精品解析：广东省广州市广州外国语学校2025-2026学年高一上学期期末数学试题

2025-2026学年上学期期末考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 满足的集合的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集和真子集的含义判断元素取舍，即得集合的个数. 【详解】由可知或或，故集合的个数为3. 故选：B. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】因为，而，即不能推出， 显然当时，由于，于是， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 下列函数中最小正周期为的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A选项，对赋值，即可判断其最小正周期不是；利用三角函数的周期公式即可判断B、D的最小正周期不是，问题得解. 【详解】对A选项，令，则 ，不满足， 所以不是以为周期的函数，其最小正周期不为； 对B选项，的最小正周期为：； 对D选项，的最小正周期为：；排除A、B、D 故选C 【点睛】本题主要考查了三角函数周期公式及周期函数的定义，还考查了赋值法，属于基础题． 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. 故选：B. 5. 据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 7. 设，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用中间值得到，，利用作差法得到. 【详解】因为，所以.因为，所以. ， 易知，以下判断的正负，， 所以，，所以. 故选：D. 8. 已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象关于点对称和找到图象的对称轴和周期，再由确定单调性，分别求出，画出大致图象，最后数形结合求出取值范围. 【详解】由的图象关于点对称可得． 由，可得， 故函数的图象关于直线对称， 且，得的周期为2． 当时，， 单调递增，且，则，， 画出在一个周期内的大致图象如图所示： 当时，结合图象可得，即． 故实数m的取值范围为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据函数的图象关于点对称，确定函数的周期和对称轴. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的其中一条对称轴为 C. 函数在上的值域为 D. 函数的图象向右平移单位长度后可以得到函数的图像 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图象可求出周期，利用周期求判断A，根据图象过点，代入解析式求出，代入验证，判断B，根据正弦函数的性质求值域判断C，利用图象平移判断D. 详解】A中，由图，得，解得，故A错误； B中，因为函数的图象经过点，所以，即. 因为，所以，解得，所以， 当时，， 所以的其中一条对称轴为，故B正确； C中，当时，，故C正确； D中，函数的图象向右平移个单位长度后可以得到，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 若函数有四个零点，则 C. 若关于的方程有四个不等实根，则 D. 若关于的方程有8个不等实根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出的图象利用数形结合可判断ABC，根据图象及二次方程根的分布可判断D. 【详解】对A，当时，单调递增， 当时，单调递减， 画出的图象，可以看出关于对称， 当时，取得最小值为1， 在同一坐标系内作出的图象，可看出两函数图象有3个交点， 所以函数有3个零点，A正确； 对B，由图象可知，函数有四个零点，则，B错误； 对C，由图象可知，若关于方程有四个不等实根， 不妨设，则关于对称，关于对称， 所以，所以，C正确； 对D，令，若关于的方程有8个不等实根， 则要有2个不相等的实数根，且， 所以，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上的最大值为 B. 当时，函数的最小正周期为 C. 当，时，猜想函数的值域为 D. 对任意正整数，函数的图象都关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用辅助角公式将解析式变形，再借助正弦函数的图象即可求解；B选项利用二倍角公式将的解析式变形，即可求解；C选项利用换元将的解析式转化为，再利用导数求出函数的最值即可求出值域；D选项利用进行判断即可. 【详解】对于A选项，当时，， ，，， ， 函数在上的最大值为，故A正确； 对于B选项，当时， ， 函数的最小正周期为，故B错误； 对于C选项，当，时，，（）， 令，则，其中， 可转化为，， 令，即，化简得，解得， 当时，，且，， ，即，在上单调递减； 当时，，且，， ，即，在上单调递增； 在处取得最小值，在端点或处取得最大值， ，，， ，， 在的值域为， 即函数的值域为，故C正确； 对于D选项，， ，函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域进行求解即可. 【详解】由函数的解析式可知，或， 所以函数的定义域是. 故答案为： 13. ，用表示，，中的最小者，记为，例如中的最小值为，则函数的最大值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题设求出、、的交点横坐标，画出函数图象草图，结合函数新定义及图象写出解析式，数形结合求最大值. 【详解】令或， 令或， 令， 函数、、的图象，如下图所示， 结合题设函数新定义，为上图中实线图象所示， 所以，故时，有最大值为. 故答案为： 14. 如图，要在一块半径为6．圆心角为的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为_________，此时_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据题意，得到矩形的面积为，矩形的面积为，进而化简，结合三角函数的性质，以及基本关系式和正切的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意知，一块半径为6，圆心角为的扇形铁皮， 可得且， 在直角中，，所以， 所以， 所以矩形的面积为， 因为为的中点，所以， 所以矩形的面积为， 所以两块矩形铁皮的面积之和为： ， 其中，且， 所以，当时，取得最大值， 此时，即，所以， 因为，所以，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上可得，当时，取得最大值. 故答案为：9； 【点睛】知识方法点拨：求解三角函数实际应用问题的处理策略： 1.若已知三角函数模型，根据给定的三角函数模型，利用三角函数的图象与性质解决问题，其关键在于准确理解自变量的意义，以及自变量与函数之间的对应关系； 2、把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，结合三角函数的图象与性质等有关知识解决问题，其关键在于正确理解题意，合理建模. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． （1）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； （2）设，当点的横坐标为时，求及的值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据扇形和三角形的面积公式进行求解即可； （2）利用同角的三角函数关系，结合三角函数定义进行求解即可. 【小问1详解】 设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， 所以，， 所以图中阴影部分的面积为； 【小问2详解】 因为， 的横坐标为， 所以的纵坐标为，则， 所以，． 16. 已知均定义在上的奇函数与偶函数满足． （1）求与的解析式； （2）用定义法证明：在上单调递增； （3）证明：存在实数，使得，并解不等式：． 【答案】（1）， （2）证明见详解 （3）证明见详解， 【解析】 【分析】（1）利用函数与的奇偶性构造方程组即可求解； （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）将函数与的解析式代入等式即可求出的值，再解不等式即可. 【小问1详解】 是奇函数，是偶函数，，， 由①，将替换为得，，即②， 联立①②，相加得，； 相减得，； 的解析式为，的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，设， 则 ， ，，，，， ，即，在上单调递增. 【小问3详解】 由（1）知，， ，， ，即存在实数满足条件； 将，代入不等式得，， ，，即， 两边同时乘以得，即， ，，， 不等式的解集为. 17. 已知函数，求： （1）的最小正周期及最大值； （2）若且，求的值； （3）若，在有两个不等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，利用正弦函数的有界性可求得函数的最大值； （2）求出的取值范围，由可得出，可得出，进而可求得角的值； （3）令，由可求得，由可得出，问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）， 所以，函数的最小正周期为，最大值为； （2），则， ，可得，，解得； （3）当时，，令，则. 由可得，即，即， 所以，直线与曲线在上的图象有两个交点，如下图所示： 由上图可知，当时，即当时， 直线与曲线在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 18. 已知函数， （1）若，且为偶函数，求； （2）若函数的图象与直线有公共点，求a的取值范围； （3）若函数，是否存在m，使为负数，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数是偶函数，． 所以， 解得：，， ， 所以，因此为偶函数； 【小问2详解】 原题意等价于方程有解， 即方程有解，令， 又， 当且仅当时等号成立，即当时取等号， 故函数的值域是，故实数a的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可得， 令，， ，当且仅当时取等号． 所以，故， 存在，使为负数． 19. 定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.例如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值； （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，求其对称中心； （3）若连续函数具有以下性质：①定义域为，②在区间[0，4]上单调递减，③，都有.函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称函数的定义得，分别令、，结合时的函数解析式，求出、. （2）先确定函数定义域，再依据中心对称函数的定义计算的定值，进而得到函数的对称中心. （3）由确定的对称中心，结合的单调性得出的单调性，将不等式转化为，再结合定义域列不等式组求解的范围. 【小问1详解】 由函数的图象关于点中心对称，故有， 令，则有，故. 令，则有， 又因为当时，，故， 所以. 【小问2详解】 由，得，所以的定义域为. 因为对于， 有， 所以函数的对称中心为. 【小问3详解】 因为，都有，所以函数的图象关于点中心对称. 又因为在区间[0，4]上单调递减，所以在区间上单调递减. 由得，， 因为， 所以， 化简得， 所以. 因为函数的定义域为，所以函数的定义域为. 又因为函数且在上单调递减， 所以函数在上单调递减. 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期末考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 满足的集合的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 15 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 下列函数中最小正周期为的是 A. B. C. D. 4. 函数零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（ ） A 元 B. 元 C. 元 D. 元 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（    ） A. B. C D. 8. 已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的其中一条对称轴为 C. 函数在上的值域为 D. 函数的图象向右平移单位长度后可以得到函数的图像 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 若函数有四个零点，则 C. 若关于的方程有四个不等实根，则 D. 若关于的方程有8个不等实根，则 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上的最大值为 B. 当时，函数的最小正周期为 C. 当，时，猜想函数的值域为 D. 对任意正整数，函数的图象都关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______． 13. ，用表示，，中的最小者，记为，例如中的最小值为，则函数的最大值为________. 14. 如图，要在一块半径为6．圆心角为的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为_________，此时_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． （1）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； （2）设，当点横坐标为时，求及的值． 16. 已知均定义在上的奇函数与偶函数满足． （1）求与的解析式； （2）用定义法证明：在上单调递增； （3）证明：存在实数，使得，并解不等式：． 17. 已知函数，求： （1）的最小正周期及最大值； （2）若且，求的值； （3）若，在有两个不等的实数根，求的取值范围. 18. 已知函数， （1）若，且为偶函数，求； （2）若函数的图象与直线有公共点，求a的取值范围； （3）若函数，是否存在m，使为负数，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 19. 定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.例如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值； （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，求其对称中心； （3）若连续函数具有以下性质：①定义域为，②在区间[0，4]上单调递减，③，都有.函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $