2026年中考数学一轮复习培优专题：与圆有关的题型综合

2026年九年级中考数学一轮复习培优专题： 与圆有关的题型综合 一．选择题 1．⊙O的半径为2，同一平面内，若点P与圆心O的距离为2，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 2．在⊙O上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若∠B+∠D＝160°，则的度数为（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 3．如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，分别交AB、BO于C、D两点，连接OC．若∠B＝40°，则∠ACO的度数是（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 4．如图，若⊙O的半径为2，点O到某条直线的距离为2.4，则这条直线可能是（　　） A．直线l1 B．直线l2 C．直线l3 D．直线l4 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝140°，半径为2，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）与⊙O相切，则α的度数为（　　） A．60° B．60°或120° C．30°或60° D．120° 7．自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，∠DAB＝110°，∠ABC＝130°，两车轮的半径均为30cm，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（　　） A．300π cm2 B．500π cm2 C．900π cm2 D．1200π cm2 8．如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°；设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．240πcm2（千米） C．（千米） D．（千米） 9．如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的⊙O上（O为坐标原点），过点P作⊙O的一条切线PR，R为切点，则PQ+PR的最小值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，动点P从点B出发沿BC运动到点C（端点B，C除外），以BP为直径作⊙O，交AB于点M，连接CM交⊙O于点N，连接BN，在运动过程中，同学们得到以下两个结论，关于这两个结论下列判断正确的是（　　） 结论1：∠BNC＝150°； 结论2：点N的运动路径长为． A．只有结论1正确 B．只有结论2正确 C．结论1、2均正确 D．结论1、2均不正确 二．填空题 11．若一个正多边形的一个内角是120°，该正多边形是　 　 边形． 12．若⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则直线AB与⊙O的位置关系是　 　 ．（填“相交”、“相切”或“相离”） 13．如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到AB的距离OC＝4cm，则AB＝ 　 　 cm． 14．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是　 　 ． 15．如图，⊙O是△ABE的外接圆，AB是⊙O的直径，点F是⊙O上一点，已知∠EFA＝70°，则∠BAE＝　 　 °． 16．如图，AB为⊙O的直径，过圆心O作OC⊥AB，交⊙O于点C，以C为圆心，CA为半径作，若，则S△ABC＝　 　 cm2． 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE＝120°，那么∠B＝　 　 °． 18．如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，⊙O的半径为1，P为线段AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接OP交⊙O于点D，连接CD．（1）当点P与点A重合时，sin∠CPO的值为　 　 ； （2）当弦CD的长最小时，sin∠CPO的值为　 　 ． 三．解答题 19．以AD为直径的⊙O与BC相切于点C，连接CD． （1）求证：∠BCD＝∠A； （2）若AC＝2CD，BC＝4，求⊙O的半径． 20．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠A＝30°，∠ACB＝90°，延长AB至点D，使CB＝DB，连接CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径r＝5，求CD的长． 21．下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．求作：过点P的⊙O的切线． 作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线PA，PB；则直线PA、PB即为所求． （1）根据小明的设计，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠APB的度数． 22．图（1）是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图（2）的⊙O是其示意图．某学习小组用一根长为7m的笔直竹竿CD去辅助测量，点C在圆弧上，点D在地面AB上，且CD⊥AB，测得AB＝8m，AD＝1m． （1）若OE⊥AB于点E，求DE的长； （2）求公路隧道轮廓的最大高度． 23．圆形纸板中画有圆内接矩形CDEF，沿线段AB（点A，点B在圆上）裁剪后，得到如图所示的图形．某兴趣小组需要寻找圆心所在的位置．圆圆同学连接了线段CE，点点同学说：“只要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”． （1）你作的是哪条线段的垂直平分线（只需写一种）？ （2）请通过尺规作图，作出圆心O（保留作图痕迹）； （3）简要说明你所作的点O是圆心的依据． 24．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，且∠CAD＝∠ABD． （1）求证：AD＝CD． （2）如图2，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E． ①求证：DE是⊙O的切线； ②若AD＝4，BC＝2，求⊙O的半径． 25．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，点M是线段CD延长线上一点，连接AM交⊙O于点E，连接EC交AB于点N，连接BE交CD于点G，连接AC、BD、BC． （1）求证：△MAC∽△CAE； （2）若，求tan∠AEC的值； （3）若BE＝8，BC＝x（0＜x＜4），记y＝CE•ED+CG•ED•32110，求y的最大值． 26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且CD＝BC，以CD为直径作⊙O交BC于点G，E为AC上一点，连接DE，AE＝DE． （1）求∠CGD的度数； （2）求证：DE是⊙O的切线； （3）若⊙O的半径，BD＝6，求DE的长． 27．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弧BC的中点，连接AC、BC、AD，AD与BC相交于点H，过点D作直线DG∥BC，交AC的延长线于点G． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若弧AC＝弧BD，CG＝2，求阴影部分的面积． 28．如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C，且OC＝18． （1）点D到直线AB的距离为　 　 ； （2）如图2，优弧COD上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒12°，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l∥OC，直线与优弧COD交于另一点N． ①当直线l与优弧COD相切时，t的值为　 　 秒； ②当t＝5时，求阴影部分面积． 29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，对角线AC与BD交于点E，已知∠CAB＝α，∠DBA＝β，点P是⊙O外的一点，PC＝PD，且OD⊥PD． （1）求证：直线PC与⊙O相切； （2）当α＝20°，β＝40°，⊙O的半径为6时，求的长（结果保留π）； （3）求证：PD＝PE． 30．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，AB＝AD，连接对角线AC和BD，过A点的一条直线分别与CB的延长线和CD的延长线交于E点和F点． （1）若∠BAD＝130°，求∠ACF的度数； （2）若，证明：直线EF是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若∠BAE＝α，证明：． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A D B A C B C 二．填空题 11．六． 12．相交． 13．6． 14．50°． 15．20． 16．6． 17．120． 18．（1）．（2）． 三．解答题 19．（1）证明：如图，连接OC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CDA+∠A＝90°， ∵BC是⊙O的切线， ∴OC⊥BC， ∴∠BCD+∠OCD＝90°， ∵OD＝OC， ∴∠CDA＝∠OCD， ∴∠BCD＝∠A； （2）解：∵∠BCD＝∠A，∠DBC＝∠CBA， ∴△DBC∽△CBA， ∴，即， ∴BD＝2，BA＝8， ∴AD＝BA﹣BD＝8﹣2＝6， ∴⊙O的半径为3． 20．（1）证明：连接OC，则OC＝OB， ∵∠ACB＝90°， ∴AB是⊙O的直径， ∴AB经过圆心O， ∵∠A＝30°， ∴∠BOC＝2∠A＝60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝60°， ∵延长AB至点D，使CB＝DB， ∴∠D＝∠BCD， ∵∠OBC＝∠D+∠BCD＝2∠BCD＝60°， ∴∠BCD＝30°， ∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝90°， ∵OC是⊙的半径，且CD⊥OC， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：由（1）得△BOC是等边三角形，∠OCD＝90°， ∵⊙O的半径r＝5， ∴OC＝OB＝CB＝DB＝5， ∴OD＝2DB＝10， ∴CD5， ∴CD的长是5． 21．解：（1）⊙O的切线PA、PB，如图1即为所求； （2）如图2，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，连接OB，则OA＝OB， ∴∠BAC＝∠OBA＝20°， ∴∠AOB＝180°﹣∠BAC﹣∠OBA＝140°， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠APB＝360°﹣∠AOB﹣∠OAP﹣∠OBP＝40°． 22．解：（1）∵OE⊥AB于点E， ∴AE＝BEAB8＝4（m）， ∴DE＝AE﹣AD＝4﹣1＝3（m）； （2）过O作OM⊥CD于M，连接OC，OB，延长NO交圆于N， ∴N是的中点， ∴公路隧道轮廓的最大高度是NE的长， 设OE＝xcm， ∵CD⊥AB，OE⊥AB， ∴∠OMD＝∠MDE＝∠OED＝90°， ∴四边形MDEO是矩形， ∴MO＝DE＝3m，MD＝OE＝xcm， ∴CM＝（7﹣x）cm， 由勾股定理得到：CM2+OM2＝OE2+BE2， ∴（7﹣x）2+32＝x2+42， ∴x＝3， ∴OE＝3， ∴OB5（m）， ∴ON＝OB＝5m， ∴NE＝ON+OE＝8（m）， ∴公路隧道轮廓的最大高度是8m． 23．解：（1）作出线段CD（或CE）的垂直平分线即可． （2）作出CD的垂直平分线FG，与CE交于点O，如图， 则点O为所在圆的圆心． （3）∵四边形ABCD为圆的内接矩形， ∴∠CDE＝90°， ∴CE为圆的直径， ∵FG为CD的垂直平分线， ∴FG经过矩形ACD的外接圆的圆心， ∴FG与CD的交点O为矩形ACD的外接圆的圆心． 24．（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，， ∴∠ACD＝∠ABD， ∵∠CAD＝∠ABD， ∴∠CAD＝∠ACD， ∴AD＝CD； （2）①证明：如图2，连接OD，OC，则OA＝OC， 由（1）知，AD＝CD， ∴OD是AC的垂直平分线， ∴OD⊥AC； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵DE⊥BC， ∴∠E＝∠ACB＝90°， ∴AC∥DE， ∴OD⊥DE， 又∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； ②解：如图3，OD⊥DE，DE⊥BC，AD＝4，BC＝2，过点O作OF⊥BC于点F，则． ∴四边形ODEF是矩形， ∴OD＝EF，DE＝OF； 设⊙O的半径为x，则EF＝OD＝OC＝x， ∴CE＝x﹣1． 在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE2＝CD2﹣CE2，且CD＝AD＝4， 在Rt△OCF中，由勾股定理得：OF2＝OC2﹣CF2， ∴CD2﹣CE2＝OC2﹣CF2，即42﹣（x﹣1）2＝x2﹣12． 解得：，（不合题意，舍去）， ∴⊙O的半径为． 25．（1）证明：连接AD，如图所示， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F， ∴根据垂径定理可得AC＝AD，∠ACD＝∠ADC， ∵∠ADC＝∠AEC， ∴∠ACD＝∠AEC， 又∵∠CAE＝∠MAC， ∴△MAC∽△CAE； （2）解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝∠DCB，∠ACB＝∠CFA＝90°， ∴△ACB∽△AFC， ∴AC2＝AF•AB， 设BF＝1，AC＝3BF，AB＝x，则AF＝x﹣1， ∴90＝x（x﹣1），解得x＝10或﹣9（舍去）， 故AF＝9，由勾股定理可得CF3， ∵∠AEC＝∠ACD， ∴tan∠AEC＝tan∠ACD； （3）解：由垂径定理知BC＝BD， ∴∠BCG＝∠CEB， 又∵∠CBG＝∠EBC， ∴△CBG∽△EBC， ∴BC2＝BG•BE． ∵∠ECG＝∠EBD，∠CEG＝∠BED， ∴△ECG∽△EBD， ∴， ∴EC•ED＝EB•EG，EG•BD＝ED•CG，BE•CG＝EC•BD， ∴EC•ED＝EB•EG＝EB（EB﹣BG） ＝EB2﹣EB•BG ＝EB2﹣BC2 ＝（EB+BC）（EB﹣BC） ＝（8+x）（8﹣x） ＝64﹣x2， ∵∠BCD＝∠CAB，∠ACB＝∠CFB＝90°， ∴△ABC∽△CBF， ∴BC2＝BF•BA， ∵EG•BD＝ED•CG， ∴CG•ED•EG•BD• ＝EG•BD• ＝EG•BD• ＝EG•BE ＝EC•ED ＝64﹣x2， ∵BE•CG＝EC•BD， ∴324×8 ＝4BE ＝4 ＝4BD ＝4x， ∴y＝CE•ED+CG•ED•32110 ＝64﹣x2+64﹣x2+4x﹣110 ＝﹣2x2+4x+18 ＝﹣2（x﹣1）2+20， ∵﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， 又∵0＜x＜4， 故当x＝1时，y有最大值为20． 26．（1）解：∵CD为直径， ∴∠CGD＝90°； （2）证明：∵AE＝DE，CD＝BC， ∴∠A＝∠EDA，∠CDB＝∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠EDA+∠CDB＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （3）解：如图，设BD与⊙O交于点F，连接CF． ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CFD＝90°，即CF⊥BD， ∴∠BCF+∠B＝90°，且F为BD的中点， ∵⊙O的半径，BD＝6， ∴CD＝BC＝5，， ∴， 又∵∠A+∠B＝90°， ∴∠BCF＝∠A， ∵∠CFB＝∠ACB＝90°， ∴△CFB∽△ACB， ∴，即， ∴， 设DE＝x，则AE＝x， ∴， 由（1）知∠ODE＝90°∴CE2＝DE2+CD2， ∴， 解得， ∴． 27．（1）证明：连接OD，交BC于点E， ∵点D为的中点， ∴OD垂直平分BC， ∵DG∥BC， ∴∠ODG＝∠OEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DG⊥OD， ∴DG是⊙O的切线． （2）解：连接OC、CD，则OA＝OC＝OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠G＝∠ACB＝90°，∠CED＝∠EDG＝90°， ∴四边形CEDG是矩形， ∴DE＝CG＝2， ∵，点D为的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD180°＝60°， ∴△AOC和△COD都是等边三角形， ∵CE⊥OD， ∴OE＝DE＝2， ∴AC＝OC＝CD＝OD＝2DE＝4， ∴AG＝AC+CG＝6，DG2， ∵∠CAH∠COD＝30°， ∴AH＝2CH， ∵ACCH＝4， ∴CH， ∴S阴影＝S△AGD﹣S△ACH6×24， ∴阴影部分的面积是． 28．解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥OC于点F，如图， ∵优弧COD与直线AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵DE⊥AB，DF⊥OC， ∴四边形DECF为矩形， ∴DE＝FC． ∵∠DOF＝60°，OD＝OC＝18，DF⊥OC， ∴OF＝OD•cos60°＝189， ∴FC＝OC﹣OF＝9， ∴DE＝9， ∴点D到直线AB的距离为9； 故答案为：9． （2）①当直线l与优弧COD相切于点M时，点M在直线OC的左侧，连接OM，如图， ∴OM⊥l， 由（1）知：OC⊥AB， ∵l∥OC， ∴l⊥AB， ∴四边形OMEC为矩形， ∴∠COM＝90°， ∵OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒12°， ∴t7.5． 点M在直线OC的右侧，连接OM，如图， ∴OM⊥l， 由（1）知：OC⊥AB， ∵l∥OC， ∴l⊥AB， ∴四边形OMEC为矩形， ∴∠COM＝90°， ∴OM的旋转角度为270°． ∵OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒12°， ∴t22.5． 综上，当直线l与优弧COD相切时，t的值为7.5秒或22.5秒． 故答案为：7.5秒或22.5秒； ②当t＝5时，∠COM＝60°， 连接ON，过点O作OF⊥MN于点F，如图， 由题意得：OM＝OC＝8， 由（1）知：OC⊥AB， ∵l∥OC， ∴l⊥AB， ∵OF⊥MN， ∵四边形OFEC为矩形， ∴∠FOC＝90°， ∴∠FOM＝∠FOC﹣∠COM＝30°， ∴MFOM＝9，OFOM＝9． ∵OM＝ON，OF⊥MN， ∴MF＝NF＝9，∠NOF＝∠MOF＝30°， ∴∠MON＝60°，MN＝2MF＝18， ∴阴影部分面积＝扇形OMN的面积﹣△OMN的面积 18×9 ＝54π﹣81； 答：当t＝5时，阴影部分面积为54π﹣81． 29．（1）证明：连接PO． 在△POD和△POC中， ， ∴△POD≌△POC（SSS）， ∴∠PCO＝∠PDO． 又∵OD⊥PO， ∴∠PCO＝∠PDO＝90°． ∵点C在⊙O上， ∴直线PC与⊙O相切． （2）解：∵∠CAB＝α＝20°， ∴∠COB＝2α＝40°， ∵∠DBA＝β＝40°， ∴∠DOA＝2β＝80°， 则∠DOC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∴CD的弧长； （3）证明：法一：∵∠OAC＝α，∠OBD＝β， ∴∠COB＝2α，∠DOA＝2β， ∴∠DOC＝180°﹣2（α+β）， 由（1）可知∠PCO＝∠PDO＝90°， ∴∠DPC＝2α+2β， 而∠DEC＝∠AEB＝180°﹣（α+β）， ∴． 延长DP到Q使 PQ＝DP，连接CQ， ∵DP＝PC， ∴PC＝PQ． 则， ∴∠DEC+∠Q＝180°， 即D，E，C，Q在以点P为圆心，PD为半径的圆上， ∴PE＝PD． 法二：∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB＝β， 由（1）可知∠PDO＝90°， ∴∠BDP＝90°﹣β， 延长DP到Q使PQ＝DP，连接CQ， ∵DP＝PC， ∴∠PDC＝∠PCD，PC＝PQ． ∴∠Q＝∠PCQ， ∵∠PDC+∠PCD+∠PCQ+∠Q＝180°， ∴， ∵∠DCA＝∠ABD＝β， ∴∠ACQ＝90°+β， ∴∠PDE+∠ECQ＝180°， 即D，E，C，Q是以点P为圆心，PD为半径的圆上， ∴PE＝PD． 30．（1）解：∵∠BAD＝130°，AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝25°， ∵， ∴∠ACF＝∠ABD＝25°； （2）证明：如图，连接OA， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠BCD＝∠ECF， ∴△CBD∽△CEF， ∴∠CBD＝∠E， ∴BD∥EF， ∵AB＝AD， ∴， ∴OA⊥BD， ∴OA⊥EF， ∴直线EF是⊙O切线； （3）证明：如图CB延长线上取点G，令BG＝CD，CA延长线上取点H，令AH＝AC，连接AG， ∵∠ABG+∠ABC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABG＝∠ADC， ∵AB＝AD，BG＝CD， ∴△ABG≌△ADC（SAS）， ∴AG＝AC， ∴AG＝AH＝AG， 则∠H＝∠AGH，∠ACG＝∠AGC， ∵∠H+∠AGH+∠ACG+∠AGC＝180°， ∴∠AGH+∠AGC＝90°， ∴∠CGH＝90°， ∴cos∠ACB， ∵AE∥BD， ∴∠BAE＝∠ABD， ∵AB＝AD， ∴∠ACB＝∠ADB＝∠ABD， ∴∠ACB＝∠BAE＝α． ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/11 11:16:11；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $