精品解析：山西吕梁市汾阳市2025-2026学年度九年级第一学期期末学业水平测试卷 数学

2025-2026学年度九年级第一学期期末学业水平测试卷数学 满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共有1.0个小题，每小题3分，共30分） 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品只是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义，结合轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 故选D． 2. “威风锣鼓”是汾阳地区的一种民间打击乐艺术形式，历史悠久，源远流长，下图是“威风锣鼓”用鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体三视图的识别，解决本题的关键是明确左视图是从物体的左面观察所得到的视图． 根据该几何体的左视图上下为两条平行的直线，左右为凸出的曲线，由此判断左视图即可． 【详解】解：该立体图形的左视图是． 故选：A ． 3. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质．由旋转的性质可得可证△ABE是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 4. 如图，是的直径，位于两侧的点C、点D均在上，等于，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角等于对应圆心角的一半是解题的关键． 先求得，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵等于， ∴， ∴． 故选D． 5. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，据此求出、的值，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称 ∴，， ∴， 故选：C． 6. 某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共200个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可以估计袋中黑球的个数为（ ） A. 70 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由频率估计概率，先根据白球的稳定频率得到白球的概率，进而求出黑球的概率，再用总球数乘以黑球的概率得到黑球个数即可解题． 【详解】解：∵大量试验后摸到白球的频率稳定在0.6左右 ∴估计摸到白球的概率为0.6 ∴摸到黑球的概率为 ∴袋中黑球的个数为， 故选：B． 7. 2025年国庆，汾阳博物馆“火了”，汾阳博物馆于9月29日正式开放，国庆期间在社交媒体上掀起热潮，成为“网红打卡地”．该博物馆涵盖酒文化展、金石文化展、秦晋旱码头晋商文化展等五个部分，全方位多角度的展示了汾阳深厚的历史文化底蕴．据统计，国庆期间10月1日的游客量为6300人，10月3日游客量为9072人，若设1日至3日游客量日平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1日至3日游客量日平均增长率为x，再根据10月1日的游客量为6300人，10月3日游客量为9072人，据此列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：设1日至3日游客量日平均增长率为x， 由题意可得：． 故选：C． 8. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（ ） A. 函数图象开口向上 B. C. 当时，随的增大而减小 D. 关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 根据抛物线的增减性，对称轴，抛物线与x轴的交点等解答即可． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 故B选项错误； ∵对称轴直线的右边即时，y随x的增大而减小， ∴函数图象开口向下， 故A选项错误； ∵， ∴随的增大而减小， 故C选项正确； 根据题意，抛物线的顶点坐标为，函数图象开口向下， ∴抛物线的最大值为， ∴抛物线与x轴无交点， ∴关于一元二次方程（a，b，c是常数，）无实数根 故D选项错误． 故选：C． 9. 如图，在口ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么SΔBEF：SΔBCF=（ ） A. 1：6 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：2 【答案】D 【解析】 【分析】证明△EBF∽△CDF，得到EF:CF=BE:CD=1:2，△BEF和△BCF分别选择EF、CF为底，则高相同，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BECD， ∴∠BEC=∠DCF，∠EBF=∠CDF， ∴△EBF∽△CDF， ∴， △BEF和△BCF分别选择EF、CF为底，则高相同， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，本题的关键是能根据平行四边形的性质得到△EBF∽△CDF，进而求出对应边之比，然后再根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比求解． 10. 如图，在中，，，将绕的中点D顺时针旋转得到，其中点A的运动路径为弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转变换、弧长公式等知识．连接，先利用勾股定理求出，，，再根据，计算即可． 【详解】解：将绕BC的中点D顺时针旋转得到，此时点在斜边AB上，，作于点， 连接， 则，，，， ∴ ． 故选：B． 二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的一个实数根是1，则m的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将实数根1代入x2－3x+m=0，计算即可得到答案. 【详解】将实数根1代入x2－3x+m=0得到1-3+m=0，解得m=2. 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将根代入原方程. 12. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“气压×体积＝常数”先求得常数的值，再表示出气体体积V和气压p的函数解析式． 【详解】设，那么点在此函数解析式上，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 13. 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是___. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出即可． 【详解】解：根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形， 根据平行线的性质可得， 则阴影部分面积占， 则飞镖落在阴影区域的概率是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何概率，以及中心对称图形，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比，解题的关键是根据平行线的性质求出阴影部分的面积与总面积的比． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，小华想画一个三角形，使它与关于原点位似，若点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似图形对应点的坐标比相等是银题的关键． 根据关于原点位似图形对应点的坐标比相等求解即可． 【详解】解：设， ∵与关于原点位似，若的对应点的坐标是， 点的对应点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，D、E分别为AC、AB上的点，，连接BD，，垂足为F，则EF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、正切的应用等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据勾股定理可得，由线段的和差可得；由勾股定理可得，再根据等面积法可得；如图：过点E作于G，则，易证 可得；再证明可得，再根据正切函数列方程求得，则​，由勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 在中，由勾股定理得：； ∵， ∴， 又∵， ∴，解​得：； 如图：过点E作于G，则， ∴， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴​， ∴， ∴​​． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，零次幂，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，零次幂，再计算加减运算即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， 或， ，． 17. 如图，反比例函数与一次函数的图像交于，． （1）求反比例函数的表达式及的值． （2）直接写出当时，的取值范围． （3）在轴上找一点，使的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由函数图象即可得解； （3）由三角形的面积公式列式计算即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， ， 反比例函数的表达式为； 把代入得：； 【小问2详解】 解：观察图象可知，当时，的取值范围为：； 【小问3详解】 解：， ， ． 点在轴上， 或． 18. 今年开学季，汾阳市文旅局为山西医药学院2025级大一2100名新生特别推出“新生免费游汾阳”的暖心活动，太符观（A）、汾酒博物馆（B）、汾酒老作坊（C）、贾家庄文化生态区（D）四大景点，对持有录取通知书的新生及家长免费开放，新生与家长全部参与了此项活动，这样一份独特且有意义的文旅“见面礼”不仅让新生及家长多维度的认识了解汾阳，而且塑造了爱心汾阳的城市形象．开学一段时间后，学生会采用抽样调查的方式在大一新生中开展了以“我最喜欢的旅游景点”为主题的问卷调查．被抽到的新生在问卷上从四个旅游景点中选择自己最喜欢的一个．学生会根据调查所搜集的数据进行整理并绘制了如下两幅不完整统计图． 请根据统计图回答问题： （1）______，_____； （2）求该学院全体大一新生中，最喜欢“太符观”旅游点的人数． （3）学生会决定抽取两名新生调查旅游后对四处景点的认识和感受，求抽到的两名新生中恰好喜欢同一处旅游景点的概率 【答案】（1）45，30 （2）630人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图结合，根据部分求总量，根据样本频数预估总体频数，利用画树状图或列表法求概率，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据部分的实际数据和占比求出总量，然后再求出各部分的实际数据和占比即可； （2）利用样本频数预估总体频数即可； （3）利用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为（人）， ； ∵， ∴； 故答案为：45，30； 【小问2详解】 解：（人）， 答：大一新生中喜欢“太符观”的有630人； 【小问3详解】 解：列表： 另一名 一名 A B C D A B C D 由列表观察可知，共有16种可能的结果，且每种结果的可能性都相等，其中两人恰好喜欢同一处旅游景点（记为事件A）的结果有4种． ∴． 19. 汾阳市农业资源尤为丰富，“汾州小米”喜获国家地理标志产品认定．B旅游公司推出一款成本为128元的“汾州小米”礼盒，当每盒售价为198元时，每天可销售160盒．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒的售价每降低1元，每天销量可增加4盒． （1）求出公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系； （2）当降价多少元时公司每天的利润最大，最大为多少元？ 【答案】（1） （2）15元，利润最大为12100元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数最值的求解，解决本题的关键是根据题意列出利润W元与降价x元之间的函数关系． （1）设降价x元，分别表示出每天销量增加的盒数，以及售价和销量，再由利润求解即可； （2）根据利润的二次函数解析式，求解最大值即可． 【小问1详解】 解：设降价x元，则每天销量增加盒， 此时售价为元，销量为盒， ∴利润， ∴利润； 【小问2详解】 解：∵利润， 又∵， ∴函数图象开口向下， ∴当时，利润W最大． 利润最大为， 答：当降价为15元时，公司每天利润最大为12100元． 20. 某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告： 活动背景 汾阳后沟村玲珑塔是明代古建筑，位于吕梁市汾阳市峪道河镇后沟村村口高崖上，八角形七层楼阁式砖塔，2021年被公布为第六批山西省文物保护单位． 活动主题 测算玲珑塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 测量数据 1．小山坡的坡比为； 2．从点B到点A上升的高度为3米； 3．A处测得塔顶D的仰角为； 4．无人机从地面沿竖直方向飞行15米到达点P处； 5．在P处测得塔角E的俯角为，测得坡底B处的俯角为（点B，E在同一水平线上） 测量示意图 任务1 求的距离（结果精确到1米） 任务2 求玲珑塔的高度（结果精确到0.1米） 参考数据 【答案】任务1：米；任务2：米 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 任务1：过点P作于点F，则，利用求出的距离即可； 任务2：过点A作于H．于点G．利用的坡比为及米，可求出的长度，进而求出及的长度．然后利用，问题即可解决． 【详解】解：任务1：过点P作于点F，则， 在中， ，即， ． 在中，， ，即，， （米） 答：的距离为米． 任务2：过点A作于H．于点G． 的坡比为， 在中，． 点B到点A上升的高度为3米， 米，米． 又米， 米． 又四边形AGEH是矩形， ，米． 在中，， 即， （米）， （米）． 答：玲珑塔的高度约为米． 21. 阅读与思考： 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助学生们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“圆”主题下设计的问题，请你解答． 【问题展示】 如图（1），锐角三角形内接于半径为的，的边、角之间满足怎样的关系呢？ 【发现规律】 王老师提示：如图（2），连接并延长，交于点，连接 ，（依据） 是的直径 ，（依据） ， 任务：（1）依据应填_________ 依据应填_______________ （2）如图（3），在中，，是边上一动点（不与点，重合），于点，于点，连接． 若，求的长度． 若，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角；（2）； 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是直角进行作答即可； （2）取的中点，连接，，证明，得到点、、、四点在以点为圆心，为直径的同一个圆上，结合材料可知，，即可得解；由可知，，可得当时，最小，此时最小，作于点，作于点，利用勾股定理求解，，的长，根据等面积法求解的长，进而得解． 【详解】解：（1）依据：同弧所对的圆周角相等， 依据：直径所对的圆周角是直角； 故答案为：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角； （2）如图所示，取的中点，连接，， ，， ， 是的中点， ， 点、、、四点在以点为圆心，为直径的同一个圆上， 结合材料可知，，即， ； 由可知，， 当时，最小，此时最小， 如图所示，作于点，作于点， ， ， ，， ， ， ，解得， ， 即的最小值为 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练应用相关性质定理． 22. 综合与实践 问题情境：“启航中央广播电视台跨年晚会”这一国家级文化盛事首次落户革命老区吕梁．晚会以“山河脊梁”为主题，为观众呈现了一场视觉与听觉的双重盛宴． 主会场设在山西吕梁新区体育中心，该体育中心历时年建成，设计独具匠心，拥有全亚洲最大的混凝土壳体结构建筑，为国内首创，可容纳两万人．其核心舞台为双层抛物线型冰屏设计．如图所示． 数学建模：将冰屏横截面抽象为平面直角坐标系中的抛物线，以舞台地面为轴，对称轴为轴．如图（2）已知：下层抛物线顶点为，且过点：上层抛物线顶点为，其形状与下层抛物线相同，开口方向一致． （1）分别求出上、下两层抛物线的函数表达式； 问题解决： （2）工作人员计划在两层冰屏之间搭建一个矩形电子屏装置，装置的一边平行于轴，各端点分别落在上、下两层抛物线上，且装置的水平覆盖宽度为米．该装置顶部需与上层冰屏最高处保持至少米的安全距离，判断该装置是否符合安全要求，并说明理由． （3）工作人员需在下层冰屏的顶点与下层冰屏和轴的交点之间斜拉一根电缆用于悬挂基础射灯，现要在第一象限上层抛物线冰屏上找一个点，从点斜拉另一根电缆（为电缆上的一点），使电缆与垂直，求电缆长度的最大值． 【答案】（1），；（2）符合安全要求，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数最值问题，熟练掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键． （1）设下层抛物线的表达式为，利用待定系数法即可求得下层抛物线的表达式；同理根据待定系数法结合上下层抛物线形状相同，开口方向一致，求得上层抛物线的表达式； （2）当时，求出对应的，，求得装置顶部与上层冰屏最高点之间的距离，与安全距离米比较大小即可； （3）利用待定系数法求得直线的解析式，利用勾股定理求得的长，过点作轴，交于点，则，得到，列式可得，即当最大时，最大，设，，表示出，利用二次函数的最值即可求解． 【详解】解：（1）设下层抛物线的表达式为， 顶点， ， ， 又过点， ，解得， ， 上下层抛物线形状相同，开口方向一致， ， 顶点， ， ． （2）该装置符合安全要求．理由如下： 当时，（米）， 当时，（米）， 矩形装置的高度为米， 装置顶部与上层冰屏最高点之间的距离为：米米， 符合安全要求． （3）设直线的解析式为． ，关于轴对称，， ， 把，代入， 得，解得． 直线的解析式为． 在中，，， ． 如图所示，过点作轴，交于点， 则， ，即， ， 即． 当最大时，最大， 设，， ， 当时，取最大值，最大值为， 的最大值为． 答：电缆长度最大值是． 23. 综合与探究 综合与实践课上，老师带领同学们以“特殊三角形旋转”为主题开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在直角中、，，点在上，过点作于，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 如图2、将图1中的绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当直角的边时，点为直线上异于，的一点，以为直角边作等腰直角，点为斜边的中点，连接，若，，直接写出的长． 【答案】【问题发现】，理由见解析；【拓展探究】成立，证明见解析；【解决问题】或 【解析】 【分析】【问题发现】设，则，利用勾股定理求出，根据可证，利用相似三角形的性质求出和的关系； 【拓展探究】连接，可证，利用相似三角形的性质可知在旋转的过程中，与的数量关系仍然成立； 【解决问题】以点为原点建立平面直角坐标系，分点在上和点在的延长线上两种情况求出的长度． 【详解】【问题发现】解：， 理由如下： 在直角中、，， 设，则， 则， ， ， ， ， ， ， ， ； 【拓展探究】解：仍然成立， 理由如下， 如下图所示，连接， 由旋转可知， ， 又， ， ， ； 【解决问题】解：如下图所示，当点在上时， 以点为原点建立平面直角坐标系， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 过点作轴， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为， 点是的中点， 点的坐标为，即， ； 如下图所示，当点在的延长线上时， 以点为原点建立平面直角坐标系， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 过点作轴， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点坐标为， 点是的中点， 点的坐标为，即， ； 综上所述，或. 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、图形的性质、平面直角坐标系中两点之间的距离，解决本题的关键是建立平面直角坐标，根据图形中边的位置关系求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级第一学期期末学业水平测试卷数学 满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共有1.0个小题，每小题3分，共30分） 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品只是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “威风锣鼓”是汾阳地区的一种民间打击乐艺术形式，历史悠久，源远流长，下图是“威风锣鼓”用鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，是的直径，位于两侧的点C、点D均在上，等于，则等于（ ） A B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 6. 某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共200个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可以估计袋中黑球的个数为（ ） A. 70 B. 80 C. 100 D. 120 7. 2025年国庆，汾阳博物馆“火了”，汾阳博物馆于9月29日正式开放，国庆期间在社交媒体上掀起热潮，成为“网红打卡地”．该博物馆涵盖酒文化展、金石文化展、秦晋旱码头晋商文化展等五个部分，全方位多角度的展示了汾阳深厚的历史文化底蕴．据统计，国庆期间10月1日的游客量为6300人，10月3日游客量为9072人，若设1日至3日游客量日平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（ ） A 函数图象开口向上 B. C. 当时，随增大而减小 D. 关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 9. 如图，在口ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么SΔBEF：SΔBCF=（ ） A. 1：6 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：2 10. 如图，在中，，，将绕的中点D顺时针旋转得到，其中点A的运动路径为弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的一个实数根是1，则m的值为_____． 12. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的表达式为________． 13. 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是___. 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，小华想画一个三角形，使它与关于原点位似，若点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是______． 15. 如图，在中，，，，D、E分别为AC、AB上的点，，连接BD，，垂足为F，则EF的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，反比例函数与一次函数的图像交于，． （1）求反比例函数的表达式及的值． （2）直接写出当时，的取值范围． （3）在轴上找一点，使的面积为，求点的坐标． 18. 今年开学季，汾阳市文旅局为山西医药学院2025级大一2100名新生特别推出“新生免费游汾阳”的暖心活动，太符观（A）、汾酒博物馆（B）、汾酒老作坊（C）、贾家庄文化生态区（D）四大景点，对持有录取通知书的新生及家长免费开放，新生与家长全部参与了此项活动，这样一份独特且有意义的文旅“见面礼”不仅让新生及家长多维度的认识了解汾阳，而且塑造了爱心汾阳的城市形象．开学一段时间后，学生会采用抽样调查的方式在大一新生中开展了以“我最喜欢的旅游景点”为主题的问卷调查．被抽到的新生在问卷上从四个旅游景点中选择自己最喜欢的一个．学生会根据调查所搜集的数据进行整理并绘制了如下两幅不完整统计图． 请根据统计图回答问题： （1）______，_____； （2）求该学院全体大一新生中，最喜欢“太符观”旅游点的人数． （3）学生会决定抽取两名新生调查旅游后对四处景点的认识和感受，求抽到的两名新生中恰好喜欢同一处旅游景点的概率 19. 汾阳市农业资源尤为丰富，“汾州小米”喜获国家地理标志产品认定．B旅游公司推出一款成本为128元的“汾州小米”礼盒，当每盒售价为198元时，每天可销售160盒．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒的售价每降低1元，每天销量可增加4盒． （1）求出公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系； （2）当降价多少元时公司每天的利润最大，最大为多少元？ 20. 某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告： 活动背景 汾阳后沟村玲珑塔是明代古建筑，位于吕梁市汾阳市峪道河镇后沟村村口高崖上，八角形七层楼阁式砖塔，2021年被公布为第六批山西省文物保护单位． 活动主题 测算玲珑塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 测量数据 1．小山坡的坡比为； 2．从点B到点A上升的高度为3米； 3．A处测得塔顶D的仰角为； 4．无人机从地面沿竖直方向飞行15米到达点P处； 5．在P处测得塔角E的俯角为，测得坡底B处的俯角为（点B，E在同一水平线上） 测量示意图 任务1 求的距离（结果精确到1米） 任务2 求玲珑塔的高度（结果精确到0.1米） 参考数据 21. 阅读与思考： 王老师善于通过合适主题整合教学内容，帮助学生们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“圆”主题下设计的问题，请你解答． 【问题展示】 如图（1），锐角三角形内接于半径为的，的边、角之间满足怎样的关系呢？ 发现规律】 王老师提示：如图（2），连接并延长，交于点，连接 ，（依据） 是的直径 ，（依据） ， 任务：（1）依据应填_________ 依据应填_______________ （2）如图（3），在中，，是边上一动点（不与点，重合），于点，于点，连接． 若，求的长度． 若，，请直接写出的最小值． 22. 综合与实践 问题情境：“启航中央广播电视台跨年晚会”这一国家级文化盛事首次落户革命老区吕梁．晚会以“山河脊梁”为主题，为观众呈现了一场视觉与听觉的双重盛宴． 主会场设在山西吕梁新区体育中心，该体育中心历时年建成，设计独具匠心，拥有全亚洲最大的混凝土壳体结构建筑，为国内首创，可容纳两万人．其核心舞台为双层抛物线型冰屏设计．如图所示． 数学建模：将冰屏横截面抽象为平面直角坐标系中的抛物线，以舞台地面为轴，对称轴为轴．如图（2）已知：下层抛物线顶点为，且过点：上层抛物线顶点为，其形状与下层抛物线相同，开口方向一致． （1）分别求出上、下两层抛物线的函数表达式； 问题解决： （2）工作人员计划在两层冰屏之间搭建一个矩形电子屏装置，装置的一边平行于轴，各端点分别落在上、下两层抛物线上，且装置的水平覆盖宽度为米．该装置顶部需与上层冰屏最高处保持至少米的安全距离，判断该装置是否符合安全要求，并说明理由． （3）工作人员需在下层冰屏的顶点与下层冰屏和轴的交点之间斜拉一根电缆用于悬挂基础射灯，现要在第一象限上层抛物线冰屏上找一个点，从点斜拉另一根电缆（为电缆上的一点），使电缆与垂直，求电缆长度的最大值． 23. 综合与探究 综合与实践课上，老师带领同学们以“特殊三角形旋转”为主题开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在直角中、，，点在上，过点作于，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 如图2、将图1中的绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当直角的边时，点为直线上异于，的一点，以为直角边作等腰直角，点为斜边的中点，连接，若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $