精品解析：河南省驻马店市平舆县2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷

2025—2026学年度九年级上学期期末综合评估数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象也经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数解析式是解题的关键． 先由待定系数法求出k的值，再判断选项中点的横纵坐标乘积是否等于k即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ 即该函数图象上任意一点的横纵坐标乘积为 ∵选项D中， ∴该函数图象经过点， 故选：D． 2. 近期数学家找到一种新的边形，可以无限地铺满一个平面，被称为“爱因斯坦瓷砖”，它由个筝形或个相同的直角三角形组成，看起来像一个帽子，下列与之相关的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，识别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合即可．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A、C、D不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B ． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， 在方程中，，，， ， 该一元二次方程没有实数根． 故选：D． 4. 如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．由题意可得点、关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解． 【详解】解：双曲线与直线相交于，两点， 点、关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选：A． 5. 已知点在抛物线上，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是判断抛物线在区间的增减性． 先确定抛物线的开口方向与对称轴，该抛物线开口向下，对称轴为；再分析区间单调性，在的区间内，随的增大而增大；结合已知，可得． 【详解】解： 抛物线的二次项系数为， 抛物线开口向下，对称轴为． 在对称轴左侧（时），随的增大而增大， 又， ． 故选：A． 6. 如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边， ． 故选：C． 7. 小明有四枚不同的学科徽章，分别是数学、英语、语文、物理．这些徽章除正面图案外，背面完全相同．他把徽章背面朝上洗匀，从中随机一次性抽取两枚，则两枚徽章恰好为数学和语文的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解． 【详解】解：列表如下： 数学 英语 语文 物理 数学 （数学，英语） （数学，语文） （数学，物理） 英语 （英语，数学） （英语，语文） （英语，物理） 语文 （语文，数学） （语文，英语） （语文，物理） 物理 （物理，数学） （物理，英语） （物理，语文） 共有种等可能结果，其中两枚徽章恰好为数学和语文的有种结果， 两枚徽章恰好为数学和语文的概率为； 故选：C． 8. 如图，在平行四边形中，，延长至点，使得，连接，交于点，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，则，结合，可得，则，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象经过象限与系数的关系．利用二次函数的图象可以判定系数a、b、c的正负号，再判定直线不经过的象限． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点位于y轴的正半轴， ，，， ， ，， 直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选B． 10. 如图，的顶点均在坐标轴上，，点关于轴的对称点为为的中点，且．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，可得，，，结合，可得，求解，利用，再进一步求解即可. 【详解】解：∵，点关于轴的对称点为，设， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：（舍去），， ∴，即. 故选：B 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握以上基础知识是解本题的关键. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图象开口向下，且经过点，请写出一个符合题意的二次函数的解析式：__． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下，则二次项系数为负；经过点，则代入解析式后满足方程． 【详解】设二次函数解析式为． ∵图象经过点， ∴当时，，即，即． ∵图象开口向下， ∴． 取，，代入得，解得． 因此二次函数解析式为． 故答案为： (答案不唯一)． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率约为，可知摸到黑球的概率为，进而根据概率计算公式求出袋子中球的总数即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次试验后，发现摸到白球的频率约为， ∴摸到黑球的频率约为， 设黑球的个数为个， ∴， ∴． 经检验：是方程的解． 故答案为：． 13. 反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，推导出 ，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接，   ∵轴， ， ∴， ， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ， 故答案为：． 14. 已知圆锥的高为，底面圆的半径为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为__． 【答案】##216度 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面展开图的圆心角度数，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数是，根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于底面圆的周长，建立方程求解圆心角． 【详解】解；∵圆锥的高为，底面圆的半径为， ∴圆锥的母线长为：， 设圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 由题意得，， 解得， ∴圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 故答案为：． 15. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，小华在边上找一点，在边上找一点，以为轴折叠，得到，点的对应点为，小华变换的位置，始终让点落在边上，当为直角三角形时，的长为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，注意分情况讨论是解题的关键． 由折叠的性质可得，当为直角顶点时，；当为直角顶点时，；根据相似三角形对应边成比例分别列式求解即可． 【详解】解：在中，， ． 由翻折可知，， ∴． 当为直角顶点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当为直角顶点时，如图： ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，掌握解一元二次方程的方法、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先将特殊角的三角函数值化简，再计算，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 化简得， ， 解得． 17. 如图，在中，，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握正切和余弦的定义是解此题的关键． （1）先由正切的定义求出，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）由余弦的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴． 18. 某电商店铺在促销活动期间，月份订单量为单，月份订单量增长到单，且从月到月，每月订单量的平均增长率相同． （1）求每月订单量的平均增长率． （2）按照这个平均增长率，预计月份该店铺订单量将达到多少？ 【答案】（1） （2）单 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设每月订单量的平均增长率为，根据等量关系：月份订单量（增长率）月份订单量，列出方程求解即可； （2）根据月份订单量月份订单量（增长率）列式计算即可． 【小问1详解】 解：设每月订单量的平均增长率为． 根据题意，得， 解得，（舍去）． 答：每月订单量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：（单）． 答：预计月份该店铺订单量将达到单． 19. 如图，的顶点都在上，为的直径，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，交于点，若，求的度数． 【答案】（1） 如图，点即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，同弧（等弧）所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别以点、点为圆心，大于的长度为半径画弧交于点，连接，交于点，点即为所求； （2）由同弧（等弧）所对的圆周角相等可得、的度数，再由直径所对的圆周角等于可得，最后根据外角的性质可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ， ． 为的中点， ， ． 为的直径， ． ． 20. 宝岩寺塔位于河南省驻马店市西平县城东关西平大道与文化路的交叉口，是宋代古塔遗存，是研究宋塔建筑风格和佛教文化的实物资料．小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量宝岩寺塔的高度．如图，在阳光下，小明爸爸站在塔影子的顶端处，此时，小明量得爸爸的影长，然后小明从点往宝岩寺塔方向走了到达点，并用测角仪测得塔顶端的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸的身高m，点在同一条直线上，．求宝岩寺塔的高．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，相似三角形的应用，设，表示，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：由题意，得，设． 在中，． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 答：该宝岩寺塔的高为． 21. 如图，正方形的边长为6，分别是边上的点，且，将绕点顺时针旋转，得到． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理；掌握旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由正方形的性质得，由旋转的性质得，由即可得证； （2）由正方形的性质得，由旋转的性质得，由全等三角形的性质得，设，由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质，可得， ∴． ∴， ∵， ∴（）． 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∴． 由旋转的性质，可得． ∵． ∴， 设，则． ∴， 在中，， 即， 解得． ∴的长为． 22. 如图，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处距离原点的水平距离为，最大竖直高度为，喷头所在位置的竖直高度为． （1）请直接写出水流最高处的坐标：____________． （2）求喷出水流的竖直高度（）与距离原点的水平距离（）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过，求喷头高度的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意正确的列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得点的横坐标为，纵坐标为，即可求解； （2）依据题意，设抛物线的解析式为，由点的坐标为，求出的值，进而求得抛物线的解析式； （3）设设调整后的抛物线的函数解析式为，根据水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，求出调整后的抛物线的函数解析式，进而求出喷头高度的最大值． 【小问1详解】 解：以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，水流的最高处距离原点的水平距离为，最大竖直高度为， 水流最高处的坐标． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可得，顶点的坐标为， 设抛物线的函数解析式为． 由题意得，点的坐标为，代入中得： ，解得， 抛物线的函数解析式为． 【小问3详解】 解：调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变， 可设调整后的抛物线的函数解析式为， 由题意得，当最大时，点的坐标为， ，解得， ． 将代入，得， 喷头高度的最大值为． 23. 【感知】如图1，在四边形中，点在边上（不与点重合），．易得∽．（不需要证明） 【探究】如图2，在四边形中，点在边上（不与点重合），． （1）求证：∽． （2）若，则的长为___________． 【应用】（3）如图3，在中，．点在边上（不与点B，C重合），连接，作，与边交于点． ①当时，求的长． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①或；②的长为3或5 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定， 对于（1），根据“两角相等的两个三角形相似”可得答案； 对于（2），根据相似三角形的对应边成比例代入数值可得答案； 对于（3）①，先说明，再代入数值求出一元二次方程的解即可； ②，先根据可知为等腰三角形时，分以下两种情况： 当时，可证明，然后得出，最后根据得出答案； 当时，可说明，设则，进而得出．然后证明，得,接下来求出，再结合得出答案． 【详解】解：（1）证明： ∵， ∴． ∵， ∴； （2）； ∵， ∴， 即， 解得； 故答案为：； （3）①设则 ∵ ∴， 同（1），可得， ∴，即， 整理，得， 解得或； ②的长为3或5； ∵， ∴． 当为等腰三角形时，分以下两种情况： 当时， 由（1），得， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴． 设则， 则， 可得． 由，得, 即， 解得， ∴． 综上所述的长为3或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度九年级上学期期末综合评估数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象也经过点（ ） A. B. C. D. 2. 近期数学家找到一种新的边形，可以无限地铺满一个平面，被称为“爱因斯坦瓷砖”，它由个筝形或个相同的直角三角形组成，看起来像一个帽子，下列与之相关的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 4. 如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在抛物线上，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 小明有四枚不同的学科徽章，分别是数学、英语、语文、物理．这些徽章除正面图案外，背面完全相同．他把徽章背面朝上洗匀，从中随机一次性抽取两枚，则两枚徽章恰好为数学和语文的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，延长至点，使得，连接，交于点，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 已知二次函数的图象如图所示，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，的顶点均在坐标轴上，，点关于轴的对称点为为的中点，且．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图象开口向下，且经过点，请写出一个符合题意的二次函数的解析式：__． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有______个． 13. 反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 14. 已知圆锥的高为，底面圆的半径为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为__． 15. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，小华在边上找一点，在边上找一点，以为轴折叠，得到，点的对应点为，小华变换的位置，始终让点落在边上，当为直角三角形时，的长为___． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程 （1）． （2）． 17. 如图，在中，，，． （1）求的长． （2）求的值． 18. 某电商店铺在促销活动期间，月份订单量为单，月份订单量增长到单，且从月到月，每月订单量的平均增长率相同． （1）求每月订单量的平均增长率． （2）按照这个平均增长率，预计月份该店铺订单量将达到多少？ 19. 如图，的顶点都在上，为的直径，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，交于点，若，求的度数． 20. 宝岩寺塔位于河南省驻马店市西平县城东关西平大道与文化路的交叉口，是宋代古塔遗存，是研究宋塔建筑风格和佛教文化的实物资料．小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量宝岩寺塔的高度．如图，在阳光下，小明爸爸站在塔影子的顶端处，此时，小明量得爸爸的影长，然后小明从点往宝岩寺塔方向走了到达点，并用测角仪测得塔顶端的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸的身高m，点在同一条直线上，．求宝岩寺塔的高．（结果精确到，参考数据：） 21. 如图，正方形的边长为6，分别是边上的点，且，将绕点顺时针旋转，得到． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 如图，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处距离原点的水平距离为，最大竖直高度为，喷头所在位置的竖直高度为． （1）请直接写出水流最高处的坐标：____________． （2）求喷出水流的竖直高度（）与距离原点的水平距离（）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过，求喷头高度的最大值． 23. 【感知】如图1，在四边形中，点在边上（不与点重合），．易得∽．（不需要证明） 【探究】如图2，在四边形中，点在边上（不与点重合），． （1）求证：∽． （2）若，则的长为___________． 【应用】（3）如图3，在中，．点在边上（不与点B，C重合），连接，作，与边交于点． ①当时，求的长． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $