第10讲 向量的坐标表示（寒假预习讲义）高一数学沪教版

第10讲 平面向量的坐标表示 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：向量基本定理 基础概念 平面向量基本定理：若、是同一平面内不共线的两个向量.则对该平面内的任意向量.存在唯一一对实数.使得： 其中.不共线的称为平面向量的一组基底. 重点记忆 1.基底的条件：不共线（零向量不能作为基底）； 2.表示的唯一性：给定基底后.是唯一的. 易错辨析 ❌错误：“平面内只有一对不共线向量能作为基底” ✅正确：平面内有无数组基底（任意不共线的两个向量都可作为基底）. 常考结论 若与不共线.且.则（“唯一表示”的推论）. 知识点2：向量正交分解与坐标表示 基础概念 1.正交分解：将向量分解为两个互相垂直的向量的线性组合（通常取轴、轴正方向的单位向量、）. 2.坐标表示：若.则向量的坐标为（分别为在轴、轴上的投影）. 3.位置向量：起点在原点的向量.其坐标与终点坐标相同；若、.则. 概念比较 概念 区别 点的坐标 表示点的位置（如） 向量的坐标 表示向量的大小与方向（如） 易错辨析 ❌错误：“向量的起点一定在原点” ✅正确：向量是自由向量.坐标仅由“终点-起点”的坐标差决定（起点不在原点时.坐标仍为）. 知识点3：向量线性运算的坐标表示 设...则： 1.加法： 2.减法： 3.数乘： 重点记忆 向量相等的坐标条件：且. 常考结论 1.中点坐标公式：若是、的中点.则； 2.共线向量的坐标条件：（均非零）. 知识点4：向量数量积与夹角的坐标表示 基础公式 1.数量积： 2.向量的模： 3.夹角公式：设与的夹角为（）.则： 4.垂直条件： 易错辨析 ❌错误：“则夹角为锐角” ✅正确：时.夹角可能为（同向共线）.需排除共线情况才是锐角；同理.需排除才是钝角. 常考结论 1.投影公式：在方向上的数量投影为； 2.模的运算：（平方展开法）. 【题型1 基底的概念与辨析】 例1．（24-25高一下·上海·月考）下列命题中，正确的命题个数是（   ） ①若，则一定存在唯一的实数λ，使得； ②若，则； ③； ④若，可以组成平面向量的一个基，则，可以组成平面向量的一个基． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 变式1．（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型2 用基底表示向量】 例1．（24-25高一下·上海·月考）在平行四边形中，点，满足，，若，，则 ．（用、表示） 例2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平行四边形中，两条对角线的交点是，设．用的线性组合表示 ． 变式1．（24-25高一下·上海宝山·期末）平行四边形中，，是的中点，记，，则 .（用、表示） 变式2．（24-25高一下·上海长宁·期中）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，设，，则用，表示为 【题型3 平面向量基本定理求参数】 例1．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则 ． 例2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 变式1．（24-25高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则= 变式2．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若，且点落在第Ⅲ部分，则实数、满足（    ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【题型4 平面向量的正交分解与坐标表示】 例1．（22-23高二上·上海虹口·月考）若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知，点，则点的坐标为 . 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 变式2．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，记的斜坐标.则向量，的斜坐标分别为，，则 . 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 例1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知向量，则 . 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知，，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，，求、，使得． 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【题型6 向量平行垂直的坐标表示】 例1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知向量，，若，则 ． 例2．（25-26高三上·上海·开学考试）已知，，若，则 ． 变式1．（24-25高一下·上海·期末）已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知向量 (1)时，求的值: (2)若向量与向量的夹角为锐角，求的取值范围： 【题型7 平面向量数量积的坐标表示】 例1．（25-26高三上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的投影为 . 例2．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知向量和满足，则 . 变式1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 变式2．（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 一、核心知识框架（按逻辑层级） （一）基础前提：平面向量基本定理 核心概念：同一平面内.不共线的两个向量、（基底）可唯一表示平面内任意向量（为唯一实数） 关键条件：基底需满足“不共线”（零向量不可作为基底） 核心性质：表示的唯一性（后续坐标运算的理论基础） （二）核心转化：向量的正交分解与坐标表示 正交分解：将向量分解为互相垂直的两个向量（通常取轴、轴正方向单位向量、） 坐标定义：若.则（为向量在、轴上的投影） 重要推论：位置向量（起点在原点）的坐标=终点坐标；两点向量（、）坐标为 概念区分：点的坐标（表示位置）vs向量的坐标（表示大小与方向.与起点无关） （三）核心运算：向量坐标的线性运算 已知{.}{.}.运算规则如下： 加法： 减法： 数乘： 核心结论：向量相等坐标对应相等（且） （四）进阶应用：数量积与夹角的坐标表示 核心公式： 数量积： 向量的模：（由数量积推导：） 夹角公式：（为与的夹角.） 垂直条件： 衍生公式：投影公式（在方向上的数量投影）： （五）高频拓展：共线与中点相关结论 共线向量坐标条件：（均非零） 中点坐标公式：若为、中点.则 模的运算拓展：（平方展开法.规避夹角直接计算） 二、考点分类与备考重点 （一）基础必考点（记忆类） 平面向量基本定理的表述与基底条件判断 向量坐标的定义与的坐标计算 线性运算、数量积、模、夹角的核心公式 （二）高频计算题（应用类） 向量的线性运算（加减、数乘）坐标求解 数量积、模长、夹角的计算（直接套用公式.注意计算准确性） 利用共线、垂直条件列方程求解参数（如已知求值） （三）易错易混点（辨析类） 基底的唯一性误区：平面内有无数组基底.并非唯一 向量坐标与起点的关系误区：向量坐标与起点无关.仅由终点-起点坐标差决定 夹角判断误区：≠锐角（可能为同向共线）；≠钝角（可能为反向共线）.需排除共线情况 共线条件适用误区：需强调均非零.否则恒成立 三、记忆口诀与核心要点提炼 （一）记忆口诀 1.基底条件：不共线.零向量不能算；2.坐标运算：加减看分量.数乘遍乘全；3.数量积：对应相乘加.垂直零为判；4.共线条件：交叉相乘差为零.垂直对应积和零. （二）核心要点提炼 “唯一性”是核心：基本定理的唯一表示、坐标的唯一对应.是后续运算的前提 “转化思想”是关键：将向量的几何问题（平行、垂直、夹角）转化为代数问题（坐标计算） “公式灵活用”是技巧：模长计算优先平方展开.夹角判断必查共线.参数求解紧扣共线、垂直条件 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·开学考试）设是平面向量的一个基．已知非零向量，其中，给出下列四个命题：①；② 且；③ ；④ ；其中真命题的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 2．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）下列说法中正确的是（　　） A．已知，则与可以作为平面内所有向量的一组基底 B．若两非零向量、满足与共线，则在方向上的投影为 C．若两非零向量、满足，则 D．平面直角坐标系中，、、，则为锐角三角形 3．（25-26高三上·上海·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴、构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，、分别为、正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作，，，下面表述正确的个数（   ）    ①； ②； ③的充要条件是. A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，，若，，三点共线，则 ． 5．（22-23高一下·上海黄浦·月考）已知，，则向量 . 6．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为 . 7．（2025·上海杨浦·一模）已知向量，，且，则实数 . 8．（2025·上海长宁·一模）设，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 9．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则点的坐标为 . 10．（25-26高三上·上海·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则 . 11．（2023·上海崇明·三模）已知，，且与平行，则 . 12．（25-26高二上·上海嘉定·月考）中，为边中点，，则 (用表示) 13．（25-26高三上·辽宁大连·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，且，则 . 14．（25-26高三上·上海·月考）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是 ． 三、解答题 15．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 17．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知平面直角坐标系内，向量. (1)求满足的实数； (2)若向量满足，且，求的坐标. 18．（2025·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 19．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 20．（24-25高一下·上海·期末）如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 平面向量的坐标表示 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：向量基本定理 基础概念 平面向量基本定理：若、是同一平面内不共线的两个向量.则对该平面内的任意向量.存在唯一一对实数.使得： 其中.不共线的称为平面向量的一组基底. 重点记忆 1.基底的条件：不共线（零向量不能作为基底）； 2.表示的唯一性：给定基底后.是唯一的. 易错辨析 ❌错误：“平面内只有一对不共线向量能作为基底” ✅正确：平面内有无数组基底（任意不共线的两个向量都可作为基底）. 常考结论 若与不共线.且.则（“唯一表示”的推论）. 知识点2：向量正交分解与坐标表示 基础概念 1.正交分解：将向量分解为两个互相垂直的向量的线性组合（通常取轴、轴正方向的单位向量、）. 2.坐标表示：若.则向量的坐标为（分别为在轴、轴上的投影）. 3.位置向量：起点在原点的向量.其坐标与终点坐标相同；若、.则. 概念比较 概念 区别 点的坐标 表示点的位置（如） 向量的坐标 表示向量的大小与方向（如） 易错辨析 ❌错误：“向量的起点一定在原点” ✅正确：向量是自由向量.坐标仅由“终点-起点”的坐标差决定（起点不在原点时.坐标仍为）. 知识点3：向量线性运算的坐标表示 设...则： 1.加法： 2.减法： 3.数乘： 重点记忆 向量相等的坐标条件：且. 常考结论 1.中点坐标公式：若是、的中点.则； 2.共线向量的坐标条件：（均非零）. 知识点4：向量数量积与夹角的坐标表示 基础公式 1.数量积： 2.向量的模： 3.夹角公式：设与的夹角为（）.则： 4.垂直条件： 易错辨析 ❌错误：“则夹角为锐角” ✅正确：时.夹角可能为（同向共线）.需排除共线情况才是锐角；同理.需排除才是钝角. 常考结论 1.投影公式：在方向上的数量投影为； 2.模的运算：（平方展开法）. 【题型1 基底的概念与辨析】 例1．（24-25高一下·上海·月考）下列命题中，正确的命题个数是（   ） ①若，则一定存在唯一的实数λ，使得； ②若，则； ③； ④若，可以组成平面向量的一个基，则，可以组成平面向量的一个基． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】取分析说明①②，利用向量数量积及向量模的性质判断③，利用向量共线基本定理验证向量是否共线即可判断④. 【详解】①当时，若，则， 但此时对任意实数都成立， 此时不唯一，所以①错误； ②当时，，此时与不一定相等，故②错误； ③， 其中不一定为1，所以③错误； ④若向量，可以组成平面向量的一个基底，则向量，不共线， 设向量，共线， 则存在实数，使得 因为向量，不共线， 所以，方程组无解， 所以不存在实数，所以，亦不共线， 所以，可以组成平面向量的一个基，所以④正确； 故选：A． 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 变式1．（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项． 【详解】对于A，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误； 对于B，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确； 对于D，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错误； 故选：C． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 【题型2 用基底表示向量】 例1．（24-25高一下·上海·月考）在平行四边形中，点，满足，，若，，则 ．（用、表示） 【答案】. 【分析】根据向量的线性运算可得. 【详解】 ，，， ， 所以. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平行四边形中，两条对角线的交点是，设．用的线性组合表示 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简运算，即可求解. 【详解】由四边形为平行四边形且，对角线的交点是， 则. 故答案为：.      变式1．（24-25高一下·上海宝山·期末）平行四边形中，，是的中点，记，，则 .（用、表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用给定的基底，结合向量线性运算求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故答案为： 变式2．（24-25高一下·上海长宁·期中）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，设，，则用，表示为 【答案】 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可. 【详解】 因为是对角线上靠近点的三等分点，所以， 则． 故答案为：. 【题型3 平面向量基本定理求参数】 例1．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的加减法结合平面向量基本定理列式计算求参即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，在等腰中，， 且分别为的中点， 则，， 由平面向量的减法法则可得， 而， 则，所以解得. 故答案为：. 例2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故. （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 变式1．（24-25高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则= 【答案】 【分析】结合图形，由向量的加法和减法法则以及基本定理计算即可. 【详解】因为为的中点，所以， 所以． 又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 变式2．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若，且点落在第Ⅲ部分，则实数、满足（    ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】B 【分析】根据向量的加法法则，结合共线即可求解. 【详解】由点落在第Ⅲ部分，所以， 如下示意图，由于方向相同，方向相反， 所以，， 故选：B 【题型4 平面向量的正交分解与坐标表示】 例1．（22-23高二上·上海虹口·月考）若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 【答案】 【分析】利用向量运算法则进行求解即可. 【详解】，所以对应的位置向量的终点坐标是. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知，点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据平面向量的坐标表示计算可得. 【详解】设，因为，所以， 又，所以，解得， 所以. 故答案为： 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 【答案】(1)，. (2)， 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；（2）利用中点坐标公式，然后求解M点坐标，再根据向量相等，即可利用坐标相等求解D点坐标. 【详解】（1）因为 所以， . （2）设，因为M为中点，、， 所以，所以. 设，则， 由得， 即所以即. 变式2．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，记的斜坐标.则向量，的斜坐标分别为，，则 . 【答案】 【分析】根据题设有，，再由向量加法及数量积的运算律求向量的模. 【详解】由题设，，则， 所以 . 故答案为： 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 例1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知向量，则 . 【答案】 【分析】根据向量坐标运算求解. 【详解】，， . 故答案为：. 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知，，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，由得即可求解. 【详解】设点，由得， 所以. 故选：D. 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，，求、，使得． 【答案】 【分析】由代入向量坐标运算可得答案. 【详解】若，则， 所以，解得. 即. 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【题型6 向量平行垂直的坐标表示】 例1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知向量，，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求，再利用向量模的坐标公式求解即可.. 【详解】由题，可得，由，得， ，则. 故答案为：2. 例2．（25-26高三上·上海·开学考试）已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量垂直关系的坐标表示求解. 【详解】因为，所以， 故，解得． 故答案为：. 变式1．（24-25高一下·上海·期末）已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出； （2）利用得到，再利用线性运算得出坐标最后应用模长公式的坐标形式求解. 【详解】（1）若，则， 即 即或； （2）因为，则，则， 所以，得. 变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知向量 (1)时，求的值: (2)若向量与向量的夹角为锐角，求的取值范围： 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据垂直可得两向量的模的关系，故可求参数的值； （2）根据数量积为正及向量不共线可求参数的范围. 【详解】（1）因为，故，解得. （2）向量与向量的夹角为锐角，故且不共线， 故且，故且. 【题型7 平面向量数量积的坐标表示】 例1．（25-26高三上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的投影为 . 【答案】/. 【分析】应用投影公式结合数量积及模长公式计算求解. 【详解】向量，， 则在方向上的投影为. 故答案为：. 例2．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知向量和满足，则 . 【答案】 【分析】先根据向量数乘和加法的坐标运算求出的坐标，再根据向量模长公式计算. 【详解】由，得， 根据向量模长公式. 故答案为：. 变式1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到关于的方程，结合求解出的值，由此确定出的值，则的值可求； （2）将等式两边同时平方，通过化简先求解出的值，再根据与的关系，采用角的配凑以及诱导公式求解出的值． 【详解】（1）∵，∴，即，∴， 又，∴，∴； （2）∵，∴，化简得， 又，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 变式2．（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据垂直，得数量积为0，即可结合辅助角以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）与平行， （2）与垂直，， 即， 故， 即 由于，所以，则或， 故或 一、核心知识框架（按逻辑层级） （一）基础前提：平面向量基本定理 核心概念：同一平面内.不共线的两个向量、（基底）可唯一表示平面内任意向量（为唯一实数） 关键条件：基底需满足“不共线”（零向量不可作为基底） 核心性质：表示的唯一性（后续坐标运算的理论基础） （二）核心转化：向量的正交分解与坐标表示 正交分解：将向量分解为互相垂直的两个向量（通常取轴、轴正方向单位向量、） 坐标定义：若.则（为向量在、轴上的投影） 重要推论：位置向量（起点在原点）的坐标=终点坐标；两点向量（、）坐标为 概念区分：点的坐标（表示位置）vs向量的坐标（表示大小与方向.与起点无关） （三）核心运算：向量坐标的线性运算 已知{.}{.}.运算规则如下： 加法： 减法： 数乘： 核心结论：向量相等坐标对应相等（且） （四）进阶应用：数量积与夹角的坐标表示 核心公式： 数量积： 向量的模：（由数量积推导：） 夹角公式：（为与的夹角.） 垂直条件： 衍生公式：投影公式（在方向上的数量投影）： （五）高频拓展：共线与中点相关结论 共线向量坐标条件：（均非零） 中点坐标公式：若为、中点.则 模的运算拓展：（平方展开法.规避夹角直接计算） 二、考点分类与备考重点 （一）基础必考点（记忆类） 平面向量基本定理的表述与基底条件判断 向量坐标的定义与的坐标计算 线性运算、数量积、模、夹角的核心公式 （二）高频计算题（应用类） 向量的线性运算（加减、数乘）坐标求解 数量积、模长、夹角的计算（直接套用公式.注意计算准确性） 利用共线、垂直条件列方程求解参数（如已知求值） （三）易错易混点（辨析类） 基底的唯一性误区：平面内有无数组基底.并非唯一 向量坐标与起点的关系误区：向量坐标与起点无关.仅由终点-起点坐标差决定 夹角判断误区：≠锐角（可能为同向共线）；≠钝角（可能为反向共线）.需排除共线情况 共线条件适用误区：需强调均非零.否则恒成立 三、记忆口诀与核心要点提炼 （一）记忆口诀 1.基底条件：不共线.零向量不能算；2.坐标运算：加减看分量.数乘遍乘全；3.数量积：对应相乘加.垂直零为判；4.共线条件：交叉相乘差为零.垂直对应积和零. （二）核心要点提炼 “唯一性”是核心：基本定理的唯一表示、坐标的唯一对应.是后续运算的前提 “转化思想”是关键：将向量的几何问题（平行、垂直、夹角）转化为代数问题（坐标计算） “公式灵活用”是技巧：模长计算优先平方展开.夹角判断必查共线.参数求解紧扣共线、垂直条件 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·开学考试）设是平面向量的一个基．已知非零向量，其中，给出下列四个命题：①；② 且；③ ；④ ；其中真命题的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】由，夹角和模未知，可判断①④；利用平面向量基本定理，结合相等向量、向量平行的概念可判断②③． 【详解】①根据向量的模的计算公式， 可得 ， ∵是平面向量的一个基， ∴，夹角和模未知， ∴不一定等于， ∴命题①错误． ②根据向量相等的定义，当且仅当与的模相等且方向相同， 即，即． ∵是平面向量的一个基， ∴，不共线， ∴且，即且， ∴命题②正确． ③根据向量平行的定义，若，则； 若为非零向量，则存在的唯一实数，使得， 即，即． ∵是平面向量的一个基，∴，不共线， ∴且， 即且， ∴. 综上，命题③正确． ④根据向量垂直的定义， ， 即0， 即． ∵，夹角和模未知， 故不一定能得到 ， ∴命题④错误． 故选：B． 2．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）下列说法中正确的是（　　） A．已知，则与可以作为平面内所有向量的一组基底 B．若两非零向量、满足与共线，则在方向上的投影为 C．若两非零向量、满足，则 D．平面直角坐标系中，、、，则为锐角三角形 【答案】C 【分析】利用平面向量基底的概念可判断A选项；利用投影向量的定义可判断B选项；利用平面向量数量积的运算可判断C选项；利用平面向量夹角的数量积表示可判断D选项. 【详解】对于A，因为，即两个向量平行，故A错误； 对于B，两非零向量、满足与共线， 则在方向上的投影向量为， 其中是与方向相同的单位向量，为向量与的夹角， 当与同向时，， 当与反向时，，故B错误； 对于C，因为，则， 所以，整理可得，即，故C正确； 对于D，因为，，所以， 故为钝角，故D错误. 故选：C. 3．（25-26高三上·上海·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴、构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，、分别为、正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作，，，下面表述正确的个数（   ）    ①； ②； ③的充要条件是. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据已知条件及向量的坐标运算即可判断①；利用向量的数量积公式及数量积的运算律即可判断②；根据已知条件及向量的共线定理即可判断③. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，， 故②错误； 对于③，对于充分性，若，当时，即，则； 若，必存在唯一实数，使得，即， 所以，两式相除得，即，故充分性成立； 对于必要性，若，当，满足， 当，不妨设，则， ， 所以，故必要性成立. 所以的充要条件是.故③正确. 故选：C 二、填空题 4．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，，若，，三点共线，则 ． 【答案】 【分析】利用共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，三点共线，所以， 又，，所以，解得. 故答案为：. 5．（22-23高一下·上海黄浦·月考）已知，，则向量 . 【答案】 【分析】根据向量减法的坐标运算及其几何意义，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】因为， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为：. 7．（2025·上海杨浦·一模）已知向量，，且，则实数 . 【答案】 【分析】由向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】因，则. 故答案为： 8．（2025·上海长宁·一模）设，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】先利用坐标计算，，再利用公式计算. 【详解】因，则，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 9．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点，利用题设等式进行坐标运算，列出方程组，求解即得. 【详解】设点，则由可得， 故有，解得， 即点的坐标为. 故答案为：. 10．（25-26高三上·上海·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则 . 【答案】 【分析】由题意得共线，推得，再利用二倍角公式计算即得. 【详解】由题意可知，，因，则， 解得，则 . 故答案为：. 11．（2023·上海崇明·三模）已知，，且与平行，则 . 【答案】/ 【分析】由向量平行的坐标关系可得结果. 【详解】由与平行，可得，所以. 故答案为：. 12．（25-26高二上·上海嘉定·月考）中，为边中点，，则 (用表示) 【答案】 【分析】由平面向量基本定理，结合向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】     由已知， . 故答案为：. 13．（25-26高三上·辽宁大连·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，且，则 . 【答案】5 【分析】将，代入，根据向量相等的条件列出方程组解出即可得解. 【详解】，代入，并整理得， 又，所以，解得， 所以. 故答案为：5. 14．（25-26高三上·上海·月考）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据与的夹角为钝角可得且与不共线，分别求解不等式即得. 【详解】由于与的夹角是钝角，则且与不共线 由，可得， 由与共线，可得，即. 故实数m的取值范围是且. 故答案为：且. 三、解答题 15．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据向量的数量积的坐标公式来求解的值； （2）先求出的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于0且两向量不共线来确定的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得. （2）由条件，且与不平行. 当时，， ，解得，， 若，则，则， 所以的取值范围是. 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【答案】，、，证明见解析 【分析】根据平面向量的坐标表示表示出、、，再由，即可证明三点共线. 【详解】因为、、， 所以，，， 因为，所以，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 17．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知平面直角坐标系内，向量. (1)求满足的实数； (2)若向量满足，且，求的坐标. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用向量坐标运算列式求解. （2）利用向量垂直的坐标表示，模的坐标表示求解. 【详解】（1）由，得，则，解得， 即. （2）依题意，，设， 由，得，又，则，解得或， 所以或. 18．（2025·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，进而利用正弦函数的单调性求解； （2）由可求角，进而由可求的值，从而利用余弦定理求出的值. 【详解】（1）由题意，， ∴ . 由，可得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得， 因为，所以，所以，即. 因为，所以，得. 又，所以， 即， 所以 即． 19．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)共线，证明见解析 【分析】（1）设出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解； （2）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）设，因为，，则，， 因为，所以，即， 解得，所以； （2）向量与向量共线，证明如下： 设，因为，， 所以，，因为， 则， 即，解得，所以， 所以，，所以，故与共线. 20．（24-25高一下·上海·期末）如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，即可求解； （2）利用基底表示向量和，再结合垂直关系的向量运算，即可求解； （3）首先由向量的线性运算关系推出点三点共线，，再结合基本不等式求最值，并化简，求最值. 【详解】（1）， （2）设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得 （3）， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $