精品解析：陕西省商洛市商南县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期质量监测 八年级数学试题（卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有唯一的选项） 1. 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形；该选项不符合题意； B、，能组成三角形；该选项符合题意； C、，不能够组成三角形；该选项不符合题意； D、，不能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：B． 2. 若等腰三角形底边上的中线等于底边的一半，则该等腰三角形底角为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意得，，，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，平方差公式．掌握各运算法则和平方差公式是解题关键．根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则和平方差公式逐项计算即可解答． 【详解】解：，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算正确，符合题意． 故选D． 4. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. 长方形 B. 正方形 C. 等腰三角形 D. 圆 【答案】D 【解析】 【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行选择． 【详解】A、长方形 ∵长方形沿对边的中点所在的直线对折，对折后直线两旁的部分都能完全重合， ∴长方形是轴对称图形，对边的中点所在的直线就是其对称轴， ∴长方形有2条对称轴； B、正方形 ∵正方形沿对边的中点及其对角线所在的直线对折，对折后直线两旁的部分都能完全重合， ∴正方形是轴对称图形，对边的中点及其对角线所在的直线就是其对称轴， ∴正方形有4条对称轴； C、等腰三角形 ∵因为等腰三角形分别沿底边的中线所在的直线对折，对折后直线两旁的部分都能完全重合， ∴等腰三角形是轴对称图形，底边的中线所在的直线就是对称轴， ∴等腰三角形有1条对称轴； D、圆 ∵圆形绕任意一条直径所在的直线对折，对折后直线两旁的部分都能完全重合， ∴圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴， ∴圆有无数条对称轴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解答此题的关键是，熟练掌握轴对称图形的定义及其对称轴的条数． 5. 一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是（　　） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和问题．根据题意可得求出多边形的每个外角均为，再根据“多边形的外角和等于”，即可求解． 【详解】解：∵多边形的每个内角均为， ∴多边形的每个外角均为， ∴这个多边形的边数为， 即这个多边形是八边形． 故选：D 6. 已知，则的值是（ ） A. 37 B. 31 C. 29 D. 61 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式：记住完全平方公式：．也考查了整式的运算．利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，， ． 故选：A 7. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 4或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分母不为0，分子为0进行求解即可． 【详解】解；∵分式的值为0， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（　　） A. 14cm B. 13cm C. 11cm D. 9cm 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：∵DE是边AB的垂直平分线 ∴BD=AD ∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm． 故选B. 9. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 10. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解决本题的关键． 先把时间化为小时，设甲车的速度为，则乙车的速度为，表示出两车的时间，再根据时间相差5分钟建立方程即可． 【详解】解：，设甲车的速度为，根据题意可列方程： ， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________． 【答案】a（b﹣2）2 【解析】 【详解】ab2﹣4ab+4a =a（b2﹣4b+4） =a（b﹣2）2 故答案为a（b﹣2）2． 12. 若m+=3，则m2+=_____． 【答案】7 【解析】 【详解】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案． 详解：把m+=3两边平方得：（m+）2=m2++2=9， 则m2+=7， 故答案为7 点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 13. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7##七 【解析】 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 14. 如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是__________． 【答案】28° 【解析】 【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，最后求得∠ABE的度数． 【详解】 如图，过点E作EF⊥AB于F， ∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB， ∴DE=EF， ∵E是DC的中点， ∴DE=CE， ∴CE=EF， 又∵∠C=90°， ∴点E在∠ABC的平分线上， ∴BE平分∠ABC， 又∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴∠AEB=90°， ∴∠BEC=90°−∠AED=62°， ∴Rt△BCE中,∠CBE=28°， ∴∠ABE=28° 故填：28°. 【点睛】此题主要考查角平分线的性质的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 15. 若关于的方程无解，则_____________ ． 【答案】1 【解析】 【分析】先化为整式方程，然后根据方程无解，得，再代入计算即可求出答案． 【详解】解：∵， 化为整式方程，得， ∵原方程无解，则， ∴， 解得：； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为________． 【答案】##6厘米 【解析】 【分析】连接、，由，，可知由垂直平分线的性质可知，，，，，进而可知，可知为等边三角形，可知，再结合可求结果． 【详解】解：连接、， 在中，，，， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，则， 同理，则， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（共9小题，计72分．解答应写出过程） 17. 先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中． 【答案】（1）； （2）；2 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式以及多项式乘以多项式法则化简整式，然后再代入求值即可． （2）先计算括号内异分母分式减法，再把除法转化成乘法，利用平方差公式先进行分式的乘法运算，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， 当，时， 原式； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式． 18. 解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）两边同乘去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可； （2）两边同乘去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可． 【小问1详解】 解： 两边同乘，得， 去括号得， 移项合并同类项得，， 解得， 经检验，当时，， 所以原分式方程的解为； 【小问2详解】 解： 两边同乘，得， 去括号得， 移项合并同类项得，， 解得， 经检验，当时，， 所以原分式方程的解为． 19. 如图，的角平分线，相交于P点． （1）若，，求的度数； （2）若，试求的度数； （3）请直接写出与的关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系． （1）根据三角形内角和定理即可解答； （2）先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，即可解答； （3）根据（2）的结论即可解答． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：，的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：根据（2）的结论即可得到： ，即． 20. 如图，是的边上的高，点E为上一点，且． （1）试说明； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵为边上的高． ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，求出和的长，则可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积，掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于x轴对称的并求出它的面积； （2）若点与点B关于某条直线成轴对称，请画出这条直线并写出C点关于这条直线的对称点的坐标； （3）请在y轴上确定一点P，使的周长最小．（不写做法，保留痕迹） 【答案】（1） 解：如图，即为所求． 2.5 （2） 解：这条直线如图所示，的坐标为． （3） 解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，，，再连接即可；利用割补法即可求出的面积； （2）利用轴对称的性质求解问题即可． （3）连接交轴于点，连接，点即为所求． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线， 即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为； 【小问3详解】 略 22. 如图，是等边三角形，是边上的高，延长至E，使． （1）求证：； （2）过点D作，垂足为F，若，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）36 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，，由等边对等角可得，结合三角形外角的定义及性质得出，即可得证； （2）由含角的直角三角形的性质结合等边三角形的性质得出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为36． 23. “西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和A，B两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等． （1）请你画出中心站P的位置（不写做法，保留作图痕迹）． （2）请你运用所学知识，简要说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示，点P即为所求： （2） 解：由题意得，点到两条公路距离相等，说明点在两条公路相交形成夹角的平分线上，两个城镇距离相等，则点在线段的垂直平分线上，那么交点即为点的位置． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的判定和线段垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）作出两条公路相交形成夹角的平分线与线段的垂直平分线，交点即为点； （2）点到两条公路距离相等，说明点在两条公路相交形成夹角的平分线上，两个城镇距离相等，则点在线段的垂直平分线上，那么交点即为点的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批图书时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套． （1）求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元； （2）该校共购进“四大名著”多少套？ 【答案】（1）第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元 （2）该校共购进“四大名著”44套 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用， （1）设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，根据“用2400元购买的套数只比第一批少4套”建立方程求解，即可解题； （2）由（1）知第一批购买“四大名著”每套的价格，先求出第一批购买数量，进而可得第二批购买数量求和即可． 【小问1详解】 解：设第一批购进“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购进“四大名著”每套的价格为元． 根据题意，得 解得，经检验是所列方程的解， 答：第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元； 【小问2详解】 解：当时， 第一批购买数量为：（套），则第二批购买数量为：（套） （套）． 答：该校共购进“四大名著”44套． 25. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如： （1）分解因式：________． （2）求代数式的最小值： ， 对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________． 请完成上面的填空． （3）根据材料解决下列问题： ①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________． ②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值． 【答案】（1） （2） （3）①；②5 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式分解即可； （2）根据阅读材料即可得出结果； （3）①根据材料中方法求解即可；②利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：根据题意：的最小值为； 【小问3详解】 解：①原式 ； ② ， 对于代数式，无论x取何值，都小于或等于0，再加上5，则，故的最大值为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期质量监测 八年级数学试题（卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有唯一的选项） 1. 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若等腰三角形底边上的中线等于底边的一半，则该等腰三角形底角为（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. 长方形 B. 正方形 C. 等腰三角形 D. 圆 5. 一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是（　　） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6. 已知，则的值是（ ） A. 37 B. 31 C. 29 D. 61 7. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 4或 8. 如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（　　） A. 14cm B. 13cm C. 11cm D. 9cm 9. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 10. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________． 12. 若m+=3，则m2+=_____． 13. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 14. 如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是__________． 15. 若关于的方程无解，则_____________ ． 16. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为________． 三、解答题（共9小题，计72分．解答应写出过程） 17. 先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中． 18. 解下列分式方程： （1） （2） 19. 如图，的角平分线，相交于P点． （1）若，，求的度数； （2）若，试求的度数； （3）请直接写出与的关系． 20. 如图，是的边上的高，点E为上一点，且． （1）试说明； （2）若，求的面积． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于x轴对称的并求出它的面积； （2）若点与点B关于某条直线成轴对称，请画出这条直线并写出C点关于这条直线的对称点的坐标； （3）请在y轴上确定一点P，使的周长最小．（不写做法，保留痕迹） 22. 如图，是等边三角形，是边上的高，延长至E，使． （1）求证：； （2）过点D作，垂足为F，若，求的周长． 23. “西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和A，B两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等． （1）请你画出中心站P的位置（不写做法，保留作图痕迹）． （2）请你运用所学知识，简要说明理由． 24. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批图书时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套． （1）求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元； （2）该校共购进“四大名著”多少套？ 25. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如： （1）分解因式：________． （2）求代数式的最小值： ， 对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________． 请完成上面的填空． （3）根据材料解决下列问题： ①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________． ②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $