精品解析：陕西商洛市商南县2025-2026学年上学期期末八年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期质量检测 八年级数学试题（卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有唯一的选项） 1. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A 9 B. 7 C. 2 D. 1 2. 若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角为( ) A. 40° B. 100° C. 40°或100° D. 无法确定 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ） A. 诚 B. 信 C. 友 D. 善 5. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是【 】 A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 6. 已知关于x的代数式是完全平方式，则M的值为（　　） A 6 B. C. D. 不能确定 7. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH是（　　） A EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 10. 甲乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少2小时，若两人合作处理，仅需小时即可完成．设甲单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 分解因式：______． 12. 已知，，则______． 13. 如图，若，则_______°． 14. 如图，在中，是它的角平分线，于点，若，，则的面积为______． 15. 若关于的分式方程无解，则______． 16. 如图，在中，，，和都是直角且点，，三点共线，，则阴影部分的面积是_______． 三、解答题（共9小题，计72分．解答应写出过程） 17. 先化简，再求值： （1）；其中，． （2），其中． 18. 解下列分式方程： （1） （2） 19. 如图，是的边上的高，点E为上一点，且． （1）试说明； （2）若，求的面积． 20. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 21. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的． （1）作关于直线对称的图形． （2）的面积为______； （3）在上画出点Q，使得的值最小． 22. 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形； （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形． 23. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上材料提供的方法，解答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提公因式法 B．公式法 C．换元法 （2）老师说，该同学因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解的最后结果：_________． （3）请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 24. 某村种植合作社共需要采摘茶叶24吨，村民采摘4吨后，政府组织一批志愿者服务队加入一起采摘，已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天． （1）求村民每天采摘茶叶多少吨； （2）已知合作社每天需要支出村民劳务费2000元，志愿者服务队不需要支出劳务费，只需要每天支出饮食费500元，那么志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？ 25. （1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期质量检测 八年级数学试题（卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有唯一的选项） 1. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围； 先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项， 故选：B 2. 若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角为( ) A. 40° B. 100° C. 40°或100° D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，然后分别讨论40°为顶角时和40°为底角时，然后即可求得答案. 【详解】当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°； 当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°－40°×2＝100°，故选C. 【点睛】熟练掌握等腰三角形性质的应用是本题解题的关键. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，需根据完全平方公式、积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则，逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵根据完全平方公式，， ∴A选项错误； ∵根据积的乘方与幂的乘方法则，， ∴B选项正确； ∵合并同类项时，同类项的系数相加，字母和指数不变，， ∴C选项错误； ∵，而，， ∴D选项错误； 故选：B． 4. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ） A. 诚 B. 信 C. 友 D. 善 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行分析即可得. 【详解】A.不是轴对称图形，故不符合题意； B.不是轴对称图形，故不符合题意； C.不是轴对称图形，故不符合题意； D.是轴对称图形，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟知“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形”是解题的关键. 5. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是【 】 A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】如图， ∵∠1=90°-60°=30°， ∴∠α=45°+30°=75°．故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，外角的性质，解决此题的关键计算细致． 6. 已知关于x代数式是完全平方式，则M的值为（　　） A. 6 B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x的代数式是完全平方式，得到，即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的代数式是完全平方式， ∴，或， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查完全平方式．熟练掌握完全平方式的特点，是解题的关键． 7. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，依题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：， 故选：A． 8. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 9. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM， A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意； D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 10. 甲乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少2小时，若两人合作处理，仅需小时即可完成．设甲单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程在工程问题中的应用，解题的关键是抓住“工作效率之和合作时间工作总量”这一等量关系． 先根据甲单独处理需要小时，得出乙单独处理需要小时；再分别表示出甲、乙的工作效率；最后根据两人合作小时完成全部工作，列出方程． 【详解】解：设甲单独处理需要小时，则乙单独处理需要小时． 甲的工作效率为，乙的工作效率为， 两人合作1.2小时完成工作，可列方程：． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的分组分解法与公式法，解题的关键是先将前三项分组为完全平方式，再与后一项结合用平方差公式分解． 先对多项式进行分组，将组合成完全平方式；再将得到的式子与结合，利用平方差公式继续分解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 已知，，则______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是将所求式子转化为含与的形式，再代入已知条件计算． 先将变形为，再代入与进行计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 13. 如图，若，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，先根据三角形的内角和定理得到，然后根据三角形内角和定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，设交于F，交于， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，是它的角平分线，于点，若，，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，过点D作于F，利用角平分线的性质得到，即可利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 15. 若关于的分式方程无解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，关键是将分式方程化为整式方程后，讨论无解的条件；将分式方程化为整式方程得到，把增根代入求解． 【详解】解： ， 两边同乘 （）得 ： ， 整理得 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ， ∵分式方程无解时， ∴根为增根，即 ， 代入得 ， 解得 ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，和都是直角且点，，三点共线，，则阴影部分的面积是_______． 【答案】2． 【解析】 【分析】根据和都是直角且点，，三点共线，，，可以得出，则可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵和都是直角且点，，三点共线，， ∴ ∴ ∴，， ∵ ∴ 阴影部分的面积， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 三、解答题（共9小题，计72分．解答应写出过程） 17. 先化简，再求值： （1）；其中，． （2），其中． 【答案】（1），8 （2），1 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的化简与求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式、单项式与多项式相乘、多项式除以单项式、完全平方公式化简式子，再代入的值到化简后的式子即可求值； （2）根据分式的运算法则化简式子，再代入到化简后的式子即可求值． 【小问1详解】 解： ， 代入，， 原式 ； 【小问2详解】 解： ， 代入， 原式 ． 18. 解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，再解整式方程，最后检验方程的解是否为增根，即可求解． 【小问1详解】 解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 19. 如图，是的边上的高，点E为上一点，且． （1）试说明； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，求出和的长，则可求出答案． 【小问1详解】 ∵为边上的高． ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积，掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键． 20. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？什么？ 【答案】（1）见解析（2）成立 【解析】 【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB和△CFD全等，从而证出CE=CF． （2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG和△FCG全等，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立． 【详解】解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°， ∵， ∴△CBE△CDF（SAS）． ∴CE=CF． （2）GE=BE+GD成立． 理由：∵由（1）得：△CBE△CDF， ∴∠BCE=∠DCF， ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF． ∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC， ∴△ECG△FCG（SAS）． ∴GE=GF． ∴GE=DF+GD=BE+GD． 【点睛】本题考查了以下内容：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；解决本题的关键是理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定． 21. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的． （1）作关于直线对称的图形． （2）的面积为______； （3）在上画出点Q，使得的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）6.5 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积公式，最短路径问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作出，，的对应点即可； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：的面积为； 故答案为：6.5； 【小问3详解】 解：如图，点Q即为所求． 22. 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形； （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形． 【答案】（1）当t为2时，△DEC为等边三角形；（2）当t为 或3时，△DEC为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值； （2）分两种情况讨论：①当∠DEC为直角时，②当∠EDC为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值． 详解】（1）根据题意可得 AD=t，CD=6﹣t，CE=2t， ∵∠B=30°，AC=6cm， ∴BC=2AC=12cm， ∵∠C=90°﹣∠B=30°=60°，△DEC为等边三角形， ∴CD=CE， 6﹣t=2t， t=2， ∴当t为2时，△DEC为等边三角形； （2）①当∠DEC为直角时，∠EDC=30°， ∴CE=， 2t=（6﹣t）， t=； ②当∠EDC为直角时，∠DEC=30°， CD=CE， 6﹣t=•2t， t=3． ∴当t为或3时，△DEC为直角三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键． 23. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上材料提供的方法，解答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提公因式法 B．公式法 C．换元法 （2）老师说，该同学因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解的最后结果：_________． （3）请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握换元法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）根据因式分解的方法即可得出答案； （2）利用公式法将因式分解不彻底的结果进行因式分解即可； （3）仿照题意进行因式分解即可求解． 【小问1详解】 解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的公式法； 故选：B． 【小问2详解】 解：设， 原式 ， ∴因式分解的最后结果为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：设， 原式 ． 24. 某村种植合作社共需要采摘茶叶24吨，村民采摘4吨后，政府组织一批志愿者服务队加入一起采摘，已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天． （1）求村民每天采摘茶叶多少吨； （2）已知合作社每天需要支出村民劳务费2000元，志愿者服务队不需要支出劳务费，只需要每天支出饮食费500元，那么志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？ 【答案】（1）0.8吨 （2）25000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数混合运算的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设村民每天采摘茶叶吨，则志愿者服务队每天采摘吨，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）先求出志愿者服务队采摘的时间，再分别计算志愿者服务队加入前预计支付的费用、志愿者服务队加入后实际支付的费用，两者相减即可得出答案． 【小问1详解】 解：设村民每天采摘茶叶吨，则志愿者服务队每天采摘吨， 根据题意，得， 解得， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：村民每天采摘茶叶0.8吨； 【小问2详解】 解：志愿者服务队采摘的时间为（天）， （元）， 答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省25000元． 25. （1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $