精品解析：安徽省宿州市第二中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025—2026学年第一学期期末教学质量检测 高二数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则该数列的第36项为（ ） A. B. 36 C. D. 6 2. 记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A B. C. D. 4. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 5. 三棱锥中，点面，且，则实数（ ） A B. C. D. 6. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前n项和为，，，则当取得最小值时，n的值为（ ） A 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014 8. 设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 取得最小值时或4 C. D. 的最小值为 11. 如图，已知正方体的棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C. 若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆 D. 若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，三点共线，则______. 13. 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______． 14. 已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，且，． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求导函数； （2）求曲线在点处的切线方程． 18. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若对任意恒成立．求实数取值范围． 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于M、N两点（异于A，B），且的周长为8． （1）求椭圆C的方程； （2）若的面积为，求直线l的方程； （3）记直线、的斜率分别为、，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末教学质量检测 高二数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则该数列的第36项为（ ） A. B. 36 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得. 【详解】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：C 2. 记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设公比为，由可得，然后可得即可. 【详解】设等比数列的公比为，又， 所以， 所以. 故选：D. 3. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 4. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 5. 三棱锥中，点面，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解． 【详解】由题意三棱锥中，点面，且， 所以，解得． 故选：D． 6. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据离心率为得到，再利用点到直线的距离公式即可求出答案. 【详解】因为，所以，. 所以渐近线方程为. . 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于简单题. 7. 已知等差数列的前n项和为，，，则当取得最小值时，n的值为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014 【答案】C 【解析】 【分析】将等差数列的前2025和2026项和与0的大小比较，得出具体的项数的正负，即可求出当取得最小值时n的值． 【详解】由题意，，， ，， 则等差数列满足，， 可得公差， 数列为递增数列，且当，时，， 当，时，， 当取得最小值时，n的值为1013． 故选：C． 8. 设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解. 【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点， 是以线段为底边的等腰三角形，且， 设（），由椭圆的离心率， 即，解得：， 由点在第一象限，得双曲线的离心率. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合椭圆、双曲线的定义域，用半焦距表示出离心率是求解的关键. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 取得最小值时或4 C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】给出作为反例即可判断A，利用二次函数的性质即可判断B，利用裂项相消法判断C，注意到一定是有理数即可判断D. 【详解】对于A，由于，故对不成立，故A错误； 对于B，由二次函数性质知开口向上，且对称轴为，故当或时，取得最小值，故B正确； 对于C，因为，故对有. 所以，同时有. 故，故C正确； 对于D，因为一定有理数，所以不可能以无理数为最小值，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，已知正方体的棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C. 若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆 D. 若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：由平面，可得即为到直线的距离，由抛物线的定义即可判断；B：由题意可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆，计算可判断；C：由与平面所成的角为，计算可得为定值，可判断点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而可判断；D：由与所成的角可得，可得点的轨迹方程，从而可判断． 【详解】对于A，平面，即为到直线的距离， 在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等， ∴点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故A正确； 对于B，若，则, 可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆， 其面积为，故B正确； 对于C，与平面所成的角为，则，可得， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故C错误； 对于D，如图，建立空间直角坐标系， ， 设，则，， 因为， 化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确； 故选：ABD﹒ 【点睛】关键点点睛：D选项中，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式列式求解是解题关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用点的坐标可得对应向量的坐标，根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】依题意，，， 因为，，三点共线，即， 所以，所以，，解得， 所以. 故答案为：. 13. 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】因为 =， 所以， 则曲线在点处的切线斜率为，即， 又 所以所求切线的倾斜角为． 故答案为： 14. 已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解． 【详解】设，，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，， 则，，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，且，． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和的最大值． 【答案】（1） （2）40 【解析】 【分析】（1）根据递推关系，判定数列是等差数列，然后求得首项和公差，进而得到通项公式； （2）令，求得，进而根据数列的前n项和的意义求得当或5时，有最大值，进而求得和的最大值． 【小问1详解】 数列满足，，是等差数列， 设的公差为d，则，即，解得， ，． 【小问2详解】 令，得，解得， 所以当或5时，有最大值， 且最大值为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得底面，建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可； （2）由面面角向量法计算即可. 【小问1详解】 ∵侧面底面，侧面底面，， 底面， ∵底面，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由（1）得，． 设平面的法向量为， 则令，则，， 得平面的法向量为． 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）求导函数； （2）求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导； （2）利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解． 【小问1详解】 由， 得. 【小问2详解】 由（1）可得，，即切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，化简得， 所以曲线在点处的切线方程． 18. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明： （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围． 【小问1详解】 证明：由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得，即， 所以， 则， 所以， 所以． 【小问3详解】 由题可得，整理得恒成立， 令，则， 则当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 所以，即． 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于M、N两点（异于A，B），且的周长为8． （1）求椭圆C的方程； （2）若的面积为，求直线l的方程； （3）记直线、的斜率分别为、，证明：为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出c，a的值，进而得出，求出椭圆方程； （2）设直线l的方程及，，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； （3）联立直线，得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 设过点的直线方程为，点，， 联立，得， 则，， 则， 又点到直线l距离， 令， 化简整理得， ，，解得， ∴直线l的方程为． 【小问3详解】 证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得，． 则， 注意到，即， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $