精品解析：陕西安康市2025-2026学年高三年级上学期教学质量检测数学试题

高三年级教学质量检测 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 为发展某市旅游业以带动民生经济，某文旅采用线上直播方式进行景色展示与农产品售卖，已知其在5天内售卖的农产品的数量分别为210，224，202，244，252，则这组数据的第70百分位数为（ ） A. 210 B. 224 C. 234 D. 244 3 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线平分圆的面积，则（ ） A. B. C. D. 5. 美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式.已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，要让该植物的高度达到5米，需要的年数为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6. 已知，，若，，则（ ） A -1 B. C. D. 0 7. 已知数列满足，设，则数列的前2026项和（ ） A B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，，在抛物线上，若为等腰直角三角形，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件为一组相互独立的事件，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 若质点位移公式为，则（ ） A. 质点运动的最小正周期为 B. 当时位移为正 C. 质点的初速度为 D. 在内，质点运动的路程为 11. 若双曲线，右焦点为，为上任意一点，为圆上一点，则（ ） A. 的两条渐近线夹角的正切值为 B. 与无公共点 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则__________. 13. 把一个圆心角为，半径为的扇形卷成一个圆锥，此圆锥的体积为__________. 14. 若，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，已知，. （1）求的通项公式和前项和； （2）令，的前项和为，若，求的最大值. 16. 在中，设，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，. （1）求外接圆的面积； （2）若，求的值及的面积. 17. 如图，已知一个圆台的上、下底面半径分别为2、3，高为3，轴截面与轴截面的夹角为，为下底面圆周上一点，，连接，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在椭圆中，以的四个顶点为顶点的四边形面积为，离心率为. （1）求、的值； （2）设为上位于第一象限内的一点，过点作的切线，与轴，直线分别交于，. ①求的点斜式方程（仅含有）； ②求当、轴、直线及围成的面积取最小值时的方程. 19. 已知初等函数的定义域为，令，若，，则是一个下凸函数. （1）分别判断是否是上的下凸函数？请说明理由； （2）已知，，，是公差不为0的等差数列，的定义域为，求证：为下凸函数是成立的充分不必要条件； （3）已知下凸函数的定义域为，且，，求证：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级教学质量检测 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集和质数的概念，直接求解即可. 【详解】由已知得，. 故选：B 2. 为发展某市旅游业以带动民生经济，某文旅采用线上直播的方式进行景色展示与农产品售卖，已知其在5天内售卖的农产品的数量分别为210，224，202，244，252，则这组数据的第70百分位数为（ ） A. 210 B. 224 C. 234 D. 244 【答案】D 【解析】 【分析】先从小到大排列这组数据，再由百分位数计算方法即可计算求解. 【详解】这组数据从小到大排列为202，210，224，244，252， 因为，故这组数据的第70百分位数为从小到大第四个数，即为244. 故选：D. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量平行坐标表示的结论求参数. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A 4. 已知直线平分圆的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据圆的标准方程求出圆心坐标，进而代入直线方程求解即可. 【详解】圆变形可得， 圆心为，由题意可知直线经过圆心， 所以，则. 故选：D 5. 美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式.已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，要让该植物的高度达到5米，需要的年数为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先根据确定的值，再根据求的值即可. 【详解】依题意可得，则，解得，，. ，进一步可以判断在上单调递增， 由，故， 所以要让该植物的高度达到5米，需要的年数为2. 故选：A 6. 已知，，若，，则（ ） A. -1 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及角的范围求出，再由特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为，，所以， 又已知，故， 因为，， 由正弦函数图像和性质可知，即， 所以. 故选：A. 7. 已知数列满足，设，则数列的前2026项和（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用已知等式作差计算得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】因为①， 当时， ②， 由①-②得到，得到， 又时，，满足， 所以，则， 所以 ， 则数列的前2026项和为. 故选：C. 8. 已知抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，，在抛物线上，若为等腰直角三角形，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据为等腰直角三角形和其面积求出抛物线方程,再利用抛物线的定义先求出的最小值,再求出的最大值. 【详解】由题意得,,, 因为为等腰直角三角形,所以. 因为,所以,所以.所以抛物线方程为. 过点作轴的垂线,过点作轴的垂线,两者交于点. 由抛物线定义可知,所以. 所以最小时,取得最小值. 由图易知当为抛物线切线时取最小值,不妨设点在轴下方, 因为,所以. 设点,所以, 因为,所以，所以. 所以. 因为,所以. 即的最小值为,所以的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件为一组相互独立的事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据事件相互独立的定义可判断A正确，利用概率加法公式直接计算可得B错误，D正确；利用相互独立事件性质可得C错误. 【详解】对于A：因为事件与事件相互独立，所以，故A正确； 对于B：因为，故B错误； 对于C：因为，所以， 因为事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立， 于是，故C错误； 对于D：因为，故D正确. 故选：AD. 10. 若质点的位移公式为，则（ ） A. 质点运动的最小正周期为 B. 当时位移为正 C. 质点的初速度为 D. 在内，质点运动的路程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质判断A，令求出所对应的的范围，即可判断B，求出函数的导函数，求出，即可判断C，再根据路程的定义判断D. 【详解】对于A：质点运动的最小正周期为，故A正确； 对于B：令，所以，，解得，， 因为，所以当时位移为正，故B正确； 对于C：因为，所以，则质点的初速度为，故C错误； 对于D：因为，则，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以在内的路程为，在内的路程为， 所以在内，质点运动的路程为，故D正确. 故选：ABD. 11. 若双曲线，右焦点为，为上任意一点，为圆上一点，则（ ） A. 的两条渐近线夹角的正切值为 B. 与无公共点 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据渐近线斜率及二倍角的正切公式判断A，联立方程，利用判别式判断B，根据圆的切线的性质判断C，利用动点到圆心的距离的最值判断D. 【详解】的渐近线方程为，其中一条渐近线的斜率，所以的两条渐近线夹角的正切值为，所以A正确； 由，消去得，，所以与无公共点，所以B正确； ，的半径为，当与相切时，的最大值为，所以C错误； 设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为 ，当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则__________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的概念即可解答. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 把一个圆心角为，半径为的扇形卷成一个圆锥，此圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求得扇形的弧长，从而求得圆锥底面圆的半径，再求得圆锥的高，最后利用体积公式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，所以， 所以圆锥高为，所以圆锥的体积为. 故答案为： 14. 若，，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】变形给定等式，构造函数并确定其单调性，由此性质求解即得. 【详解】 ，令函数， 而函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 又原等式等价于，由，得， 因此，所以. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，已知，. （1）求的通项公式和前项和； （2）令，的前项和为，若，求的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，利用等差数列的性质求出的通项公式和前项和即可； （2）利用等比数列的前项和公式，构建不等式判断的最大值即可. 【小问1详解】 设公差，因为，， 所以，，， 所以，. 【小问2详解】 ，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以，所以，故的最大值为. 16. 在中，设，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，. （1）求外接圆的面积； （2）若，求的值及的面积. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质、三角形内角和定理，结合正弦定理进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，，成等差数列， 所以， 因为，所以，所以， 设外接圆的半径为， 由正弦定理得，， 所以三角形外接圆的面积为. 【小问2详解】 由余弦定理得，， 所以， 所以，所以或. 当时，； 当时，. 17. 如图，已知一个圆台的上、下底面半径分别为2、3，高为3，轴截面与轴截面的夹角为，为下底面圆周上一点，，连接，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求两个平面夹角的余弦. 【小问1详解】 因为为下底面圆周上一点，所以， 因为，所以， 因为下底面，下底面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 如图，过在下底面内作一条直线与垂直，分别以直线、、为，，轴建立空间直角坐标系， 因为轴截面与轴截面的夹角为，所以， 所以的方向向量为， 由（1）得，平面的一个法向量为， 因为圆台的上、下底面半径分别为2、3，高为3， 所以，，， 设平面的一个法向量为，所以， 令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 在椭圆中，以的四个顶点为顶点的四边形面积为，离心率为. （1）求、的值； （2）设为上位于第一象限内一点，过点作的切线，与轴，直线分别交于，. ①求点斜式方程（仅含有）； ②求当、轴、直线及围成的面积取最小值时的方程. 【答案】（1）， （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆长轴长和短轴长的定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可； （2）①运用导数的几何意义，结合导数的运算法则、直线的点斜式方程进行求解即可； ②根据梯形的面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 由已知得， 解得，. 【小问2详解】 ①由得，，所以， 的方程为，因为， 所以的方程为. ②令、得，，， 设的右顶点为，所以梯形的面积为 ， 令，所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以， 因为与轴围成的面积为定值， 所以当且仅当即时，、轴、直线及围成的面积取得最小值， 此时的方程为. 19. 已知初等函数的定义域为，令，若，，则是一个下凸函数. （1）分别判断是否是上的下凸函数？请说明理由； （2）已知，，，是公差不为0的等差数列，的定义域为，求证：为下凸函数是成立的充分不必要条件； （3）已知下凸函数的定义域为，且，，求证：，. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据下凸函数的定义进行证明. （2）利用下凸函数的定义，先证充分性；再举例说明必要性不成立. （3）设，求导，分析函数的单调性，求其极小值，可得，再用反证法证不成立即可. 【小问1详解】 ，， 因为当时，， 所以不是上的下凸函数. 【小问2详解】 令，不妨设，，，的公差为且， 充分性：因为定义在上的函数是下凸函数， 所以，，即在上单调递增， 设，则， 所以在上单调递增， 故，即， 所以， 即成立， 所以充分性成立； 必要性：令，，，，，，， 则，再令，则，当时，， 所以不是下凸函数， 但 ， 所以， 所以，必要性不成立. 【小问3详解】 下凸函数的定义域为， 所以在上单调递增， ，设，则， 当时，；当时，； 函数在内单调递减，在内单调递增， 所以， 即， 因为，， 所以， 所以， 假设，使，则当时，， 这与，矛盾，故不存在使成立， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $