精品解析：四川成都市双流区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

四川省成都市双流区2025－2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（ 每小题4分，共32分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求． 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果，，那么 C. 两个锐角之和一定是钝角 D. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 4. 如果关于x和y的二元一次方程的解，那么m的值是（ ） A. 1 B. －2 C. 2 D. 3 5. 在一次体育活动中，八年级某班42名同学1min跳绳的次数的箱线图如图所示，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 6. 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程的解为（ ） x －2 －1 0 1 2 mx＋n －5 －2 1 4 7 A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（ 本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：=___． 10. 学校举行演讲比赛，小明同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分，若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小明同学的总成绩为________分． 11. 已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为______． 12. 如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺． 13. 已知无论k取何值，直线：与直线：都交于一个固定的点，则这个点的坐标是________． 三、解答题（ 本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程组：． 15. 某校组织七、八年级学生参加了“安全知识”测试，已知该校七、八年级学生人数相同，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（ 单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 数据整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　 　 ，　 　 ； 小明同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，他是哪个年级的学生？说明判断的理由； （2）你认为哪个年级的学生掌握安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 16. 在如图正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点）三个顶点的坐标分别为，． （1）请在如图网格平面内画出平面直角坐标系； （2）请在如图网格平面内画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （3）若点，且轴，则的长为__________． 17. 水钟也叫“漏刻”或“漏壶”，在我国的古代被许多民族和地区用于计时．小明在充分了解水钟的原理后，也设计出一款水钟．如图是他设计的水钟的示意图，水从上面的贮水壶（ 内含补偿装置）慢慢漏入下方透明玻璃制成的受水壶中．经过反复实验，可以确定漏水量是均匀的，当受水壶存有高的初始水量时，其后水面随着贮水壶的水的漏入，其高度也均匀地升高，在某次实验中，当受水壶的水面高度为时，小明开始计时，2小时后，测得水面高度为． （1）请你用恰当的数学形式描述出受水壶水面高度与高度变化所经历的时间之间的关系； （2）某天晚上时，小明开始入睡，此时水钟从初始状态开始计时，第二天小明醒来时，观察到水钟受水壶水面高度为，请问小明是何时醒来的？ 18. 如图，在中，，D，E分别在边，上，且，的平分线交延长线于点F，点H在边上，连接交于点M，且． （1）求，，之间的等量关系式； （2）若，求的度数； （3）在（ 2）的条件下，将△的顶点E固定，位置重新摆放，且保证边在直线上方，重新摆放过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求的度数． 一、填空题（ 每小题4分，共20分） 19. 规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________． 20. 已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a+b的值为________． 21. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 22. 已知直线l1：与l2：相交于点P，现有直线l3：，若，不能围成三角形，则k的值为_____________________． 23. 如图，在中，，，，为延长线上一点，以为边向左侧作等边三角形，连接，当取最小值时，的长为_________________． 二、解答题（ 本大题共3个小题，共30分） 24. 为发展校园足球运动，某校决定购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多40元，若购买5套队服与10个足球需花费1400元．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． （1）求每套队服和每个足球的价格是多少？ （2）若学校购买100套队服和个足球，到甲商场和乙商场购买装备所花的费用分别为、，请分别写出、与之间的关系式，并判断当时，到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 25. 如图，直线，点A在直线上，过点A的直线和分别与相交于B，C两点，过点A作于点D，点D关于直线对称的点恰好在直线l1上．E是线段上一点，且点C和点E关于过点D的某条直线对称，连接并延长与相交于点F，连接，． （1）求的长； （2）猜想线段，和的数量关系，并证明你的结论； （3）当点E为线段的中点时，求的值． 26. 已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点． （1）求a，b的值； （2）如图1，将直线绕点A顺时针旋转得到直线l，求直线l的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，点C是第一象限内直线l上一点，过点C作轴，垂足为D，E为线段上一点，连接，若，当为等腰三角形时，求点C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市双流区2025－2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（ 每小题4分，共32分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求． 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算． 根据负数小于0和正数比较两负数大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵正数大于0，0大于负数， ∴最小的数是． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是本题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：A．点位于第二象限，符合题意； B．点位于第四象限，不合题意； C．点位于第一象限，不合题意； D．点位于第三象限，不合题意； 故选：A． 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果，，那么 C. 两个锐角之和一定是钝角 D. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，全等三角形的性质、不等式的传递性、锐角与钝角的定义、对顶角的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．逐一分析各选项命题的真假即可． 【详解】解：∵全等三角形能够完全重合，完全重合的图形面积相等， ∴选项A是真命题； ∵当，，时，，，但， ∴选项B是假命题； ∵两个锐角和的和为，是锐角，不是钝角， ∴选项C是假命题； ∵两直线平行时，同位角相等，但同位角不是对顶角， ∴选项D是假命题； 故选：A． 4. 如果关于x和y的二元一次方程的解，那么m的值是（ ） A. 1 B. －2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查二元一次方程的解．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键． 5. 在一次体育活动中，八年级某班42名同学1min跳绳的次数的箱线图如图所示，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查下四分位数，中位数，最大值，平均数的定义，根据题意逐项判断即可解答． 【详解】解：由题意可知，八年级某班42名同学1min跳绳次数的下四分位数是140，中位数150，上四分位数163，最小值125，最大值178， ∴各个选项中，由图不能确定这组数据的平均数， 故选：D． 6. 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先根据两直线平行，内错角相等得出，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故． 故选：B． 7. 整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程的解为（ ） x －2 －1 0 1 2 mx＋n －5 －2 1 4 7 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据表格数据直接求解即可． 根据表格数据，直接找到整式 的值为 时对应的 值即可． 【详解】解：由表格可知，当 时，， ∴ 方程 的解为 ， 故选：B． 8. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出，即可求解． 【详解】解：设，，， ∴依题意得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：A． 二、填空题（ 本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：=___． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴， 故答案为：-2 10. 学校举行演讲比赛，小明同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分，若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小明同学的总成绩为________分． 【答案】83 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，总成绩由初赛成绩和复赛成绩按给定权重计算得出答案即可． 【详解】解：小明同学的总成绩为： ． 故答案为：83． 11. 已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是函数解析式组成的二元一次方程组的解． 根据题意求出，交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：直线与的交点的坐标为， ， 交点坐标为， 关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为： ． 12. 如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺． 【答案】3.2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，知道竹子折断后刚好构成一个直角三角形是解题的关键． 设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺，根据题意结合勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺， 则由勾股定理可得，， 解得， 即折断处离地面的高度为3.2尺， 故答案为：3.2． 13. 已知无论k取何值，直线：与直线：都交于一个固定的点，则这个点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数交点问题，欲求两直线的固定交点，可联立两直线方程，通过消去参数求出交点坐标，解方程求出，再代入求，即可解答． 【详解】解：由题意得， 整理得， 解得． 将代入， 得． 所以这个点的坐标是． 故答案为． 三、解答题（ 本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、解二元一次方程组，熟练掌握相关运算是解答的关键． （1）先化简二次根式和绝对值，计算零指数幂，再加减运算即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2） ，得， ，得，解得， 把代入①，得，解得， 所以方程组的解是． 15. 某校组织七、八年级学生参加了“安全知识”测试，已知该校七、八年级学生人数相同，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（ 单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 数据整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　 　 ，　 　 ； 小明同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，他是哪个年级的学生？说明判断的理由； （2）你认为哪个年级的学生掌握安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）85，87， 小明是七年级的学生，理由如下： 小明同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； （2） 解：我认为八年级的学生掌握安全知识的总体水平较好， 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握安全知识的总体水平较好． 【解析】 【分析】本题考查中位数、方差、众数，会利用方差和中位数做决策是解答的关键． （1）利用中位数和众数的定义求解a、b值，再根据中位数的定义可得结论； （2）根据方差越小，成绩越稳定可得答案． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数， 故答案为：85，87； 【小问2详解】 略 16. 在如图正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点）三个顶点的坐标分别为，． （1）请在如图网格平面内画出平面直角坐标系； （2）请在如图网格平面内画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （3）若点，且轴，则的长为__________． 【答案】（1） 建立平面直角坐标系，如下图所示： （2） 如下图所示， 顶点的坐标是 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、作图-轴对称变换、坐标与图形． (1)借助点、的坐标建立平面直角坐标系； (2)根据轴对称的性质，在坐标系中画出关于轴对称的图形，再根据坐标系写出点的坐标； (3)根据轴，可得、两点的纵坐标相等，从而可得方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标，根据、两点的坐标求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分别作出点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 顶点的坐标是； 【小问3详解】 解：由平面直角坐标系可知，点的坐标是， 轴， ， 解得：， ， 点的坐标是， ， 故答案为：． 17. 水钟也叫“漏刻”或“漏壶”，在我国的古代被许多民族和地区用于计时．小明在充分了解水钟的原理后，也设计出一款水钟．如图是他设计的水钟的示意图，水从上面的贮水壶（ 内含补偿装置）慢慢漏入下方透明玻璃制成的受水壶中．经过反复实验，可以确定漏水量是均匀的，当受水壶存有高的初始水量时，其后水面随着贮水壶的水的漏入，其高度也均匀地升高，在某次实验中，当受水壶的水面高度为时，小明开始计时，2小时后，测得水面高度为． （1）请你用恰当的数学形式描述出受水壶水面高度与高度变化所经历的时间之间的关系； （2）某天晚上时，小明开始入睡，此时水钟从初始状态开始计时，第二天小明醒来时，观察到水钟受水壶水面高度为，请问小明是何时醒来的？ 【答案】（1） （2）次日 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设受水壶水面高度与经历时间的函数关系式为，代入数值计算即可； （2）根据水面高度变化量计算出时间，进而解题． 【小问1详解】 解：设受水壶水面高度与经历时间的函数关系式为， 当时，，代入得； 当时，，代入得， 解得； ∴函数关系式为：； 【小问2详解】 解：水面高度变化量为， 每小时升高，所需时间， 从开始计时，经过后到了次日． 答：小明是次日醒来的． 18. 如图，在中，，D，E分别在边，上，且，的平分线交延长线于点F，点H在边上，连接交于点M，且． （1）求，，之间的等量关系式； （2）若，求的度数； （3）在（ 2）的条件下，将△的顶点E固定，位置重新摆放，且保证边在直线上方，重新摆放过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求的度数． 【答案】（1） （2） （3）或或或或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质，分类讨论是解答的关键． （1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得结论； （2）设，则，，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，，根据直角三角形的两个锐角互余列方程求得，进而可求解； （3）分为①当时，②时，③当时，④当时， ⑤当时，分别利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由三角形外角性质可得； 【小问2详解】 解：设，则，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 解得， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：由（ 2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴，， ①当时， 此时； ②时， 此时， ∵， ∴； ③当时，延长、交于点K， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； ④当时， 此时， ∴点F在延长线上， ∴； ⑤当时， 此时， ∴； 综上，的度数为或或或或． 一、填空题（ 每小题4分，共20分） 19. 规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，根据“最美实数”的定义，非零实数的算术平方根等于它的立方根，解得该实数为，代入表达式求． 【详解】解：设最美实数为，则，且， 两边六次方得， 即， 解得：或， 由于为非零实数， ， ， 解得：． 故答案为：． 20. 已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a+b的值为________． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（﹣x，y），可求出a、b值，即可求得a+b的值． 【详解】解：∵M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称， ∴a=﹣4，b=3， ∴a+b=﹣4+3=﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标、代数式求值，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律是解答的关键． 21. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，根据正方形的性质得到，证明≌，推出，根据解题即可． 【详解】解：如图： 设，， ∴， ∵四边形、四边形和都是正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴≌， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：20． 22. 已知直线l1：与l2：相交于点P，现有直线l3：，若，不能围成三角形，则k的值为_____________________． 【答案】或3或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和几何图形的结合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 根据三条直线交于一点以及两条直线平行，无法构成三角形来进行解答． 【详解】解：联立的解析式得， ， 解得， ∴， 若直线经过点，则， 解得； 若直线与直线平行，则； 若直线与直线平行，则； 综上，k的值为或3或， 故答案为：或3或． 23. 如图，在中，，，，为延长线上一点，以为边向左侧作等边三角形，连接，当取最小值时，的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】在的延长线上取一点，连接，使，在上取一点，使，连接，连接交于点，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，结合勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，根据等边三角形的判定和性质求出，，，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，求得，推得时，的值最小，根据三角形内角和定理求得，结合直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：在的延长线上取一点，连接，使，在上取一点，使，连接，连接交于点，如图： 在中，，， ∵， ∴， 在中，， 故， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴垂直平分， 故， ∵， 故是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点在定直线上运动， 当时，根据垂线段最短可得，此时的值最小，如图： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理，等角的余角相等，正确添加辅助线是解题的关键． 二、解答题（ 本大题共3个小题，共30分） 24. 为发展校园足球运动，某校决定购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多40元，若购买5套队服与10个足球需花费1400元．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． （1）求每套队服和每个足球的价格是多少？ （2）若学校购买100套队服和个足球，到甲商场和乙商场购买装备所花的费用分别为、，请分别写出、与之间的关系式，并判断当时，到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】（1）每套队服的价格是120元，每个足球的价格是80元 （2），；乙商场合算 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设每个足球的价格为元，根据题意列出方程并求解即可； （2）根据题意分别表示出和，将代入比较即可． 【小问1详解】 解：由题意，设每个足球的价格为元，每套队服的价格为元， ∴， 解得， ∴每套队服的价格：（元）； 答：每套队服的价格是120元，每个足球的价格是80元； 【小问2详解】 解：由题意，甲商场购买100套队服可赠送足球数量：个， ∵， ∴需要额外购买的足球数量为个， ∴； 乙商场购买100套队服满足优惠条件，足球单价变为：元， ∴； ∴当时，元，元， ∴， ∴到乙商场购买更合算． 25. 如图，直线，点A在直线上，过点A的直线和分别与相交于B，C两点，过点A作于点D，点D关于直线对称的点恰好在直线l1上．E是线段上一点，且点C和点E关于过点D的某条直线对称，连接并延长与相交于点F，连接，． （1）求的长； （2）猜想线段，和的数量关系，并证明你的结论； （3）当点E为线段的中点时，求的值． 【答案】（1） （2） ； 证明：过D作交于H， ∵点C和点E关于过点D的某条直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解； （2）过D作交于H，证，得出，然后证明是等腰直角三角形，得出，最后根据求解即可； （3）过D作交于N，根据平行线分线段成比例定理得出，得出，，从而求得，最后求得即可． 【小问1详解】 解：如图，设点D关于直线对称的点为P， 平分， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过D作交于N， ∵点E为线段的中点， ，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，构造辅助线证三角形全等及利用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 26. 已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点． （1）求a，b的值； （2）如图1，将直线绕点A顺时针旋转得到直线l，求直线l的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，点C是第一象限内直线l上一点，过点C作轴，垂足为D，E为线段上一点，连接，若，当为等腰三角形时，求点C的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点B作交于G，过G点作轴交于F，过B点作交于E点，证明，设，求出，即可求l的解析式； （3）设，则，分别求出，，，分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：过点B作交于点G，过G点作轴交于F，过B点作交于E点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 解得，， ∴， 设直线l的解析式为， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， 当时，， 解得或（舍去）， ∴； 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得； ∴； 综上所述：C点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $