例谈圆锥曲线的第二定义解题策略(一)讲义——2026届高三数学二轮专题复习

例谈圆锥曲线的第二定义解题策略(一)讲义 圆锥曲线是解析几何的精华与核心内容,是高中数学的重点、难点,也是高考命题的热点问题之一.圆锥曲线的第二定义将焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的试题时，如能巧妙运用第二定义，能起到化繁为简、化难为易的导向作用，使问题轻松简洁地获解，在解题中起到事半功倍之效. 圆锥曲线的第二定义：平面内到一个定点的距离和到一条定直线(定点不在定直线上)的距离之比是一个常数的点的轨迹,此轨迹统称为圆锥曲线,其中常数是圆锥曲线的离心率.第二定义也称为圆锥曲线的统一定义.当时,轨迹是抛物线,点和直线分别是焦点和准线.当时，轨迹是椭圆；当时,轨迹是双曲线；点和直线分别是其一个焦点和对应的准线.当椭圆和双曲线的标准方程分别为和时，它们的离心率,左焦点对应于左准线方程为,右焦点对应于右准线方程为.当椭圆和双曲线的标准方程分别为和时，它们的离心率,下焦点对应于下准线方程为,上焦点对应于上准线方程为. 本文结合典型试题，将从八个方面介绍圆锥曲线的第二定义在解题中的精彩妙用，以供同学们参考和借鉴. 类型一、求焦点弦长 例1.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，求弦的长. 【解析】法1:依题意，易得焦点，准线方程为.如图，过分别作准线的垂线，垂足分别为.由第二定义，得,即弦的长为. 法2:依题意，易得焦点，准线方程为.设弦的中点为，则.如图，过分别作准线的垂线，垂足分别为,且知线段为直角梯形的中位线.由抛物线的定义,得，即弦的长为. 【点评】若设过焦点的直线方程，并联立方程组求出的值，其过程很繁琐；但考虑从抛物线的定义出发来求解，就能避免复杂的计算而使问题简捷获解. 类型二、求焦半径长 例2.已知是双曲线左支上一点，且点到其右准线的距离为,求到左焦点的距离. 【解析】法1:设双曲线的左、右焦点分别为,点到右准线的距离为,则.由题意易得双曲线离心率,根据第二定义得，即.又由双曲线第一定义得,即得,故到左焦点的距离为. 法2:设双曲线的左、右焦点分别为,点到左、右准线的距离分别为,且.由图可得,而双曲线离心率,根据第二定义得，即,故到左焦点的距离为. 【点评】当涉及到求圆锥曲线的焦半径长时，要优先考虑用第二定义来解题，它能十分迅速而简洁地使问题获解.另外，利用第二定义能很方便地求出圆锥曲线的焦半径公式，设是圆锥曲线上一点,是曲线的一个焦点,焦半径公式反映出将长度的值仅用(或)表示出来.请同学们自己推导，以便日后能灵活准确使用公式解题. 类型三、求离心率 例3.已知倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，与椭圆交于两点，且有，求椭圆的离心率. 【解析】如图,设椭圆的左准线为,离心率为.过分别作的垂线,垂足分别为，又过作于.由第二定义可知，又因为,于是得，且,.在中，由题意知,即，所以.故离心率. 【点评】离心率是圆锥曲线的一个重要几何量,求解椭圆和双曲线的离心率是圆锥曲线中常考查的热点问题.本题若采用常规解法,其计算与化简过程会相当繁琐,而运用第二定义操作则大大减少了运算量，使问题轻松巧妙地获解. 类型四、求曲线上点的坐标 例4.已知是双曲线右支上一点,且到左焦点与到右焦点的距离之比为,求点的坐标. 【解析】设点.由双曲线方程知:这里,则.设双曲线的右准线方程为,易知右顶点,右焦点,则到准线的距离.由第二定义知,解得,即右准线方程为,由双曲线的对称性得其左准线方程为.则到的距离分别为,.由第二定义得,即,解得,将其代入双曲线方程得.故点的坐标为. 【点评】本题若直接利用双曲线的左、右准线方程为，再利用第二定义求得焦半径，,由，这样能快速求出.但本例用第二定义给大家很好地示范了求圆锥曲线准线方程的一种好方法,值得借鉴,在遗忘了准线方程是什么的情况下,能快速求出获得. 【针对训练题1】设椭圆方程为，过其右焦点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点到右准线的距离为，求弦的长. 【针对训练题2】已知椭圆上有一点到左准线的距离为，求到右焦点的距离. 【针对训练题3】设双曲线的右焦点为,右准线为,若过且垂直于轴的弦的长度是到准线的距离的倍，求双曲线的离心率. 【针对训练题4】(1)设是椭圆上一点，若它到左焦点的距离是它到右焦点距离的倍,求点的坐标.(2)已知是抛物线上一点，是平面内一定点,是抛物线的焦点,求使得取得最小值时点的坐标. 训练题答案与解析 1.解:依题意,易得,则,离心率.过分别作右准线的垂线，垂足分别为,且知线段为直角梯形的中位线,则.由椭圆的第二定义,得,即；同理.则,即弦的长为. 2.解:设椭圆的左、右焦点分别为,点到左准线的距离为,则.由题意易得椭圆离心率,根据第二定义得，即.又由椭圆第一定义得,故到右焦点的距离为. 3.解:设双曲线的离心率为.过分别作的垂线,垂足分别为.依题意知，则且.由第二定义得双曲线的离心率. 4.解:(1)设点，椭圆的左、右焦点为.由第二定义求得焦半径，,这里.由,解得,代入椭圆方程得，故点的坐标为. (2)由题意得准线方程为,设到准线的距离等于.由抛物线的定义知,且点是抛物线内部一定点.则，故当三点共线且垂直准线时,,此时,轴.设,则,代入抛物线方程得,所以满足条件的点的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $