精品解析：宁夏育才中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

宁夏育才中学2025-2026学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷 （试卷满分 150分，考试时间 150 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、单选题（每小题5分，合计40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（ ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为， 令，解得. 故选：B. 2. 以为焦点的抛物线标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，由条件，求出的值，即可得答案. 【详解】由题意，抛物线标准方程形如，焦点坐标为， 所以，解得，故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 3. 在实数和（）之间插入4个不同的数，这6个数恰好构成公差为3的等差数列，则的值为（ ） A. 15 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的项数与公差的关系，求出末项与首项的差，进而得到的值. 【详解】6个数构成等差数列，项数为6，公差为3，首项为，末项为， 则，所以. 故选：A. 4. 已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 可得或， 又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，， 所以或 故选：C 5. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件分析得到数列的通项公式,并利用等差数列前n项和公式化简，进而求得数列的通项公式,再利用裂项相消求和法求得结果. 详解】由题意可得，,…… 所以，. 所以， 所以，+++…+ 故选：D 6. 某超市去年销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（ ）万元． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，后10年每年的销售额成等比数列，公比为1.1，首项为，进而根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】设今后10年每年的销售额为， 因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加. 所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为， 所以今后10年每年的销售额构成等比数列， 公比为1.1，首项为. 所以今年起10年内这家超市的总销售额为 故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元. 故选：D 7. 已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为，且，则此椭圆长轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点坐标得到，再由得到，的关系求解. 【详解】因为椭圆的两个焦点分别为， 则，又上顶点为P，且，，， 则解得，所以. 故选：D. 8. 已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为（ ） A. 1010 B. 1011 C. 1012 D. 1013 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与前项和公式确定项的正负后可得结论． 【详解】根据等差数列的前项和公式和性质得： ， 又， 则，即，所以 所以的前1013项为负，从1014项开始为正，故前1013项和最小． 故选：D 二、多选题（每小题6分，合计18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.） 9. 若等比数列的公比为，前项和，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据前项和的表达式求出的表达式，再根据等比数列的定义求出公比，进而求得首项，列方程可求得的值； 【详解】因为等比数列的前项和， 所以当时，；当时，. 所以，，所以公比，故B正确； 所以，解得，故A错误，C正确； 因为也满足，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是递减数列 C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和性质来求解判断即可. 【详解】因为，又，所以数列是首项为8，公差为的等差数列. 记公差为，则，所以. 对于A，，故选项A正确； 选项B：因为公差，所以数列是递减数列，故选项B正确. 选项C：令，则，解得，又，即，故选项C错误. 选项D：，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周长为16 C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由曲线的轨迹为椭圆，得到，求得，可判断A；根据椭圆的定义，求得的周长，可判定B错误；根据，结合椭圆的性质，可判定C正确；设点的坐标为，求得，结合椭圆的性质，可判定D正确. 【详解】对于A，由圆锥曲线的离心率为，则曲线的轨迹为椭圆， 可得，则， 则可得，解得，故A正确； 对于B，由A得椭圆的方程为，可得， 又由椭圆的定义，可得的周长为，故B错误； 对于 C，由面积为，因为， 所以当点为短轴的端点时，面积取得最大值， 可得面积的最大值为，故C正确； 对于D，设点的坐标为，其中，则，所以， 因为，可得， 则， 因为，可得，即取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，合计15分.） 12. 已知数列满足，且，则________________ 【答案】 【解析】 【分析】用数列递推式推出数列是周期为3的周期数列，即可求解. 【详解】由题意得：，，， 所以数列是周期为3的周期数列，所以. 故答案为：. 13. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与双曲线的左右两支各有一个交点可得，直线在两渐近线之间，求解即可. 【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的其中一支有一个交点， 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 可得直线一定在两渐近线之间， 则k的取值范围为. 故答案为：. 14. 若一个等比数列的各项均为正数，且前3项的和等于3，前6项的和等于27，则这个数列的公比等于_________. 【答案】2 【解析】 【分析】可以根据，列方程组，解得基本量；也可以根据等比数列的性质，得到，解方程即可. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，3，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，解得， 所以该等比数列的公比为2. 故答案为：2. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 则， ， 即，则，解得， 所以该等比数列的公比为2. 故答案为：2. 四、解答题（本题共5小题，合计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【答案】（1）； （2）30 【解析】 【分析】（1）设出公差，根据通项公式和求和公式基本量得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）分组求和，得到答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 16. 开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. （1）求抛物线的标准方程及准线方程； （2）若直线的斜率为2，求的面积. 【答案】（1）标准方程，准线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线轴得到，从而得到，然后求标准方程和准线方程即可； （2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，然后根据，求面积即可. 【小问1详解】 由题可知：. 当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. 【小问2详解】 由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 17. 已知数列满足，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列求. 【答案】（1） （2）85 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可得数列是等比数列，可求出的通项公式，进而得的通项公式；设，当时，根据可得的表达式，验证时是否成立即可得的通项公式.（2）首先理解新数列的构成，可得到为止的总项数表达式，从而可知到为止的总项数，进而可知是的第几项. 【小问1详解】 对于数列，由可得， 又， 所以， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 故，所以. 对于数列，设， 则当时，，得， 时，，也满足， 故. 【小问2详解】 新数列为：后插入1项，后插入3项，后插入项，到为止总项数为. 当时，到共项， 前共插入项，即到这36项， 新数列的第50项为后插入的第7项，即，则. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆离心率； （2）直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）（ⅰ）设，，联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）结合韦达定理，由即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率； 【小问2详解】 （ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，的值； （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） , （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）①通过欧拉函数定义得，然后利用错位相减法求和，即可得出结果； ②由①可知，求出，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以， 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以. 【小问2详解】 ①所有不超过正整数的正整数有个， 其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个， 即，所以， 所以， ， 两式相减得， 所以； ②由①可知，所以， 所以由得恒成立， 令，则， 所以可得 ； 当 时，即， 所以的最大值为， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2025-2026学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷 （试卷满分 150分，考试时间 150 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、单选题（每小题5分，合计40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列第（ ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 2. 以为焦点的抛物线标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 在实数和（）之间插入4个不同的数，这6个数恰好构成公差为3的等差数列，则的值为（ ） A. 15 B. 12 C. D. 4. 已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 14 5. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　） A. B. C D. 6. 某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（ ）万元． A. B. C. D. 7. 已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为，且，则此椭圆长轴长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为（ ） A. 1010 B. 1011 C. 1012 D. 1013 二、多选题（每小题6分，合计18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.） 9. 若等比数列的公比为，前项和，则（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是递减数列 C. 当时， D. 11. 已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周长为16 C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是 三、填空题（每小题5分，合计15分.） 12. 已知数列满足，且，则________________ 13. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是________. 14. 若一个等比数列的各项均为正数，且前3项的和等于3，前6项的和等于27，则这个数列的公比等于_________. 四、解答题（本题共5小题，合计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 16. 开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. （1）求抛物线的标准方程及准线方程； （2）若直线的斜率为2，求的面积. 17. 已知数列满足，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）将中项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列求. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆的离心率； （2）直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，的值； （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $