精品解析：河南开封市祥符区第四高级中学等校2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

高一数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，故A错误； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，由，可得，故D正确. 故选：D. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】因为，而，即不能推出， 显然当时，由于，于是， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 下列函数中最小正周期为的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A选项，对赋值，即可判断其最小正周期不是；利用三角函数的周期公式即可判断B、D的最小正周期不是，问题得解. 【详解】对A选项，令，则 ，不满足， 所以不是以为周期的函数，其最小正周期不为； 对B选项，的最小正周期为：； 对D选项，的最小正周期为：；排除A、B、D 故选C 【点睛】本题主要考查了三角函数的周期公式及周期函数的定义，还考查了赋值法，属于基础题． 4. 函数 的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性与当时的正负判定即可. 【详解】因为.故为奇函数,排除CD. 又当时, ,排除B. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式判断函数图像的问题,需要判断奇偶性与函数的正负解决,属于基础题. 5. 若函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的单调区间，再根据题意求出的取值范围，即可得解. 【详解】对于函数，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 当时函数的一个单调递增区间为， 又函数在上单调递增，所以， 则的最大值为. 故选：B 6. 已知角是第四象限角，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】根据角是第四象限角列出不等式计算得出角的范围并结合余弦值求解. 【详解】因为角是第四象限角，所以， 所以，所以角是第二象限角或第四象限角． 又因为，即，所以角是第四象限角． 故选：D． 7. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，利用弦化切求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 8. 若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期性作出函数的图象，再作出的图象，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当时，， 此时关于对称， 且当时，关于对称， 又因为，所以， 作出函数在区间上的图象： 所以的函数图象在上关于点对称， 又，所以的周期， 因此的图象关于点对称，又的图象关于点对称， 所以在上的所有零点两两关于点对称， 作出与的函数图象如图所示： 由图象可知与在区间上有8个交点， 每2个交点关于点对称，那么这2个交点的和为2， 所以. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有写错的得0分）. 9. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式分析判断AD；举例说明判断BC. 【详解】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 10. 已知函数满足以下条件： ①最小正周期为； ②当时，函数取得最小值 ； 则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用周期公式可求；将代入得，根据的范围即可求解；由②知C正确；检验点是否满足解析式即可. 【详解】由最小正周期为得 ，A正确. 由当 时取得最小值，得即， 因为，所以 ，B错误. 函数，，所以图象关于直线对称，C正确. 当时，，函数值为，所以D错误. 故选：AC 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上的最大值为 B. 当时，函数的最小正周期为 C. 当，时，猜想函数的值域为 D. 对任意的正整数，函数的图象都关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用辅助角公式将的解析式变形，再借助正弦函数的图象即可求解；B选项利用二倍角公式将的解析式变形，即可求解；C选项利用换元将的解析式转化为，再利用导数求出函数的最值即可求出值域；D选项利用进行判断即可. 【详解】对于A选项，当时，， ，，， ， 函数在上的最大值为，故A正确； 对于B选项，当时， ， 函数的最小正周期为，故B错误； 对于C选项，当，时，，（）， 令，则，其中， 可转化为，， 令，即，化简得，解得， 当时，，且，， ，即，在上单调递减； 当时，，且，， ，即，在上单调递增； 在处取得最小值，在端点或处取得最大值， ，，， ，， 在的值域为， 即函数的值域为，故C正确； 对于D选项，， ，函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可. 【详解】根据函数的解析式，列不等式求函数的定义域． 函数的定义域需满足，解得：且， 所以函数的定义域是． 故答案为： 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式并将所求写成齐次式形式，再将弦化为切即可. 【详解】. 故答案为： 14. 已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合余弦函数的性质以及整体代换思想化简即可求解. 【详解】由，得， 又函数在上有且仅有2个零点， 所以，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集， ，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集的定义运算； （2）由已知得，再由集合的包含关系求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 若，则， 因为，所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以， 即实数m的取值范围是． 16. 已知均定义在上的奇函数与偶函数满足． （1）求与的解析式； （2）用定义法证明：在上单调递增； （3）证明：存在实数，使得，并解不等式：． 【答案】（1）， （2） 由（1）知，设， 则 ， ，，，，， ，即，在上单调递增. （3） 由（1）知，， ，， ，即存在实数满足条件； 将，代入不等式得，， ，，即， 两边同时乘以得，即， ，，， 不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用函数与的奇偶性构造方程组即可求解； （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）将函数与的解析式代入等式即可求出的值，再解不等式即可. 【小问1详解】 是奇函数，是偶函数，，， 由①，将替换为得，，即②， 联立①②，相加得，； 相减得，； 的解析式为，的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数解析式； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象求出，再将代入求； （2）根据正弦函数的单调性求解； （3）根据三角函数以及复合函数求值域. 【小问1详解】 由图象知，则，即. 由图象过点，则 ，即， 因为，则， 所以； 【小问2详解】 令， 解得， 故函数的单调递增区间为； 【小问3详解】 因为，所以，则， 则， 所以的值域为. 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期；单调递减区间； （2）最大值为；最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；解不等式，可得出函数的单调递减区间； （2）由求出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值和最大值. 【小问1详解】 因为， 所以函数的最小正周期； 由，得. 即函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 当即时，函数取最小值，； 当即时，函数取最大值，. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 19. 对于定义在上的函数 ，如果存在实数 （），使得对任意的 ，都有 ，且存在使得，存在使得 ，则称是上的“闭函数”，区间称为的“闭区间”. （1）判断函数在区间上是否为“闭函数”，并说明理由； （2）若函数在区间上是“闭函数”，求实数的取值范围； （3）若函数是R上的“闭函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）是“闭函数”，理由如下： 函数在区间上，当时，取最小值； 当或时，取最大值. 所以对任意，有，且存在使，存在或使. 因此函数在区间上是“闭函数”，闭区间为. （2）R； （3）不存在实数使是R上的“闭函数”. 【解析】 【分析】（1）直接根据“闭函数”的定义判断可得； （2）由在区间单调，再以的取值分三类讨论可得； （3）先将函数看成表示点到点和点的距离之和，再构造点关于x轴的对称点，，进而可得函数的最小值，但函数无最大值，故不存在实数使得其函数值为无穷大，因此可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数在区间上单调. 若，则在上单调递减，所以，即. 由“闭函数”定义得，所以.此时闭区间为. 同理，若，则在上单调递增，闭区间为. 若，则为常函数，也是闭函数. 所以实数的取值范围为R. 【小问3详解】 因为函数表示点到点和点的距离之和. 即，如图： 因为点在上，作点关于轴的对称点，所以， 由几何意义知，，而点在上， 所以当三点共线时，函数取得最小值. 当时，，所以的最小值为，值域为. 若是R上的“闭函数”，则需存在使，但值域为无穷区间，所以不存在有限闭区间. 因此不存在实数使是R上的“闭函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 下列函数中最小正周期为的是 A. B. C. D. 4. 函数 的图象大致为 A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知角是第四象限角，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 7. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有写错的得0分）. 9. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足以下条件： ①最小正周期为； ②当时，函数取得最小值 ； 则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象关于点对称 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上的最大值为 B. 当时，函数的最小正周期为 C. 当，时，猜想函数的值域为 D. 对任意的正整数，函数的图象都关于直线对称 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 函数的定义域为___________． 13. 已知，则______． 14. 已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集， ，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 16. 已知均定义在上的奇函数与偶函数满足． （1）求与的解析式； （2）用定义法证明：在上单调递增； （3）证明：存在实数，使得，并解不等式：． 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数解析式； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 19. 对于定义在上的函数 ，如果存在实数 （），使得对任意的 ，都有 ，且存在使得，存在使得 ，则称是上的“闭函数”，区间称为的“闭区间”. （1）判断函数在区间上是否为“闭函数”，并说明理由； （2）若函数在区间上是“闭函数”，求实数的取值范围； （3）若函数是R上的“闭函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $