精品解析：云南省昆明市第一中学西山学校2025-2026学年度九年级上学期期末质量检测 数学试题卷

昆一中西山学校2025～2026学年度九年级上学期期末 质量检测数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中记载了用标杆测量太阳高度的方法．若规定标杆露出地面4尺记作尺，则标杆埋入地下3尺记作( ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 2. 截至2025年10月，我国的郭守敬望远镜（LAMOST）累计发布光谱数达到条，数据量稳居世界第一、其中“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线与直线，分别相交，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A 圆锥 B. 圆柱 C. 棱柱 D. 球体 7. 中华汉字，寓意深广，醉美校园，昆一西山，下列用篆体书写的“醉”“美”“校”“园”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一组数据8，1，4，6，8，则这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 10. 如图，是的直径，点A，D在上，于点E，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽相等的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，设小路的宽为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 一列代数式按以下规律排列：x，，，，，…，第n个代数式是（ ） A. B. C. D. 13. 若一个直角三角形的两条直角边分别为4和6，则斜边上的中线的长在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 14. 如图所示，在中，D，E分别为线段，上的点，，以A为圆心，任意长为半径作弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，射线分别交，于点F，G，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度，将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 因式分解：___________． 17. 如图是某树叶在显微镜下的细胞图片，一个细胞可近似看成如图多边形，则该多边形的内角和是______°． 18. 一个圆锥的底面半径是，母线长是，则此圆锥侧面展开图的圆心角为______度． 19. 为了调查全校师生对人工智能的熟悉程度，某数学小组对全校3000名师生发放了问卷，随机回收了800份，将回收问卷的调查结果绘制成如下统计图，由此估计全校师生对人工智能 “很了解”的大约有______名． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20 计算：． 21. 如图，，，，求证：． 22. 昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 23. 伟大的物理学家杨振宁先生在统计力学、凝聚态物理、粒子物理与场论四大领域，贡献了13项诺贝尔级别成就．为弘扬科学精神，某校在科技节设置了以这四个领域为背景的体验区、活动规则如下：在一个不透明的箱子里放入四张分别标有“统计力学”“凝聚态物理”“粒子物理”“场论”（依次用、、、表示）的卡片，除所标领域不同外，其他完全相同，小昆先从箱子里随机抽出一张卡片，记录卡片所标领域后不放回，随后小华从剩下的卡片中随机抽取一张． （1）小昆抽到卡片的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小昆和小华都没有抽到卡片的概率． 24 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材． 素材一 购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元． 素材二 食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元． 请完成下列任务： 任务一 甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的采购方案． 25. 如图，在四边形中，，，对角线平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 26. 已知抛物线（常数，）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线有最小值，并且过点，记，求的值． 27. 如图，四边形内接于，是的直径，平分，延长线与过点D的直线交于点E，，点P是半圆上一点（与点D位于异侧），连接，，． （1）若时，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）探究，发现与证明：若，以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆一中西山学校2025～2026学年度九年级上学期期末 质量检测数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中记载了用标杆测量太阳高度的方法．若规定标杆露出地面4尺记作尺，则标杆埋入地下3尺记作( ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际意义，利用正负数表示具有相反意义的量进行求解即可． 【详解】解：∵规定标杆露出地面4尺记作尺，即露出地面为正方向 ∴埋入地下与露出地面是相反意义的量 ∴标杆埋入地下3尺记作尺 故选：D． 2. 截至2025年10月，我国的郭守敬望远镜（LAMOST）累计发布光谱数达到条，数据量稳居世界第一、其中“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：2， 故选：C． 3. 如图，直线，直线与直线，分别相交，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是熟练应用知识点解题；根据两直线平行同位角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B ． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；需根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式、单项式除法的运算法则，逐一验证各选项的运算是否正确. 【详解】解：∵， ∴A选项错误； ∵， ∴B选项错误； ∵， ∴C选项错误； ∵， ∴D选项正确； 故答案选：D． 5. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟记反比例函数的性质是解题关键； 先利用待定系数法求出的值，再根据反比例函数的性质判断图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵， ∴反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限． 故答案为：C． 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 棱柱 D. 球体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．根据三视图的知识可使用排除法来解答． 【详解】解：如图，主视图和左视图为三角形，俯视图是圆形，故可排除B、C、D． 即只有圆锥符合题意， 故选：A． 7. 中华汉字，寓意深广，醉美校园，昆一西山，下列用篆体书写的“醉”“美”“校”“园”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该字不是轴对称图形，不符合题意； B、该字是轴对称图形，符合题意； C、该字不是轴对称图形，不符合题意； D、该字不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 8. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】由题意得，x+1⩾0， 解得 x⩾−1． 故选D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 9. 已知一组数据8，1，4，6，8，则这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义．根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为1，4，6，8，8，位于正中间的数为6， ∴这组数据的中位数是6． 故选：C 10. 如图，是的直径，点A，D在上，于点E，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 先由直角三角形锐角互余求出度数，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽相等的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，设小路的宽为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：D． 12. 一列代数式按以下规律排列：x，，，，，…，第n个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的规律探究，熟练掌握从符号、系数、次数三个维度分析数列规律是解题的关键．分别从符号、系数绝对值、的次数三方面分析规律，再综合得到第个代数式． 【详解】解：这一列代数式符号：正、负、正、负 这一列代数式符号规律：， 这一列代数式系数绝对值：，，，， 这一列代数式系数绝对值规律：， 的次数：，，，， 的次数规律：， 第个代数式， 故选：． 13. 若一个直角三角形的两条直角边分别为4和6，则斜边上的中线的长在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识． 先通过勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出中线长，最后估计无理数的大小即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为4和6 ∴由勾股定理得，斜边长度为 ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∴斜边上的中线长为 ∵ ∴，即 ∴斜边上的中线的长在3与4之间， 故选：B． 14. 如图所示，在中，D，E分别为线段，上的点，，以A为圆心，任意长为半径作弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，射线分别交，于点F，G，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据得到，则，代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∴， 故选：B 15. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度，将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用，正确掌握正切的定义是解题的关键． 利用容器内水的体积不变，剩余无水体积也不发生改变，列出方程，求出的长，再根据题意，易得，求即可求出． 【详解】解：棱长为的密封透明正方体容器，， 水的体积为：（），则剩余无水的体积为：（）， 将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平， 和斜坡平行，即也表示坡角，则， 且无水的体积是以长为，宽为，高为的长方体体积的一半，容器内水的体积不变，剩余无水体积也不发生改变， ，解得， 在中，， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 17. 如图是某树叶在显微镜下的细胞图片，一个细胞可近似看成如图多边形，则该多边形的内角和是______°． 【答案】720 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由题可知，多边形为六边形， 故内角和． 故答案为：． 18. 一个圆锥底面半径是，母线长是，则此圆锥侧面展开图的圆心角为______度． 【答案】160 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图相关计算，熟练掌握圆锥底面周长等于其侧面展开图的弧长是解题的关键．根据圆锥底面周长等于其侧面展开图的弧长这一关系，列出方程求解圆心角． 【详解】解：∵圆锥底面半径， ∴底面周长， ∵母线长，设圆心角为度， ∴侧面展开图弧长， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 19. 为了调查全校师生对人工智能的熟悉程度，某数学小组对全校3000名师生发放了问卷，随机回收了800份，将回收问卷的调查结果绘制成如下统计图，由此估计全校师生对人工智能 “很了解”的大约有______名． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，总人数乘样本中对人工智能 “很了解”的人数所占比例即可． 【详解】解：由题意得，， ∴全校师生对人工智能 “很了解”的大约有名， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的化简、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握运算方法是关键；根据二次根式、负整数指数幂、零指数幂、三角函数的计算规则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 先证出，再由证明即可． 详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 22. 昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 【答案】甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟，然后表示出各自的时间，再由“甲跑完这段路程比乙少用1分钟”建立分式方程求解． 【详解】解：设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟， 根据题意列方程得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为， 则 答：甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟． 23. 伟大的物理学家杨振宁先生在统计力学、凝聚态物理、粒子物理与场论四大领域，贡献了13项诺贝尔级别成就．为弘扬科学精神，某校在科技节设置了以这四个领域为背景的体验区、活动规则如下：在一个不透明的箱子里放入四张分别标有“统计力学”“凝聚态物理”“粒子物理”“场论”（依次用、、、表示）的卡片，除所标领域不同外，其他完全相同，小昆先从箱子里随机抽出一张卡片，记录卡片所标领域后不放回，随后小华从剩下的卡片中随机抽取一张． （1）小昆抽到卡片的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小昆和小华都没有抽到卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求简单事件的概率公式、用画树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键； （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小昆从箱子中随机抽取一张，抽中卡片的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由上图可知：所有等可能情况共种，其中小昆和小华都没有抽到卡片的情况有种， ∴． 24. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材． 素材一 购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元． 素材二 食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元． 请完成下列任务： 任务一 甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的采购方案． 【答案】 任务一：甲食材每千克元，乙食材每千克元；任务二：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题、一元一次不等式组、一次函数的性质，关键是熟练应用知识点解题； 任务一：根据题意列方程组即可； 任务二：根据题意列出不等式组，并列出总费用与甲食材数量之间的一次函数关系式，并讨论其最值． 【详解】任务一：解：设甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元， 由题意得：， 解得：， 答：甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元； 任务二：解：设采购甲食材需千克，总费用为：元， ， 解得：， ∵，， ∴随的增大而减小， 即：当时，最小，此时买甲食材千克，买乙食材千克， 答：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元． 25. 如图，在四边形中，，，对角线平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质． （1）先证明四边形是平行四边形，然后根据平行结合角平分线证明出，即可证明其为菱形； （2）连接交于点，则由菱形可得，，，然后解，结合已知得到，即，然后对运用勾股定理求解，最后由菱形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵对角线平分． ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵在中， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵中，， ∴， 解得或， ∴或， ∴或，则或， ∴菱形的面积为或． ∴菱形的面积为96． 26. 已知抛物线（为常数，）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线有最小值，并且过点，记，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称轴、最值及分式的化简求值；关键是灵活应用知识点解题； （1）根据对称轴公式求解即可； （2）根据点在抛物线上，代入点的坐标，再根据抛物线有最小值得出的取值，进而求出的值，最后化简并计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为： ∴对称轴为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线有最小值， ∴，， 即：， ∵抛物线过点， ∴，即：， ∵， ∴，即：，，， ∵， ∴． 27. 如图，四边形内接于，是的直径，平分，延长线与过点D的直线交于点E，，点P是半圆上一点（与点D位于异侧），连接，，． （1）若时，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）探究，发现与证明：若，以下三个结论：，，，你认哪个正确？请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理解答即可； （2）连接，证明，可得，再结合等腰三角形性质可得到，，从而得到，即可求证； （3）延长至点G，使，连接，过点D作于点H，证明，可得，从而得到，再由，从而得到，继而得到，进而得到，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线是的切线； 【小问3详解】 解：正确，理由见解析， 延长至点G，使，连接，过点D作于点H， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识，灵活作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $