专题11矩形寒假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题11矩形寒假预习讲义 · 懂定义：知道矩形是 “有一个角是直角的平行四边形” · 记性质：掌握四个角为直角、对角线相等且平分 · 辨关系：分清矩形与平行四边形的联系与区别 · 会应用：能用性质做简单计算与说理 · 拓结论：了解直角三角形斜边上中线等于斜边一半 预习必备 知识点梳理 1.矩形的定义 2.矩形的性质 3.矩形的判定 4.矩形与平行四边形的性质对比 5.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.矩形性质理解 2.由矩形性质求角度 3.由矩形性质求线段长 4.由矩形性质求面积 5.由矩形性质证明 6.求矩形在坐标系中的坐标 7.矩形与折叠问题 8.矩形的判定定理理解 9.添条件使四边形是矩形 10.证明四边形是矩形 11.由矩形的性质与判定求角度 12.由矩形的性质与判定求线段长 13.由矩形的性质与判定求面积 14.斜边中线性质应用 强化题型 (解答题8题) 【知识点01.矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 数学语言：在平行四边形ABCD中，若∠ABC=90∘，则平行四边形ABCD是矩形。 核心要点：必须同时满足 “平行四边形”+“一个直角”，二者缺一不可；矩形属于平行四边形，但平行四边形不一定是矩形。 【知识点02.矩形的性质】 矩形具备平行四边形的所有性质，同时有自身特殊性质，从边、角、对角线、对称性四方面梳理： （一）边的性质（与平行四边形一致） 对边平行且相等：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 邻边互相垂直（由直角推导）。 （二）角的性质（特殊性质） 矩形的四个角都是直角（90∘）。 数学语言：若四边形ABCD是矩形，则∠A=∠B=∠C=∠D=90∘。 推导：平行四边形对角相等、邻角互补，一个角为直角，其余三角均为直角。 （三）对角线的性质（特殊性质） 对角线互相平分（平行四边形共性）：矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则AO=CO，BO=DO。 对角线相等（矩形特性）：AC=BD。 数学语言：若四边形ABCD是矩形，则AC=BD。 证明：在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB=90∘，BC=CB，故△ABC≅△DCB(SAS)，得AC=BD。 推论：矩形对角线将其分成四个等腰三角形（△AOB、△BOC、△COD、△DOA）。 （四）对称性 中心对称图形：对称中心是对角线的交点O。 轴对称图形：有2 条对称轴，为过对边中点的直线（横向、纵向各 1 条）。 【知识点03.矩形的判定】 判定分定义判定和定理判定，核心是从 “平行四边形” 或 “普通四边形” 出发，添加条件证矩形： （一）定义判定（基础） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 数学语言：在平行四边形ABCD中，若∠A=90∘，则平行四边形ABCD是矩形。 （二）定理判定 对角线相等的平行四边形是矩形。 数学语言：在平行四边形ABCD中，若AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形。 关键：前提必须是平行四边形，仅 “对角线相等” 不能判定普通四边形为矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。 数学语言：在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C=90∘，则四边形ABCD是矩形。 推导：三个直角可推出第四个角为直角，进而得对边平行，证为平行四边形 + 直角，即矩形。 【知识点04.矩形与平行四边形的性质对比】 图形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等、邻角互补 互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 中心对称 + 轴对称（2 条） 【知识点05.易错点提醒】 1.判定时混淆前提：“对角线相等的四边形” 不是矩形，必须先证是平行四边形，再添 “对角线相等”。 2.性质应用误区：矩形对角线不垂直（垂直是正方形特性），仅互相平分且相等。 3.对称性混淆：矩形对称轴是对边中点连线，非对角线（对角线是角平分线，但非对称轴）。 【题型1.矩形性质理解】 【典例】如图，已知矩形，对角线，交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的对边相等且平行，对角线相等且互相平分即可判断． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴A、C、D正确，不符合题意， 对角线不一定垂直，错误，符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来 盆花． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的对角线性质在实际生活中的应用，分类讨论的数学思想．根据矩形的对角线相等且互相平分可知当一条对角线有偶数盆花时，另一条对角线要有相同盆数；当一条对角线有奇数盆花时，另一条对角线的盆数要少一盆． 【详解】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以当一条对角线有24盆花时，另一条对角线要有相同盆数即24盆； 如果一条对角线用了35盆花，因为两对角线的交点处有一盆，所以还需要从花房运来34盆花． 如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来盆花． 故答案为：，，． 【跟踪专练2】如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及等边三角形的判定及性质，过点作于点，可知在中，，取中点，连接，可证得为等边三角形，可知，则．熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底， ∴平行四边形的高是矩形宽的一半． 在中，， 取中点，连接，则， ∴，则为等边三角形， ∴，则． 故选：A． 【题型2.由矩形性质求角度】 【典例】在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】70 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握矩形性质和等腰三角形性质是解题的关键． 依据矩形对角线相等且互相平分的性质，得出，确定为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角，得到，根据三角形内角和，结合已知，通过计算出的度数． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴． 在中，， 则是等腰三角形， ∴ ． ∵， ∴． ∴． 故答案为：70． 【跟踪专练1】如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形与三角形．熟练掌握矩形性质，三角形周长，勾股定理，是解题关键． 矩形性质可知，根据，，，得，解方程即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ∴， ∵的周长为12，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：5． 【题型3.由矩形性质求线段长】 【典例】如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，，．若以BC的中点为坐标原点，BC边所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立与矩形的性质，掌握利用矩形对边平行且相等的性质，结合坐标系的方向确定点的坐标是解题的关键． 先根据坐标系的建立规则，确定上点的坐标；再结合矩形对边平行且相等的性质，利用的边长，推导点的坐标． 【详解】解：以的中点为坐标原点，边所在直线为轴： ∵，为中点， ∴， ∴点坐标为，点坐标为， ∵矩形中，，且平行于轴， ∴点由点向右平移个单位得到，坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理． 由矩形的性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 故选：A． 【题型4.由矩形性质求面积】 【典例】矩形的长和宽分别是3与2，则它的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的面积等于长乘以宽，进行计算即可． 【详解】解：由题意，矩形的面积为； 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，先整理得，再结合图形得，因为已知与的面积差，则只需要知道的长，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则 ， 要求矩形的周长，求出即可， 现已知与的面积差， 则只需要知道的长． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】利用矩形的性质和面积转化思想，通过证明三角形面积相等，将分散的阴影部分面积整合为一个规则图形的面积来计算． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形、四边形和四边形都是矩形． ∴，，，，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和面积转化思想，解题关键是通过三角形面积相等的关系，将分散的阴影面积整合为可直接计算的矩形面积． 【题型5.由矩形性质证明】 【典例】已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴，， ∴； 故B、D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选：C 【跟踪专练1】如图，在矩形中，直线分别交于点E，F，O，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得出，确定，再由全等三角形的判定即可证明． 【详解】解：添加条件为：， 证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ） A．2 B．7 C．18 D． 【答案】D 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，求得，并且根据勾股定理正确地列出方程是解题的关键． 由矩形的性质得，，，由折叠得，，则，所以，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 把沿折叠，点C落在边上的F处， ，， ，， ， ， ， 解得：， 故选：D． 【题型6.求矩形在坐标系中的坐标】 【典例】.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质．先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与的位置相同， 的坐标为． 故选：D． 【跟踪专练2】将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 【答案】（8，10） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论． 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G， 则四边形BEHG是矩形， ∴HG=BE，∠EBG=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， ∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°， ∴∠ABG=∠DCF， ∵在△ABG与△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG=DF，BG=CF， ∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4， ∴CF=12， ∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8， ∴A（8，10）， 故答案为：（8，10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【题型7.矩形与折叠问题】 【典例】如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为，若∠AD＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A．55° B．50° C．60° D．65° 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知∠BDC=∠BD，故∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°，根据∠ADB+∠BDC=90°，列方程求∠BDC． 【详解】由折叠的性质，得∠BDC=∠BD， 则∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADB+∠BDC=90°， ∴∠BDC-20°+∠BDC=90°， 解得∠BDC=55°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质．关键是根据∠ADB+∠BDC=90°列方程求解． 【跟踪专练1】如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点O，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了图形翻折变换的性质，勾股定理．根据矩形的性质以及折叠的性质可得到，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：5． 【跟踪专练2.】如图，长方形纸片中，，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠性质，勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质，设，则，运用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片中，，，折叠，使点D与点B重合， ∴，， 设，则， ∴， 解得：， 故， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 【题型8.矩形的判定定理理解】 【典例】在平行四边形中，若两条对角线相等，则平行四边形为 形． 【答案】矩 【分析】本题考查矩形的判定，由两条对角线相等的平行四边形是矩形即可解答． 【详解】解：由于平行四边形的两条对角线相等，则此四边形是矩形； 故答案为：矩． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（   ） A．四角相等的四边形是矩形 B．三角相等的平行四边形是矩形 C．两角为直角的四边形是矩形 D．一角为直角的平行四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理．根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、四角相等的四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意； B、三角相等的平行四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意； C、两角为直角的四边形不一定是矩形，原说法不正确，本选项符合题意； D、一角为直角的平行四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】有一个角是 的 叫做矩形． 矩形的 个角都是直角． 矩形的对角线 ． 矩形既是 对称图形，又是 对称图形，它至少有 条对称轴． 有 个角是直角的四边形是矩形． 对角线相等的 是矩形． 【答案】 直角 平行四边形 四 相等 中心 轴 两 三 平行四边形 【分析】根据矩形的定义、判定及性质：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它至少有两条对称轴．有三个角是直角的四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形．逐题解答即可得到答案． 【详解】解：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． ②矩形的四个角都是直角． ③矩形的对角线相等． ④矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它至少有两条对称轴． ⑤有三个角是直角的四边形是矩形． ⑥对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：直角；平行四边形；四；相等；中心；轴；两；三；平行四边形． 【点睛】本题考查矩形的定义、判定及性质，熟记矩形的定义、判定及性质是解决问题的关键． 【题型9.添条件使四边形是矩形】 【典例】已知是的对角线，要判定为矩形，可添加的一个条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据对角线相等的平行四边形是矩形，判定即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，四边形是平行四边形，且对角线、相交于点O，请你添加一个条件使得四边形成为矩形，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定定理，从角或对角线的角度添加条件即可判定平行四边形 是矩形．本题主要考查矩形的判定定理，熟练掌握“对角线相等的平行四边形是矩形” “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 【详解】解：可添加条件： ， 四边形 是平行四边形，且 平行四边形 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一） ． 【跟踪专练2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定知识点，解题关键是熟练掌握矩形的判定定理，并结合平行四边形的基本性质对每个选项进行逻辑推导． 需要结合平行四边形的性质，对每个选项进行分析，判断能否推出平行四边形是矩形． 【详解】解：A、在平行四边形中，，根据平行线性质，是恒成立的，这只是平行四边形的基本性质，不能判定它是矩形，不符合题意； B、在平行四边形中，，根据平行线性质，也是恒成立的，不能判定它是矩形，不符合题意； C、在平行四边形中，，∴．若，则可推出．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形是矩形，符合题意； D、在平行四边形中，本身就有对角相等的性质，即，这不能判定它是矩形，不符合题意． 故选：C． 【题型10.证明四边形是矩形】 【典例】如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件 使四边形是矩形．（写一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加条件即可． 【详解】解：添加条件， 理由是：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，的两条对角线相交于点O，添加下列条件仍不能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 由矩形的判定方法分别对各个选项进行判定即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， A、∵， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、， ∴平行四边形是菱形，故选项C符合题意； D、∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，，，．若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形与矩形的判定，勾股定理，掌握利用中位线定理判定平行四边形，结合对角线相等判定矩形，再用勾股定理计算边长是解题的关键． 利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，结合判定它为矩形，再在直角三角形中用勾股定理求的长． 【详解】解：，，分别是，，的中点， ，，，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：5． 【题型11.由矩形的性质与判定求角度】 【典例】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 【详解】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， 故选C． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC，若S△ABC＝2，则S△ACD＝ ． 【答案】4+4 【分析】根据折叠的性质可得，分别求出，，求出，即可得出． 【详解】解：如图：过点作于点， 是等腰直角三角形，， ，即， ， 折叠， ，， 纸片为矩形， 折叠后，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，等腰直角三角形，三角形的面积，勾股定理，通过折叠得出是解题的关键. 【跟踪专练2】的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出． 先由勾股定理的逆定理判定，再根据中位线定理判定四边形是矩形且求出的长，最后根据直角三角形的面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示．不妨设中，，点分别是的中点．    ∵， ∴是直角三角形． ∴． ∵点分别是的中点． ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是矩形．则， ∵DE、DF分别是△ABC的中位线， ∴， 于是在中，． 故选：B． 【题型12.由矩形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，点A、B在直线m上，点C、D在直线n上，，则等于 ． 【答案】6 【分析】由已知证明四边形为矩形，从而得出对边相等． 【详解】∵ ∴ ∴四边形为矩形 ∴， 故答案为：6. 【点睛】本题考查矩形的性质和判定，掌握矩形的判定方法是关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（  ） A．5 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论． 【详解】连接，如图， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理，延长交于H，证明四边形是矩形，再求出、的长，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，延长交于H， ∵矩形和矩形的一组邻边长分别为5和12， ，，，， ，， ，四边形是矩形， ，， ， ∴， 故答案为：． 【题型13.由矩形的性质与判定求面积】 【典例】某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了矩形的判定和性质．先证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线相等，且相互平分， ∴四边形为矩形， ∵相邻两边的边长分别为，即矩形的长、宽分别为， ∴四边形的面积为 故答案为：6 【跟踪专练1】如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 【跟踪专练2】如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 12 【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】解∶（1）∵，是的中点， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点M作于点N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 故答案为：12 【题型14.斜线中线性质应用】 【典例.】如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”这一知识点，据此即可求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴． 故选：C 【跟踪专练1】如图，在中，，，是的中点，则的值为 ． 【答案】5 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线定理求出的值． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理，可得： 因为是的中点，根据直角三角形斜边中线定理，所以. 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线定理，解题关键是先利用勾股定理求出斜边长度，再运用直角三角形斜边中线定理求出中线长度． 【跟踪专练2】如图，中，，以的直角边为斜边，向外作，连接；则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，三角形的三边关系．取的中点E，连接，根据勾股定理可得，从而得到的长，再由直角三角形斜边的性质可得的长，然后在中，利用三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， 在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵为的斜边， ∴， 在中，， 即的最大值为． 故选：C 1．如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．先求得，根据三角形的周长公式求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． 证明平行四边形是矩形，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． 3．如图，把一张矩形纸片，折叠后使顶点和顶点重合，折痕为，若，，求重叠部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，并利用勾股定理建立方程求解线段长度是解题的关键． 利用矩形和折叠的性质，设为未知数，结合勾股定理列方程求出的长度，再根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：设， ∵矩形中，，， ∴． ∵折叠后与重合， ∴，，． 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∵的高为， ∴． 4．如图，四边形是平行四边形，是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)要使四边形是矩形，需添加______（一个条件），理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)（不唯一）；对角线相等的平行四边形是矩形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接对角线交对角线于点，由，，即可得出结论； （）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接对角线交对角线于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，是对角线上的点，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：要使四边形是矩形，需添加（不唯一），理由如下： 由（）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 故答案为：（不唯一），对角线相等的平行四边形是矩形． 5．如图，在中，，点D、点O分别是、的中点，连接、，延长至点E，使，连接、． (1)求证：四边形是矩形． (2)若F是上一动点，直接写出与四边形面积相等的三角形和四边形． 【答案】(1)见详解 (2)和矩形，四边形， 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行公理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）首先得到四边形是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判断矩形即可； （2）根据四边形是矩形，得到，运用平行线之间距离处处相等，于是得到，根据面积关系进行分析，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，且点D是的中点， ∴， 即， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）得四边形是矩形， ∴， 结合平行线之间距离处处相等 ∴， ∴四边形面积， ∴四边形面积， 即与四边形面积相等的三角形和四边形分别是和矩形，四边形． 6．某海上有一小岛，为了测量小岛两端，的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知是的中点，是延长线上的一点，且，测得海里，海里，海里． (1)求小岛两端、的距离； (2)过点作交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)小岛两端、的距离为34海里 (2)海里 【分析】此题考查了勾股定理和直角三角形的性质的应用，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据即可求出答案； （2）设，求出，再根据勾股定理求出，在中，由勾股定理得：，得到，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得： （海里） ，点是的中点， （海里）， （海里）， 答：小岛两端、的距离为34海里. （2）设， ∵点是的中点， （海里）， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 海里. 7．如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等面积法，余角定理，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据矩形的性质得出直角和相等的边，然后利用勾股定理和等面积法求出线段的长度即可； （2）过F作于点M，过F作于点N，利用勾股定理和等面积法求出相关线段的长度，得出，，然后利用等角的余角相等得出，最后利用等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由勾股定理得； ∵， ∴由等面积得，， ∴； （2）证明：过F作于点M，过F作于点N， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由等面积可得， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）， 同理：， ∴， ∴． 8．古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端点A相连，．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为． (1)若，，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； (2)若的长为，比长，求桥面的宽． 【答案】(1) (2)桥面的宽长为． 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质． （1）由勾股定理求出，求出，，，即得； （2）求出，， ，根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴（）， ∵， ∴， 由题意可知：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴（）， ∴， 故从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长为； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵比长， ∴， ∵， ∴， ∴， 故桥面的宽长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11矩形寒假预习讲义 · 懂定义：知道矩形是 “有一个角是直角的平行四边形” · 记性质：掌握四个角为直角、对角线相等且平分 · 辨关系：分清矩形与平行四边形的联系与区别 · 会应用：能用性质做简单计算与说理 · 拓结论：了解直角三角形斜边上中线等于斜边一半 预习必备 知识点梳理 1.矩形的定义 2.矩形的性质 3.矩形的判定 4.矩形与平行四边形的性质对比 5.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.矩形性质理解 2.由矩形性质求角度 3.由矩形性质求线段长 4.由矩形性质求面积 5.由矩形性质证明 6.求矩形在坐标系中的坐标 7.矩形与折叠问题 8.矩形的判定定理理解 9.添条件使四边形是矩形 10.证明四边形是矩形 11.由矩形的性质与判定求角度 12.由矩形的性质与判定求线段长 13.由矩形的性质与判定求面积 14.斜边中线性质应用 强化题型 (解答题8题) 【知识点01.矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 数学语言：在平行四边形ABCD中，若∠ABC=90∘，则平行四边形ABCD是矩形。 核心要点：必须同时满足 “平行四边形”+“一个直角”，二者缺一不可；矩形属于平行四边形，但平行四边形不一定是矩形。 【知识点02.矩形的性质】 矩形具备平行四边形的所有性质，同时有自身特殊性质，从边、角、对角线、对称性四方面梳理： （一）边的性质（与平行四边形一致） 对边平行且相等：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 邻边互相垂直（由直角推导）。 （二）角的性质（特殊性质） 矩形的四个角都是直角（90∘）。 数学语言：若四边形ABCD是矩形，则∠A=∠B=∠C=∠D=90∘。 推导：平行四边形对角相等、邻角互补，一个角为直角，其余三角均为直角。 （三）对角线的性质（特殊性质） 对角线互相平分（平行四边形共性）：矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则AO=CO，BO=DO。 对角线相等（矩形特性）：AC=BD。 数学语言：若四边形ABCD是矩形，则AC=BD。 证明：在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB=90∘，BC=CB，故△ABC≅△DCB(SAS)，得AC=BD。 推论：矩形对角线将其分成四个等腰三角形（△AOB、△BOC、△COD、△DOA）。 （四）对称性 中心对称图形：对称中心是对角线的交点O。 轴对称图形：有2 条对称轴，为过对边中点的直线（横向、纵向各 1 条）。 【知识点03.矩形的判定】 判定分定义判定和定理判定，核心是从 “平行四边形” 或 “普通四边形” 出发，添加条件证矩形： （一）定义判定（基础） 数学语言：在平行四边形ABCD中，若∠A=90∘，则平行四边形ABCD是矩形。 （二）定理判定 数学语言：在平行四边形ABCD中，若AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形。 关键：前提必须是平行四边形，仅 “对角线相等” 不能判定普通四边形为矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。 数学语言：在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C=90∘，则四边形ABCD是矩形。 推导：三个直角可推出第四个角为直角，进而得对边平行，证为平行四边形 + 直角，即矩形。 【知识点04.矩形与平行四边形的性质对比】 图形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等、邻角互补 互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 中心对称 + 轴对称（2 条） 【知识点05.易错点提醒】 1.判定时混淆前提：“对角线相等的四边形” 不是矩形，必须先证是平行四边形，再添 “对角线相等”。 2.性质应用误区：矩形对角线不垂直（垂直是正方形特性），仅互相平分且相等。 3.对称性混淆：矩形对称轴是对边中点连线，非对角线（对角线是角平分线，但非对称轴）。 【题型1.矩形性质理解】 【典例】如图，已知矩形，对角线，交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来 盆花． 【跟踪专练2】如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型2.由矩形性质求角度】 【典例】在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，，则 ． 【题型3.由矩形性质求线段长】 【典例】如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，，．若以BC的中点为坐标原点，BC边所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点D的坐标为 ． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为（　　） A． B． C．5 D． 【题型4.由矩形性质求面积】 【典例】矩形的长和宽分别是3与2，则它的面积是 ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型5.由矩形性质证明】 【典例】已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，直线分别交于点E，F，O，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ） A．2 B．7 C．18 D． 【题型6.求矩形在坐标系中的坐标】 【典例】.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 【题型7.矩形与折叠问题】 【典例】如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为，若∠AD＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A．55° B．50° C．60° D．65° 【跟踪专练1】如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点O，若，则的长为 ． 【跟踪专练2.】如图，长方形纸片中，，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型8.矩形的判定定理理解】 【典例】在平行四边形中，若两条对角线相等，则平行四边形为 形． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（   ） A．四角相等的四边形是矩形 B．三角相等的平行四边形是矩形 C．两角为直角的四边形是矩形 D．一角为直角的平行四边形是矩形 【跟踪专练2】有一个角是 的 叫做矩形． 矩形的 个角都是直角． 矩形的对角线 ． 矩形既是 对称图形，又是 对称图形，它至少有 条对称轴． 有 个角是直角的四边形是矩形． 对角线相等的 是矩形． 【题型9.添条件使四边形是矩形】 【典例】已知是的对角线，要判定为矩形，可添加的一个条件是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形是平行四边形，且对角线、相交于点O，请你添加一个条件使得四边形成为矩形，这个条件可以是 ． 【跟踪专练2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【题型10.证明四边形是矩形】 【典例】如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件 使四边形是矩形．（写一个即可）    【跟踪专练1】如图，的两条对角线相交于点O，添加下列条件仍不能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，，，．若，则的长为 ． 【题型11.由矩形的性质与判定求角度】 【典例】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【跟踪专练1】如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC，若S△ABC＝2，则S△ACD＝ ． 【跟踪专练2】的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【题型12.由矩形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，点A、B在直线m上，点C、D在直线n上，，则等于 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（  ） A．5 B．4 C． D．3 【跟踪专练2】如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为 ． 【题型13.由矩形的性质与判定求面积】 【典例】某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为 ． 【跟踪专练1】如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【跟踪专练2】如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 【题型14.斜线中线性质应用】 【典例.】如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【跟踪专练1】如图，在中，，，是的中点，则的值为 ． 【跟踪专练2】如图，中，，以的直角边为斜边，向外作，连接；则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长． 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 3．如图，把一张矩形纸片，折叠后使顶点和顶点重合，折痕为，若，，求重叠部分的面积． 4．如图，四边形是平行四边形，是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)要使四边形是矩形，需添加______（一个条件），理由是______． 5．如图，在中，，点D、点O分别是、的中点，连接、，延长至点E，使，连接、． (1)求证：四边形是矩形． (2)若F是上一动点，直接写出与四边形面积相等的三角形和四边形． 6．某海上有一小岛，为了测量小岛两端，的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知是的中点，是延长线上的一点，且，测得海里，海里，海里． (1)求小岛两端、的距离； (2)过点作交的延长线于点，求的长． 7．如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 8．古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端点A相连，．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为． (1)若，，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； (2)若的长为，比长，求桥面的宽． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $