精品解析：江苏省苏州市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

高二数学试卷 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系计算即可； 【详解】由题知直线的斜率为， 因为，所以倾斜角， 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质计算准线方程即可； 【详解】因为抛物线焦点在轴正半轴上，且， 所以准线方程为． 故选：A． 3. 某班级20名学生参加数学测验的得分如下：62，65，68，70，71，73，75，75，77，78，79，81，82，85，87，89，90，92，95，98，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 87 B. 88 C. 89 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】由于，第15个数为87，第16个数为89， 所以第75百分位数为， 故选：B． 4. 在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，，则（ ） A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算可得，，即可根据求和公式求解. 【详解】由题得， 因为等比数列各项均为正数．所以，所以， 则，所以． 故选:C． 5. 在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心距，得到两圆相交，有两条公切线． 【详解】圆心，半径， ，故圆心，半径． 圆心距， 所以两圆相交，有两条公切线． 故选：B． 6. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】先确定回答“是”的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为， 回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 故选：A 7. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 64 B. 127 C. 256 D. 511 【答案】B 【解析】 【分析】法1：由等比数列的性质得到，从而得到； 法2：根据，得到，所以． 【详解】法1：因为数列为等比数列，所以， 所以 ； 法2：设出公比为， 则 ， 所以． 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，，上有一点位于第一象限，线段交轴于点，若为的角平分线，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法1，利用角平分线定理及三角形相似可得，，利用椭圆的定义求出，即可求离心率， 法2，设，，，利用面积关系列出方程求解. 【详解】如图， 法1：由角平分线性质得①． 因为，， 故， 可得②， 联立①②，，． 所以， 椭圆离心率. 法2：设，，则． 设，则， 由，可得． ， 所以，， 故，所以为等腰直角三角形， 所以，所以， . 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若的各项均为正数，则一定是递增数列 B. 若是常数数列，则一定是常数数列 C. 若是等差数列，则可能是等差数列 D. 若是等比数列，则可能是等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据与的关系可判断A；举特例可判断BCD. 【详解】A选项，，则递增，A正确； B选项，若是常数数列，则，当时，不是常数数列，B错误； C选项，若是等差数列，公差为0时， ，是等差数列，C正确； D选项，若是等比数列，公比为1时，，不是等比数列， 公比不为1时，设公比为，则，不是等比数列，D错误； 故选：AC. 10. 现有一枚质地均匀的骰子，甲、乙两人各掷一次，设事件“甲掷得的点数为奇数”，“甲掷得的点数为偶数”，“两人掷得的点数之和为奇数”，“两人掷得的点数之和大于8”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与相互独立 C. 与互斥 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据概率判断对立事件和互斥事件，根据古典概型、事件相互独立的定义计算概率判断； 【详解】对于A，事件为‘甲掷得的点数为奇数’，事件为‘甲掷得的点数为偶数’， 在甲掷一次骰子的试验中，事件与必有一个发生且仅有一个发生，故与互为对立事件，A正确；． 对于B，事件发生的概率为，事件发生的概率为， 事件的基本事件有共9种， 所以事件的概率为， 所以事件与独立，B正确． 对于C，比如两人掷得的点数为，其点数之和为，既是奇数（属于事件），也大于（属于事件）， 所以事件与可能同时发生，不是互斥事件，C错误； 对于D，事件的基本事件有6种， 所以事件的概率为， 因为，即，选项D正确； 故选：ABD． 11. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点（）的直线与交于，两点，直线，分别交于，两点．记，，面积为，面积为，则（ ） A. B. 的最小值为4 C. 当时，为锐角 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线：，然后再与抛物线联立结合韦达定理即可对A判断求解；由即可对B判断求解；由可对C判断求解；设，，结合抛物线焦半径性质及三角形面积公式可得，即可求解. 【详解】A：设直线：，联立抛物线得， 则，，故A正确； B： ，当时取到等号，故B错误； C：时，．故为锐角，C正确；． 选项D：设，， 则，． ，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若样本数据1，2，5，8，的平均数为5，则这组数据的极差为______． 【答案】8． 【解析】 【分析】根据平均数可得,即可根据极差的定义求解 . 【详解】，所以极差为． 故答案为：8 13. 在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于，两点，的中点为，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求得线段的最大值； 【详解】直线：过定点， 因为为中点，所以，即， 所以点在为直径的圆上， 即点轨迹方程为圆：． 所以， 当点，，共线时取等，故的最大值为． 故答案为：. 【点睛】 14. 在数列中，已知，（），则的前10项和的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据绝对值符号分类讨论，计算前10项和，进而得到最小值； 【详解】因为，所以或， 为使前项和最小，应使每项尽可能小，， 当时，为使最小，取； 当时，为使最小，，此时或，故 当时，，为使最小，取， 依此类推，可得使最小的数列为 该数列的前10项为，所以. 故的前10项和的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，，，． （1）若，，成等比数列，求正整数的值； （2）记（），求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件解得等差数列的通项公式，结合等比数列性质求参数的值； （2）利用错位相减法计算前项和； 【小问1详解】 因为数列为等差数列，设公差为， 由 或6， 当时，，当时，，不满足，故舍去； 所以，，；． 若，，成等比数列， 则， 当时，，解得；因为是正整数，所以舍掉； 当时，，解得； 【小问2详解】 ， 则①， 得②． ①－②得 ； 所以． 16. 某学校对高一年级全体学生进行了“每日体育活动时长”的问卷调查（单位：小时），收集到的数据分成5组：，，，，，得到如下频率分布直方图： （1）若每组中的数据以该区间的中点值为代表，试估计该校高一年级学生每日体育活动时长的平均值； （2）规定：“每日体育活动时长不少于1小时”为达标，现从全体参加问卷调查的学生中随机抽取一个容量为200的样本． ①根据频率分布直方图，估计样本中学生的达标人数； ②根据频率分布直方图，从每日体育活动时长在，的学生中，采用分层抽样的方法随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人出来访谈，求被抽取的2人中恰有1人每日体育活动时长在的概率． 【答案】（1）1 （2）①90；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图平均数公式求解；（2）①“每日体育活动时长不少于1小时”为达标，计算频率，然后求人数；②先用分层抽样抽取样本，然后由古典概型计算概率. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ①“每日体育活动时长不少于1小时”的频率为， 则容量为200的样本中，学生达标人数为人； ②时长在，的学生的频率比为3∶1， 所以采用分层抽样的方法随机抽取4人中， 有3人在组中，设这3人为，，， 有1人在组中，设这一人为， 从这4人中抽取2人的事件共有6种， 其中恰有1人活动时长在的事件有3种， 所以被抽取的2人中恰有1人每日体育活动时长在的概率为． 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，直线与圆：相切且与交于，两点． （1）求的标准方程； （2）求证：； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)由题意分别可求出，即可求解； （2）分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，然后将直线分别与椭圆联立，再结合韦达定理可证明； （3）：结合（2）利用等面积法可得，化简后则得，再利用基本不等式即可求得，从而可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的上顶点为，所以， 又因为离心率，即， 所以，则． 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 ①若直线斜率不存在， 不妨为，代入椭圆方程可解得， 可得，． 所以，所以 ②若直线斜率存在，设直线方程为，，， 因为直线与圆相切， 则圆心到直线距离， 联立直线方程与椭圆方程 化简整理得，． ，， 所以 ，所以． 【小问3详解】 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离． 由（2）知，为直角三角形，． 由等面积法得， 则 则可得 因为，当且仅当时取等， 所以 得．故， 即的最小值为． 18. 已知数列的前项和为，，（）． （1）求的值； （2）判断数列是否为等比数列？说明理由，并据此求出的通项公式； （3）记（），数列的前项和为，若存在，使得，求实数的最大值． 【答案】（1）3 （2）不是等比数列，理由见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）把代入等式中，计算可得结果； （2）根据条件先求得递推关系，结合等比数列的定义判断数列是否是等比数列；并求得通项公式； （3）根据裂项相消法计算，结合不等关系求得最值； 【小问1详解】 在（）中，令得， 【小问2详解】 数列不是等比数列 理由：因为（），则（，且） 两式相减得． 则，则， 因为，而．所以当时，上式不成立， 所以数列不是等比数列， 而当时，，． 所以，（）， 所以，（）． 所以． 【小问3详解】 法1：由（2），则． 故． ． 则 故的最大值为． 法2：由（2），则， 则 所以 当为偶数时， 所以，存在正偶数使之成立， 显然当时，有最大值，即； 当为奇数时， ． ． 所以，存在正奇数使之成立， 显然当时，有最大值，即； 综上，若存在，使得，则，即实数的最大值为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为，，，过作互相垂直的两条直线，，交的左支于，两点，交的两支于，两点，线段，的中点分别为，．记直线的斜率为（），，的面积分别为，． （1）求的标准方程； （2）求证：为定值； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程计算双曲线的标准方程； （2）直线与双曲线联立，结合三角形面积公式证得定值； （3）根据题中的条件，计算参数的取值范围； 【小问1详解】 根据题意可知，解得， 所以的标准方程为 【小问2详解】 证明：设：，：，，． ． ，，即 设：，代入得： 整理得：，同理：． 则，为方程，所以 得：，故：，恒过定点． 所以； 【小问3详解】 由（2） ． 因为，在左支，，在左右两支， 渐近线为，故，又，故． 故． ，解得：． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 某班级20名学生参加数学测验的得分如下：62，65，68，70，71，73，75，75，77，78，79，81，82，85，87，89，90，92，95，98，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 87 B. 88 C. 89 D. 90 4. 在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，，则（ ） A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024 5. 在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.3 7. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 64 B. 127 C. 256 D. 511 8. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，，上有一点位于第一象限，线段交轴于点，若为的角平分线，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若的各项均为正数，则一定是递增数列 B. 若是常数数列，则一定是常数数列 C. 若是等差数列，则可能是等差数列 D. 若是等比数列，则可能是等比数列 10. 现有一枚质地均匀的骰子，甲、乙两人各掷一次，设事件“甲掷得的点数为奇数”，“甲掷得的点数为偶数”，“两人掷得的点数之和为奇数”，“两人掷得的点数之和大于8”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与相互独立 C. 与互斥 D. 11. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点（）的直线与交于，两点，直线，分别交于，两点．记，，面积为，面积为，则（ ） A. B. 的最小值为4 C. 当时，为锐角 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若样本数据1，2，5，8，的平均数为5，则这组数据的极差为______． 13. 在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于，两点，的中点为，则的最大值为______． 14. 在数列中，已知，（），则的前10项和的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，，，． （1）若，，成等比数列，求正整数的值； （2）记（），求数列的前项和． 16. 某学校对高一年级全体学生进行了“每日体育活动时长”的问卷调查（单位：小时），收集到的数据分成5组：，，，，，得到如下频率分布直方图： （1）若每组中的数据以该区间的中点值为代表，试估计该校高一年级学生每日体育活动时长的平均值； （2）规定：“每日体育活动时长不少于1小时”为达标，现从全体参加问卷调查的学生中随机抽取一个容量为200的样本． ①根据频率分布直方图，估计样本中学生的达标人数； ②根据频率分布直方图，从每日体育活动时长在，的学生中，采用分层抽样的方法随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人出来访谈，求被抽取的2人中恰有1人每日体育活动时长在的概率． 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，直线与圆：相切且与交于，两点． （1）求的标准方程； （2）求证：； （3）求的最小值． 18. 已知数列的前项和为，，（）． （1）求的值； （2）判断数列是否为等比数列？说明理由，并据此求出的通项公式； （3）记（），数列的前项和为，若存在，使得，求实数的最大值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为，，，过作互相垂直的两条直线，，交的左支于，两点，交的两支于，两点，线段，的中点分别为，．记直线的斜率为（），，的面积分别为，． （1）求的标准方程； （2）求证：为定值； （3）当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $