2026年中考数学一轮复习培优专题：与圆有关的题型综合

2026年中考数学一轮复习培优专题：与圆有关的题型综合 1.独轮车（图1）起源于西汉，是中国古代重要的运输工具.它结构简单、轻便灵活，能 适应狭窄田埂与乡村小路，解决了农村零散货物运输难题，助力农业生产与乡村物资流通， 是古代劳动人民智慧的结晶，如图2是从独轮车图片中抽象的几何模型，推车人上肢躯干 BC与车身AC垂直，车轮圆心O在AC上，AE为车轮⊙O的直径，AB交圆周于点D,连 接CD,且CD=CB, 图1 图2 (I)求证：CD为⊙O的切线. (2)若人的躯干BC=120cm,车身AC=180cm,求车轮⊙0的半径 2.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径为10，过点D作DP⊥AB交BA的延长线 于点P,AD平分∠PAC D B 图1 图2 (I)在图1中，若AC是⊙0的直径，求证：PD是⊙O的切线： (2)在(1)的条件下，若PD=3PA,求线段AD的长； (3)在图2中，若BC=CD,求AB+AD的最大值. 3.如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙0上，过点E作⊙O的切线与AB的延长线交于 点F,且∠AFE=∠ABC, 试卷第1页，共3页 (1)求证：∠CAB=2∠EAB; (2)若BF=1,sin∠AFE=号，求直径AB的长. 4.如图，在△ABC中，BC<AB,以点C为圆心，线段CB的长为半径画弧，交线段AB 于点D;以点D为圆心，线段CD的长为半径画弧，恰好经过点A: 图1 图2 (I)如图1，以点D为圆心，线段CD的长为半径画弧恰好也经过点B ①∠ADC的度数为 ②若CB=6,求阴影部分的面积. (2)如图2，若∠A=36°，证明：△ABC∽△CBD. 5.如图，AB,AC是⊙O的两条弦，OA平分∠BAC. (1)求证：AB=AC: (2)若⊙0的半径为10，AB=16,求圆心0到AB的距离 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD,交CD的延 长线于点E,连接AO并延长交BC于点F,且∠BDC=2∠ABD. 试卷第1页，共3页 B (I)求证：直线AE是⊙O的切线： (2)若BC=16,AD=10,求DE的长， 7.如图，在△ABC中，∠C=90·,BE是△ABC的角平分线，DE⊥BE交AB于点D, ⊙O是△BDE外接圆，且交BC于点F, E D (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若直径BD=10,CE=4,求线段CF的长 8.如图，点A、B、C、D都在⊙0上，OC⊥AB,∠ADC=30°. A B D (1)求∠B0C的度数； (2)求∠ACB的度数； 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上，以点 O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F. (1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； 试卷第1页，共3页 (2)若BF=3,BD=3V3,求阴影部分的面积（结果保留π）. 10.AC为⊙O的一条弦，将弦AC绕点A顺时针旋转60°得到AD,连接DC. D D 图1 图2 (1)如图1，若AD与⊙0相切，判断DC与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)如图2，以0C为边作等边三角形C0P,点P落在⊙0上，连接PA,OD· ①求证：△ACP兰△DCO: ②若OC=2,求OD的最大值及此时AC的长. 11.如图，矩形ABCD内接于⊙O,E是AB上一动点，连接AE,若AB=8,AD=6. D (1)求⊙0的半径： (2②)若AE=5V2,求AE的长. 12.如图，已知△ABC是等腰三角形，其中AC=BC,以BC为直径作⊙O,⊙O交 AC延长线于点D,交AB边于点E,过点E作EF⊥AC于点F. D (1)判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若点C为E的中点，CD=6. ①求∠A的度数； ②求由线段CF,EF与CE围成的阴影部分的面积。 13.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD于D,AC平分∠DAB,点P是 试卷第1页，共3页 AB的中点，连接CP、AP、BP. D P (1)若∠BAC=30°，CD=3,求AC的长； (2)求证：CD是⊙O的切线： (3)若CP交AB于点M,作PHLAC于点H,交AB于点N,猜想AN、MN、BM存在的数 量关系，并说明理由。 14.如图，AB是⊙0的切线，切点为C.连接0A,OB,0B交⊙0于点D,0A=0B. (1)求证：CA=CB, (2)若⊙0的半径为2，∠B=30°，求阴影部分的面积. 15.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是直径，D是BC的中点，DEBC交AC的 延长线于E F B (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)点F是⊙O上一点，连接AF,CF,以F为圆心，AF长为半径画圆弧，使点C在该圆弧 上，再将⊙O分别沿AF,CF向内翻折，若AC=2,求图中阴影部分的面积和.（结果保 留π) 试卷第1页，共3页 《2026年中考数学一轮复习培优专题：与圆有关的题型综合》参考答案 1.(1)见解析 (2)50cm 【分析】此题考查切线的判定，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解题的 关键， (1)连接OD,求出∠0DC=90°，根据切线的判定即可得到结论： (2)设圆的半径为r,则0D=0A=rcm,根据勾股定理得到0D2+CD2=0C2,列方 程并解方程即可求出答案。 【详解】(1)证明：连接0D,如图， B CB=CD, ∠B=∠CDB :∠BCA=90°， ∴∠0AD+∠B=90°. 0A=OD, .∠OAD=∠ODA ∠ODA十∠CDB=90°， .∠0DC=180°-90°=90°. 又：0D为⊙0的半径， CD是⊙O的切线 (2)解：设圆的半径为，则0D=OA=rcm, AC=180cm,BC=120cm, .0C=(180-r)cm,CD=BC=120cm, :∠0DC=90o, ∴0D2+CD2=0C2, ∴r2+1202=(180-r)2, .r=50, 答案第1页，共2页 故车轮⊙0的半径为50cm. 2.(1)见解析 2AD=10 (3)10 【分析】(1)连接0D,先求出∠PAD+∠PDA=90°，由角平分线的定义可得 ∠PAD=∠CAD,从而得出∠CAD+∠PDA=90·,再由等边对等角得出 ∠ODA=∠CAD,从而得出∠PD0=90°，即OD⊥PD,即可得证； (2)证明△PAD∽△DAC,得出CD=3AD,再由勾股定理计算即可得出结果； (3)连接AD、BD,在AC上截取AH=AD,由题意可得BC=CD,结合圆周角定理可 得∠CAD=∠BAC,∠DBC=∠BDC,结合角平分线的定义计算得出 ∠PAD=∠CAD=∠BAC=60°，从而得出∠DBC=∠BDC=60°，证明△BDC为 等边三角形，得出BD=DC,证明△ADH为等边三角形，得出∠ADH=60·, AD=DH,再证明△ADB兰△HDC(SAS),得出AB=CH,从而可得 AB+AD=CH+AH=AC,当AC为直径，即AC=10时，AB+AD取最大值， 【详解】(1)证明：如图，连接OD, DP⊥AB, ∠DPA=90°， ∠PAD+∠PDA=90o, :AD平分∠PAC, .∠PAD=∠CAD, ∠CAD+∠PDA=90o, 0A=OD, ∴.∠ODA=∠CAD, ∠0DA+∠PDA=90o,即∠PD0=90°， OD⊥PD, 答案第1页，共2页 :0D为⊙0的半径， ·PD是⊙O的切线： (2)解：：AC是⊙O的直径， AC=10,∠ADC=90°， :DP⊥AB, ∠DPA=90°， :AD平分∠PAC, .∠PAD=∠CAD, ∠ADC=∠DPA=90°， △PAD△DAC, 器=贤， PD=3PA, ∴CD=3AD, CD2+AD2=AC2, (3AD)2+AD2=102, :AD=V10(负值不符合题意，舍去) (3)解：如图，连接AD、BD,在AC上截取AH=AD, B BC=CD, ∴BC=CD, ∠CAD=∠BAC,∠DBC=∠BDC, :AD平分∠PAC, ∠PAD=∠CAD, .∠PAD=∠CAD=∠BAC, :∠PAD+∠CAD+∠BAC=180°， 答案第1页，共2页 ∠PAD=∠CAD=∠BAC=60°， .∠DBC=∠BDC=60°， ∴△BDC为等边三角形， .BD=DC, :∠DAC=60°，AH=AD, .△ADH为等边三角形， .∠ADH=60o,AD=DH, .∠ADH=∠BDC=60o, .∠ADH-∠BDH=∠BDC-∠BDH, .∠ADB=∠HDC, 在△ADB和△HDC中， AD=HD ∠ADB=∠HDC BD-DC .△ADB≌△HDC(SAS), ·AB=CH, :AB+AD =CH+AH=AC, 当AC为直径，即AC=10时，AB+AD取最大值，为10. 【点晴】本题考查了证明直线是圆的切线，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，全等三 角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练 掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键， 3.(1)见解析 (2)8 【分析】(1)连接OE,利用切线性质得0E⊥EF.由∠AFE=∠ABC,结合直角三角形 两锐角互余，可推出∠E0F=∠CAB.再由OE=OA得∠OAE=∠OEA,根据三角形外 角性质∠E0F=∠OAE+∠OEA,即可证得∠CAB=2∠EAB (2)设0E=OB=r,则0F=r+1.在Rt△0EF中，利用sinAFE-=器=青建立 方程，解出r即可求得直径AB的长度. 【详解】(1)解：连接0E, 答案第1页，共2页