精品解析：重庆市璧山中学校2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

重庆市璧山中学校2025-2026学年高一上学期1月月考 数学试题 本试卷共19题，考试用时120分钟，满分150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 2026年元旦假期到了，祝愿大家元旦启新，数海扬帆，步步精进，前程璀璨！是（ ）角 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】把写成的形式，再利用所在的象限进行判断. 【详解】因为，且为第三象限角， 所以为第三象限角. 故选：C 2. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合子集个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，可得， 所以集合的子集的个数为. 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】由. 所以函数的定义域为. 故选：C 4. 若函数是函数的反函数，则的值为（ ） A. 16 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数反函数,则. 故. 故选：B. 5. 函数（为自然常数）的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除D；由，可排除B；当趋近正无穷时，趋近可排除C，即可得出答案. 【详解】因为的定义为， 所以，所以为奇函数，排除D， 又因为，所以排除B， 当趋近正无穷时，趋近，故C错误. 故选：A. 6. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质进行判断即可. 【详解】因为， ， ， 所以比较可得. 故选：C. 7. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定单调性，再利用分段函数单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求出范围. 【详解】由对任意，都有成立，可得函数R上单调递减， 要使函数在R上单调递减， 需使， 解得，即实数的取值范围为. 故选：D 8. 已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析函数的图象和性质，再令，得当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根；再将函数有5个零点转化为函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在，再由二次函数的零点分布可得结果. 【详解】由函数， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增；函数图象如下： 令，由函数的图象及性质可知， 当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根； 函数有且仅有5个不同零点， 就等价于函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在. 当时，只有一个零点，不符合题意； 所以，此时二次函数，且恒成立. 当时，对称轴，，，解得； 当时，此时对称轴，二次函数在上至多有一个根，故不符合题意. 综上可知，常数a的取值范围为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 与的终边相同 C. 若为第二象限角，则为第四象限角 D. 终边经过点的角的集合是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据角度与弧度的转化求解判断A；根据终边相同的角的关系判断B；根据象限角的表示方式判断C；分和讨论，可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由，所以与的终边相同，故B正确； 对于C，因为为第二象限角，所以，， 则，， 则，， 则为第四象限角，故C正确； 对于D，当时，终边经过点的角的集合是， 当时，终边经过点的角的集合是，故D错误. 故选：ABC 10. 下列选项正确的是（   ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数，满足，则的最小值为8 D. 若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，举反例即可判断；对B，直接利用基本不等式即可判断；对C，利用乘“1”法即可判断；对D，利用基本不等式并注意取等条件即可判断. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，若，则则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对C，若，，则， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对D，， 当且仅当时等号成立，但此时无实数解，故取不到最小值2，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）． A. 函数的图象恒过定点 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上的最小值为0 D. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入验证可判断A，由复合函数的单调性判断B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断C，由函数单调性建立不等式求解可判断D. 【详解】代入函数解析式，成立，故A正确； 当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增，故B错误； 当时，，所以，故C正确； 当时，恒成立，所以由函数为增函数知即可，解得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的单调递增区间是__________. 【答案】（2，+∞） 【解析】 【分析】 根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域. 【详解】是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间， ，解得：或，函数在单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 13. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 14. 已知点在函数的图象上，且有最小值，则常数的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】分别画出函数和的图象，再根据条件求解. 【详解】设，，分别绘制，的草图如下： 其中有最小值，且； 无最小值，且，. 因为函数有最小值，所以； 点在的图象上，所以. 综上. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第三象限的点，且 （1）求，， （2）求的值 【答案】（1），； （2）0. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义列式求出，进而求出. （2）利用诱导公式化简，再利用齐次式法求解. 【小问1详解】 由角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第三象限的点， 得，，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以. 16. 已知幂函数为奇函数． （1）求； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和奇偶性，可求得参数； （2）利用函数的单调性解不等式即可. 小问1详解】 因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为是奇函数， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以，即， 解得， 所以不等式解集为. 17. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（常数.该款冰雪运动装备的日销售量Q(x)（套）与时间x的部分数据如下表所示： x 3 8 15 24 Q（x）（套） 12 13 14 15 已知第24天该商品的日销售收入为32400元. （1）求k的值； （2）给出以下两种函数模型：①；②，请你依据上表中的数据，从以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低. 【答案】（1）； （2）②，理由见解析；第3天达到最低. 【解析】 【分析】（1）将代入即可得出答案； （2）根据表中数据结合三个模型应选模型②，将，代入模型②，求对应模型解析式，检验即可得出结论，再根据结合基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 由题意，得，解得； 小问2详解】 表格中对应的数据递增速度不符合指数模型，排除模型①． 对于模型②，将，代入②，，解得， 此时，经验证，均满足，故选模型②， ， 当且仅当时等号成立，故日销售收入在第3天达到最低． 18. 已知，其中为奇函数，为偶函数. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）解关于m的不等式. 【答案】（1）； （2）在单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性构造关系式，与已知关系式消去得； （2），且，通过判断的范围判断的符号证明； （3）由的奇偶性和单调性求解. 【小问1详解】 因为为奇函数，为偶函数， 所以即①； 又②； ②①得， 即； 【小问2详解】 函数是定义在的增函数，证明如下： ，且， 则 因为， 所以， 又，所以， 所以，所以， 所以，所以，即， 所以在单调递增. 【小问3详解】 由得， 由（2）得，即，解得， 所以不等式的解集为. 19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； （3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案； （2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案； （3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以. 【小问2详解】 方程即，设， 由题意知，解得. 【小问3详解】 因为在区间上的值域恰为， 其中且，所以，则， 所以或. ①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，则，所以，所以， 则，解得， 所以在内“倒域区间”为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为. 综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市璧山中学校2025-2026学年高一上学期1月月考 数学试题 本试卷共19题，考试用时120分钟，满分150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 2026年元旦假期到了，祝愿大家元旦启新，数海扬帆，步步精进，前程璀璨！是（ ）角 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是函数的反函数，则的值为（ ） A. 16 B. 0 C. 1 D. 2 5. 函数（为自然常数）的大致图像是（ ） A B. C. D. 6. 若 ，则（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 与的终边相同 C. 若为第二象限角，则为第四象限角 D. 终边经过点角的集合是 10. 下列选项正确的是（   ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数，满足，则最小值为8 D. 若，则的最小值为2 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）． A. 函数的图象恒过定点 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上的最小值为0 D. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的单调递增区间是__________. 13. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 14. 已知点在函数的图象上，且有最小值，则常数的取值范围______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第三象限的点，且 （1）求，， （2）求的值 16. 已知幂函数为奇函数． （1）求； （2）若，解关于的不等式． 17. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（常数.该款冰雪运动装备的日销售量Q(x)（套）与时间x的部分数据如下表所示： x 3 8 15 24 Q（x）（套） 12 13 14 15 已知第24天该商品的日销售收入为32400元. （1）求k的值； （2）给出以下两种函数模型：①；②，请你依据上表中的数据，从以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低. 18. 已知，其中为奇函数，为偶函数. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）解关于m的不等式. 19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； （3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $