宁夏育才中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学期末试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C C B D D BCD ABD 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14．2 5．C 【详解】由题意可得，,…… 所以，. 所以， 所以，+++…+ 6．B 【详解】设今后10年每年的销售额为， 因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加. 所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为， 所以今后10年每年的销售额构成等比数列， 公比为1.1，首项为. 所以今年起10年内这家超市的总销售额为 故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元. 7．D 【详解】因为椭圆的两个焦点分别为，则， 又上顶点为P，且，所以，所以. 8．D 【详解】由于等差数列的前项和的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成，由，可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2025,2026)之间，因此对称轴在区间之间，离对称轴最近的横坐标为整数的点的横坐标为, ∴取得最小值时n的值为1013． 11．ACD 【详解】对于A,由圆锥曲线的离心率为，则曲线的轨迹为椭圆， 可得，则， 则可得，解得，，所以A正确； 对于B，由A得椭圆的方程为，可得， 又由椭圆的定义，可得的周长为，所以B错误； 对于 C，由面积为，因为， 所以当点为短轴的端点时，面积取得最大值， 可得面积的最大值为，所以C正确； 对于D，设点的坐标为，其中，则，所以， 因为，可得， 则， 因为，可得，即取值范围为，所以D正确. 12． 【详解】由题意得：，，， 所以数列是周期为3的周期数列， 所以. 13．. 【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的其中一支有一个交点， 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 可得直线一定在两渐近线之间， 则k的取值范围为. 14．2 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，3，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 15． (1) ； (2)30 . 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 16．(1)标准方程为.准线方程为; (2) . 【详解】（1）由题可知：. 当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. （2）由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 17．(1)， ; (2) . 【详解】（1）对于数列，由可得，又， 所以， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 故，得. 对于数列，设， 则当时，，得， 时验证成立，故. （2）新数列为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为 . 当时，到共项， 前共插入到共36项， 新数列的第50项为后插的第7项， 即，则， 18．(1) ； (2)（ⅰ）；（ⅱ） . 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率 （2）（ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 19．(1) , ; (2)① ; ② . 【详解】（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以， 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以. （2）①所有不超过正整数的正整数有个， 其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即， 所以， 所以 两式相减得 所以； ②由①可知，所以 ， 所以由 得 恒成立， 令 ，则 ， 所以可得 ； 当 时，即， 所以的最大值为， 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2025-2026学年第一学期高二年级期末考试 数 学 试 卷 (试卷满分 150分，考试时间 150 分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留。 一、单选题（每小题5分，合计40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 2．以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．在实数和()之间插入4个不同的数，这6个数恰好构成公差为3的等差数列，则的值为（    ） A．15 B．12 C． D． 4．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　） A． B． C． D． 6．某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（    ）万元． A． B． C． D． 7．已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为P，且，则此椭圆长轴长为（　　） A． B．6 C． D． 8．已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 2、 多选题（每小题6分,合计18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.） 9．若等比数列的公比为，前项和，则（   ） A． B． C．1 D． 10．已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递减数列 C．当时， D． 11．已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周长为16 C．面积的最大值为 D．的取值范围是 三、填空题（每小题5分,合计15分.） 12．已知数列满足，且，则 13．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 14．若一个等比数列的各项均为正数，且前3项的和等于3，前6项的和等于27，则这个数列的公比等于 . 四、解答题（本题共5小题，合计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 16．（15分）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为2，求的面积. 17．（15分）已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求. 18．（17分）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 19．（17分）人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. (1)求，的值； (2)已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $