精品解析：宁夏固原市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

固原市2024-2025学年度第二学期高二年级质量监测 数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名､准考证号､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 已知是等差数列，且，，则首项等于（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 解得. 故选：C 2. 有一散点图如图所示，在，，，，这5个点中去掉后，下列说法错误的是（ ） A. 相关系数变大 B. 残差平方和变大 C. 变量，正相关 D. 解释变量与预报变量的相关性变强 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图中5个点的分布情况结合相关性的有关概念，逐项分析判断作答. 【详解】观察散点图知，变量，呈线性相关，点偏离回归直线较远，去掉后： 对于A，相关性变强，相关系数变大，A正确； 对于B，残差平方和变小，B错误； 对于C，散点的分布是从左下到右上，因此变量，正相关，C正确； 对于D，解释变量与预报变量的相关性变强，D正确. 故选：B 3. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率的计算公式即可得出． 【详解】设事件A表示四月份吹东风，事件B表示四月份下雨， 根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率． 故选：A 4. 有3名女生和2名男生排成一排，男生不能相邻的不同排法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 108种 D. 144种 【答案】B 【解析】 【分析】根据不相邻问题，利用插空法即可求解. 【详解】先排女生，共有中方法，接下来把2名男生插入到两两女生之间的位置连同头尾的4个空隙中，共有， 故总的排法有种， 故选：B 5. 过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 24 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】因为展开式的通项为， 所以的系数为． 故选：D. 7. 已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列公比为，由题可得，结合是递增数列，可确定，即可判断选项正误. 【详解】设等比数列公比为，由题有：， 则 或. 因是递增数列，则这种情况不满足题意； 则. 故选：C 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得在内有两个不等实根，求解即可. 【详解】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项分布的性质进行逐一求解判断即可. 【详解】A，，故A正确； B，，故B错误； C，，故C正确； D，，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法中，正确是（ ） A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 C. 决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. D. 若随机变量，满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据残差图的意义可判断A的真假；根据相关系数的意义判断B的真假；根据决定系数的意义判断C的真假；根据两个变量之间的关系，求其方差的关系，判断D的真假. 【详解】对于A，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，A错误； 对于B，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故B正确； 对于C，因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好，故C错误； 对于D，由随机变量方差的性质知加减不改变方差，缩放后方差变为平方倍，故，故D正确. 故选：BD. 11. 设随机变量，随机变量，则（ ） A. B. ， C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的性质以及参数函数即可结合选项逐一求解. 【详解】由随机变量，随机变量知， ，故A正确，B错误， 由于随机变量服从正态分布，对称轴为,所以，故C正确， 由于随机变量，均服从正态分布，且对称轴均为轴,但是， 在正态密度曲线中，的峰值较高，正态曲线越瘦高，随机变量分布比较集中， 所以，故D错误， 故选：AC 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，若表示摸出的红球个数，则________．（用小数作答） 【答案】3.2 【解析】 【分析】根据超几何期望公式即可求解. 【详解】由于服从超几何分布，且，故, 故答案为：3.2 13. 已知在的二项展开式中，所有项的系数和为，所有项的二项式系数和为，则__________________. 【答案】272 【解析】 【分析】利用赋值法求出，再利用二项式系数的和即可. 【详解】取，则，而， 所以. 故答案为：272 14. 将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则__________. 参考公式：. 【答案】##1.875 【解析】 【分析】根据参考数据及公式先利用相关系数求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 由， 解得， 所以. 故答案为： 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，，． （1）求通项公式及其前项和的最小值； （2）若数列为等比数列，且，，求的前项和． 【答案】（1），最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果； （2）根据题意，由等比数列前项和公式，代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 因为，所以，解得， 所以. 所以. 因为，所以当或时取得最小值， 且最小值为. 【小问2详解】 由（1）可得：，， 所以等比数列的公比为， 所以，所以等比数列的前项和. 16. 甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. （1）从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； （2）若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由独立乘法公式、对立事件的概率即可求解； （2）令事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【小问1详解】 从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率为； 【小问2详解】 令事件“从乙箱中取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”， 事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”， 则两两互斥，且， 则，，， 则 . 17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． （1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； （2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，分别为甲击中目标2次且乙击中目标0次与甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可； （2）甲的设计过程可看作独立重复试验，所以，根据二项分布即可求解. 【小问1详解】 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． 【小问2详解】 由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 18. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. 【小问2详解】 的可能取值为. ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望 19. 对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：，通常为了便于求导，我们可以作变形：． （1）求的单调区间； （2）已知． ①若数列满足，，求数列通项公式； ②求证：． 【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性； （2）①两边取对数，再结合等比数列定义计算结合指数及对数运算求解；②构造根据函数最值结合累加法证明即可. 【小问1详解】 ， 令，解得，令，解得 所以的单调递增区间为，递减区间为 【小问2详解】 ①由题意可知，， 那么 两边同时取对数可得 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 则，所以， 所以 ②设函数， 当时，，当时，， 所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减 则，即在上恒成立 所以， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固原市2024-2025学年度第二学期高二年级质量监测 数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名､准考证号､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 已知是等差数列，且，，则首项等于（ ） A. 0 B. C. D. 2. 有一散点图如图所示，在，，，，这5个点中去掉后，下列说法错误的是（ ） A. 相关系数变大 B. 残差平方和变大 C. 变量，正相关 D. 解释变量与预报变量相关性变强 3. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 有3名女生和2名男生排成一排，男生不能相邻不同排法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 108种 D. 144种 5. 过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 展开式中的系数为（ ） A. 24 B. C. D. 7. 已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 或4 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 C. 决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. D. 若随机变量，满足，则 11. 设随机变量，随机变量，则（ ） A. B. ， C. D. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，若表示摸出的红球个数，则________．（用小数作答） 13. 已知在的二项展开式中，所有项的系数和为，所有项的二项式系数和为，则__________________. 14. 将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则__________. 参考公式：. 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，，． （1）求通项公式及其前项和的最小值； （2）若数列为等比数列，且，，求的前项和． 16. 甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. （1）从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； （2）若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． （1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； （2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 18. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3841 6.635 10.828 19. 对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：，通常为了便于求导，我们可以作变形：． （1）求的单调区间； （2）已知． ①若数列满足，，求数列的通项公式； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $