江苏省苏州市2024-2025学年高二上学期期末数学练习卷

苏州市2024-2025学年高二上学期期末数学练习卷 一、选择题 1．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，则点P横坐标的取值范围是( ) A. B. C. D. 2．已知数列中,,,则的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 3．已知M为所在平面内的一点，，，则( ) A. B. C. D. 4．直线关于直线对称的直线方程为( ) A. B. C. D. 5．在1和11之间插入m个数,使得这个数成等差数列.若这m个数中第1个为a,第m个为b,则的最小值是( ) A. B.2 C.3 D. 6．已知P为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 7．已知点P，Q分别为圆与圆上的任意一点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8．一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( ) A. B.1 C.2 D. 二、多项选择题 9．数列为等差数列，为其前n项和.已知，，则下列结论正确的有( ) A. B.公差 C. D.当或时，最小 10．如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是( ) A.若平面，则最小值为 B.若平面，则， C.若，则P到平面的距离为 D.若，时，直线与平面所成角为，则 11．过点P作抛物线的两条切线，，切点为，，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是( ) A.点P的坐标为 B.若线段的中点为M，与抛物线交于点N，则 C.设抛物线上A，B之间任意一点Q处的切线分别与，交于点C，D，记，，的面积分别为，，，则 D. 三、填空题 12．已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为______________. 13．正弦函数在上反函数,叫做反正弦函数,记作,表示一个正弦值为x的角,该角的取值范围在区间内,如：．在中,,,,D、E分别为BC、AB的中点,动点P在所在平面内且满足,则的最大值为__________． 14．已知数列中, ,且,,,,,则的前项和______________. 四、解答题 15．已知圆和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； (3)过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 16．已知数列的前n项和为,,. （1）证明:数列为等比数列; （2）设,求数列的前n项和; （3）是否存在正整数p,q（）,使得,,成等差数列?若存在,求p,q;若不存在,说明理由. 17．在中，，D为BC的中点，点N满足.将沿AD折起，使点B到达点的位置，连接，如图.点M满足，二面角的大小为. (1)证明：平面； (2)若，求直线DN与平面所成角的正弦值. 18．设函数.证明: 1.对每个,存在唯一的,满足; 2.对任意,由1中构成的数列满足. 19．已知O为坐标原点，双曲线的左､右顶点分别为，圆过点，与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为D，且. (1)求C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线l与双曲线C的左､右两支的交点分别为Q，P，连接并延长，交双曲线C于点R，记直线与直线的交点为B，证明：点B在曲线上. 参考答案 1．答案：B 解析：由椭圆方程得，，设，则，，所以.① 又点P在椭圆上，则，即，代入①得， 所以， 故选B. 2．答案：C 解析：由题,, 故选:C. 3．答案：C 解析：如图所示， 由题意得. 故选：C. 4．答案：B 解析：设点.是所求直线上任意一点，则关于直线的对称点为，且点在直线上，所以，整理得.所以所求直线的方程为.故选B. 5．答案：C 解析：由题可知,,, 所以有, 当且仅当,即,时等号成立, 此时a,b满足,,所以的最小值是3. 故选：C. 6．答案：A 解析：方法一：当轴时，有两个点P满足为直角三角形； 当轴时，有两个点P满足为直角三角形. 使为直角三角形的点P有且只有4个， 以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，， ，，又，解得. 方法二：由使为直角三角形的点P有且只有4个，且当点P落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，得，又，.故选A. 7．答案：B 解析：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则圆心距，所以两圆外离，所以.故选B. 8．答案：B 解析：如图所示： 设钢球的圆心为 若钢球触及凹槽的最底部，则钢球的半径，抛物线上的点与圆心之间的距离的平方为， 若的最小值在时取到，则钢球触及凹槽的最底部， 故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧，所以，所以， 所以，从而清洁钢球的半径r的范围为， 所以清洁钢球的最大半径为1. 9．答案：ABD 解析:因为，，所以，解得，故A正确. 设等差数列的公差为d，则，故B正确. 对于选项C，D，因为， 所以， 而；由于二次函数的图像开向上， 且对称轴为直线，所以当或时，最小，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10．答案：ACD 解析：如图，以点D为坐标原点， 以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则有，，， ，，， ，，， 则，， ， 对于A：，，． 设平面的一个法向量为， 则有， 令，则，故． 因为， 平面， 所以， 得，又因为，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：，则， 若平面，则有， 即， 解得，，故B错误； 对于C：若，则， 则P到平面的距离为 ，故C正确； 对于D：，当，时， ， 则 ， 当时，， 当时， ， 当且仅当时，等号成立， 故， 即，故D正确． 故选：ACD. 11．答案：ABD 解析：对于选项A，由，得到， 则，由导数的几何意义知， 曲线在点处的切线方程为， 整理得到， 又，所以， 即， 同理可得曲线在点的处切线方程为， 则， 解得， 所以点P的坐标为，故选项A正确； 对于选项B，易知， 由选项A知的方程为， 所以，代入， 得， 所以N是线段的中点，故，所以选项B正确， 对于选项C，由选项B知垂直x轴，不妨设， 则 ， 由，同理可得， 所以，故选项C错误； 对于选项D，点P的坐标为， 点F的坐标为， 则 ， 又由抛物线定义可知， 所以，故选项D正确， 故选：ABD. 12．答案： 解析：因为直线与直线互相垂直， 所以，解得， 联立，解得直线和的交点坐标为， 故答案为：. 13．答案：3 解析：令,, 依据反正弦函数的定义可得,,,,, 可得,即, ,,,所以有,即． 所以,则, 以D为原点,BC为x轴,DE为y轴建立平面直角坐标系, 设,,,, ∵,, ∴, 故答案为：3． 14．答案： 解析：根据题意,当n为偶数时,,则,即,解得, 所以数列满足（n为偶数）；,又,, 所以 . 故答案为：. 15．答案：(1)和 (2)存在，定点，定值或定点，定值 (3)证明见解析， 解析：(1)当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为， 由圆心到切线的距离为1， 所以，解得， 则，整理得， 综上，切线的方程为和 (2)由题设，若，则， 整理得， 若存在，使为定值， 又， ， 则， 整理得， 即， 整理得， 要使为定值， 则， 得，，或，，， 综上，存在定点，定值， 或定点，定值 . (3)设，，， ，， 由，则， 即， 又，故，同理， 所以直线CD为， 又M在CD上，所以， 故点E在直线上. 16．答案：（1）证明见解析; （2）; （3）存在,,. 解析：（1）,,当时,, 两式相减得,即, 则有,当时,,则,即, 所以数列是以1为首项,为公比的等比数列. （2）由（1）得,,则,数列是等差数列, 于是,解得,则, 所以的前n项和 . （3）由（1）知,, 由,,成等差数列,得,整理得, 由,得,又,,,不等式成立, 因此,即,令,则, 从而,显然,即, 所以存在,,使得,,成等差数列. 17．答案：(1)证明见解析 (2). 解析：（1）由，，得， 则，而平面，平面， 所以平面 （2）由，D为BC的中点，得， 将沿折起后，，， 则是二面角的平面角， 而二面角的大小为，则， 又，平面， 则平面，在平面内过D作， 以D为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 不妨设， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．答案：1.证明:对每个,当时, , 故在内单调递增. 由于,当时, , 故. 又 , 所以存在唯一的,满足. 2.证明:当时, , 故. 由在内单调递增知, , 故为单调递减数列, 从而对任意. 对任意,由于,① ,② ①②式并移项,利用, 得 . 因此,对任意,都有. 解析： 19．答案：(1) (2)证明见解析 解析：(1)因为圆过点， 得，所以，. 在中，， 所以， 所以是等边三角形，. 双曲线C的一条渐近线的斜率为， 即，所以. 故C的方程为. (2)证明点B在曲线上， 即证明点B在曲线上. 设直线，， 则. 联立 得， 则，. 直线的方程为， 直线的方程为 将直线与直线的方程变形可得 , 即, ①+②得， 即， 即， 化简可得. ①-②得， ， ， ， 化简得. 将代入可得， 即点B在曲线上. 学科网（北京）股份有限公司 $$