中正确的有（  ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 【答案】D 【解析】， 作出的图象，如图，观察图象， 对于A， 的最小正周期为，故A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，的图象没有对称中心，C错误； 对于D，不等式， 即时，得， 解得， 所以的解集为，故D正确. 故选：D. 2．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． （1）求f(x)的解析式； （2）求f(x)的单调区间； （3）求不等式－1≤f(x)≤的解集． 【答案】（1）f(x)＝tan；（2）单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间；（3）. 【解析】（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝， 即， 因为ω>0，所以ω＝2， 从而f(x)＝tan(2x＋φ)． 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝＋，k∈Z. 因为0<φ<，所以φ＝， 故f(x)＝tan. （2）令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z， 得， 即 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． （3）由（1）知，f(x)＝tan. 由－1≤tan≤， 得 即 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为. 一、选择题 1．（24-25上海大同中学高一期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据周期求出，整体代换求单调区间. 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 2．（24-25上海宝山中学高一期中）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求得，然后根据正切函数在上递增，可求出函数的值域. 【详解】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以． 故选：A． 3．（24-25上海格致中学高一期中）函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（    ） A． B．的图象过点 C．函数的图象关于直线对称 D．若函数在区间上单调递增 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出函数的解析式，再根据正切函数性质研究即可. 【详解】由题意周期为，所以由图可得， 故，又，所以，故A错； 由A得，所以，故B错； 由函数与图像关系可知函数的对称轴为,即，所以存在使得，故C正确； 因为， 所以当时，，故D错. 故选：C. 4.（24-25上海西南模范中学高一期中）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 【答案】/ 【分析】根据，直接计算可得结果. 【解析】由正切函数的周期公式得：. 故答案为： 6.（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【分析】由正切型函数周期性定义计算即可得. 【详解】由正切型函数性质可知. 故答案为：. 7.（24-25高一下·上海浦东新·期末）下列3个函数：①；②；③；其中最小正周期为的偶函数的编号为 . 【答案】①② 【分析】利用偶函数的定义判断各函数的奇偶性，再结合周期函数的定义判断各函数的周期，由此确定符合要求的函数的编号. 【详解】记，则函数的定义域为，且 ，所以为偶函数， 因为，所以为函数的周期， 若为函数的周期，则，，矛盾，所以为函数的最小正周期，所以函数满足要求， 记，则，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，又函数的最小正周期为，所以函数满足要求， 记，则，所以函数的定义域为，且，函数不满足要求， 故答案为：①②. 8．（24-25高一下·上海·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用整体代入法求得的定义域. 【解析】令，，可得，， 故函数的定义域为． 9．（2025上海高一阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由，可求函数的定义域. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 10．（2025上海高一阶段练习）函数的对称中心为 ； 【答案】 【分析】解方程，由此可解得函数的对称中心坐标. 【详解】令，解得， 所以函数的对称中心是. 故答案为：. 11.（高一下·上海杨浦·期中）函数的对称轴是 . 【答案】， 【分析】作出函数的图象，观察图象可得出函数的对称轴方程. 【详解】函数的图象是把轴的下部分翻折到轴的上方可得到的，如下图所示： 由图象可知，函数的对称轴是，. 故答案为：，. 【点睛】本题考查含绝对值的正切函数对称轴的求解，作出函数图象是关键，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 12．（24-25高一下·上海奉贤·期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的性质即得. 【详解】直线与的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数的一个周期， 因为函数的最小正周期为， 所以直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是. 故答案为：. 13.（24-25高一下·上海宝山·期末）函数（常数）在开区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解. 【详解】由题意可知，函数的单调递增区间为，， 因函数（常数）在开区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为：. 14.（24-25高一下·上海长宁·期末）函数，的值域为 . 【答案】 【分析】由题意利用正切函数的性质，即可解出． 【详解】当，，函数， 故函数的值域为， 故答案为：． 15．当时，确定方程的根的个数为_________-个. 【答案】3 【分析】将方程变形为令，在同一个坐标系中画出两函数的图象，根据图象的交点个数可求得方程的根据个数 【解析】将方程变形为令 在同一平面直角坐标系中， 首先作出与在内的图像， 当时，有 然后利用对称性作出时的两个函数的图像， 如图所示，由图像可知它们有三个交点. 所以方程有三个根. 故答案为:3 3、 解答题 16.（2024高一·上海·专题练习）判断下列函数的奇偶性 （1）（2） 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）非奇非偶函数． 【分析】根据函数奇偶性定义判断即可． 【详解】（1）由得， 所以定义域为不关于原点对称， 故函数是非奇非偶函数； （2）由得， 所以定义域为不关于原点对称， 故函数是非奇非偶函数． 17．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）已知函数（）的最小正周期为． (1)求的单调递增区间； (2)若，，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助正切函数的周期性可得的解析式，利用正切型函数的单调性计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系可得，结合诱导公式即可得解. 【详解】（1）由题可知，解得，所以， 令，， 可得，， 所以的单调递增区间为，； （2），即， 因为，所以， 所以， 所以． 18．（24-25高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 19．已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 【答案】(1)， ； (2)； (3)． 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质即得； （2）由题可得，进而即得； （3）根据正切函数的图象和性质可得b－a的最小值，然后结合条件可得，进而即得. 【详解】（1）由题可得， 所以函数的最小正周期为 ， 由，可得， 所以函数的图像的对称中心 ； （2）因为在上是严格增函数， 所以， 所以，又， 所以； （3）因为， 所以，，至少存在2022个根， 所以可得b－a至少包含2021个周期，即， 所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022， 所以， 所以． 20．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $