江苏南京市某校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

高二年级期末考试试卷 数 学 2026.01 本试卷满分150分，考试用时150分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的准线方程是    A. B. C. D. 2.等比数列的前n项和为，且，，则(    ) A. 63 B. 48 C. 31 D. 15 3.某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书.从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有(    ) A. 13种 B. 40种 C. 种 D. 种 4.已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线C上存在点P满足，则双曲线C的一条渐近线方程为(    ) A. B. C. D. 5.点关于直线对称的点的坐标为     A. B. C. D. 6.已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为         A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7.若圆与圆的公共弦长为，则(    ) A. 1 B. C. 2 D. 8.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知两直线与，则(    ) A. 直线过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 当时， D. 当时，与之间的距离为 10.已知函数，则    (    ) A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11.已知抛物线C：的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于，两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 抛物线C的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以M为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线在点处的切线方程为 . 13.某校3名男大学生和2名女大学生被安排到3个不同的单位实习，每个实习单位至少安排1名实习学生且性别相同，则不同的安排方法有           种. 14.若A， B是平面内不同的两定点，动点 P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是           . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，， 求BC边所在的直线方程； 求的面积. 16.本小题15分 设等差数列 的前n 项和为 ，已知 ， ，求： 数列 的通项公式； 数列 的前n 项和 ． 17. 本小题15分 已知圆C的圆心为，且圆C经过点 求圆C的标准方程； 若直线l：与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长； 求过点且与圆C相切的直线方程. 18.本小题17分 已知函数， (1)当时，求的极值； (2)若函数在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围； (3)若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 19.本小题17分 已知椭圆的离心率是，且过点 求椭圆C的标准方程； 过点的直线l与C交于A，B两点. 若，且直线l的倾斜角为，求线段AB的长； 若直线l的斜率不为0，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出s的最小值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期末考试试卷 数学答案 2026.01 一、单选题： 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B D C B A A 二、多选题： 9 10 11 AC AC ABD 三、填空题： 12.  13.24  14.  四、解答题： 15.解：因为，， 所以BC所在的直线方程为， ˙˙˙˙˙˙˙˙˙4分 即 ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙6分 ，C两点间的距离为， ˙ ˙˙˙˙˙˙8分 点A到直线BC的距离， ˙˙˙˙˙11分 所以的面积为 ˙˙˙˙˙13分 16. 解：设等差数列的公差为d， 等差数列 中， ，  ，  ，  ， 联立 ， ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙2分  ， ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙4分  ； ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙6分  ，˙˙˙˙˙˙˙˙9分  ， ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙12分  . ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙15分 17. 解：设圆的标准方程为：， 将点代入，可得，解得，˙˙˙˙˙˙2分 所以圆C的标准方程为； ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙4分 圆心到直线l：的距离， ˙˙˙˙˙6分 所以弦长； ˙˙˙8分 根据，可知在圆外； ˙˙˙˙˙9分 ①当过点的直线斜率不存在时， 直线为，与圆相交，不符合题意； ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙11分 ②当过点P的直线斜率存在时， 设过P与圆相切的直线方程为，即， 根据圆心到切线的距离， 可得，解得， ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙13分 可得切线方程为或 ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙15分 综上所述，过点且与圆C相切的直线方程为或 18. 解：(1)函数 f(x)的定义域为， 当 时， , 所以, ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙2分 令，解得 或, 当时，， 单调递增；当 时， ， 单调递减；当时，， 单调递增；˙˙˙˙˙˙4分 因此，函数的极大值为，极小值为.˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙6分 (2)由已知的定义域为， 则题意等价于在上恒成立， 即在上恒成立，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙8分 由对勾函数性质知，时，， 当且仅当时等号成立， ，即；˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙11分 (3)由已知， 有两个极值点，， ，为方程的两个不相等的实数根， 则，，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙13分 ，， 又，解得， ，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙15分 设， 则， 在上单调递减， 又，， ， 即的取值范围为˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙17分 19. 解：椭圆的离心率是，且过点， 得，得， 又，所以， 又， 解得，， 所以椭圆C的标准方程为；˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙5分 设，； 由题意可得直线l的方程为，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙7分 联立， 得， 所以，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙9分 所以；˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙11分 存在点P，使得为定值，s的最小值为； 由题意，可设l：， 联立， 得， 则，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙13分 且，因为， 所以 ，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙15分 因为为定值，所以，得， 因为，所以， 20. 当且仅当，即时，等号成立， 故s的最小值为˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙17分 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $