精品解析：江苏南京市建邺区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

江苏省南京市建邺区2025－2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（ 本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中是无理数的有（ ） A. B. 3 C. D. 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB的长为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，点C在线段上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 点可能在（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 6. 已知一次函数（ k为常数，）．当时，，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（ 本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 9的平方根是_________． 8. 比较大小： ______（填“”、“”或“”）． 9. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为_________． 10. 若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是______． 11. 如图，点与数轴原点重合，点表示数，，，以点为圆心，长为半径画弧，与负半轴交于点，则点表示数_________． 12. 如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC＝100°，则∠DAE＝_____． 13. 已知y是关于x的一次函数，如表是部分x与y的对应值，则m的值为_________． x … 0 2 3 … y … 2 m … 14. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为_________． 15. 如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 三、解答题（ 本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，已知．求证：． 20. 如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 21. 已知一次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象； （2）已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 22. 如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． （1）求证：． （2）若，，则 ． 23. 某商店销售A、B两种型号水笔共200支，每支的成本和售价如表： A B 成本/（ 元/支） 3 5 售价/（ 元/支） 4 8 （1）设该商店销售A型号水笔x支，则销售B型号水笔 支，共获得利润 元（ 用含x的代数式表示，结果需化简）； （2）若购进两种型号水笔总成本不超过800元，则该商店如何安排购进A，B两种型号水笔的数量，使得销售完这些水笔后获利最大？并求出最大利润． 24. 如图，在中，点D在上，点E在上，且，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． （3）平分，为直角三角形，若的面积为1，则的面积为 ． 25. 如图，三条直线两两相交，交点分别为A，B，C．分别在直线，上找点D，E，使得，，用直尺和圆规作出所有符合条件的点．（ 保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 26. 如图，某滤水壶有净水区和蓄水区．现给空壶的净水区加满水，净水区中水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（ 不计补水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离与水流时间的函数图象如图①所示． （1）点B的坐标的实际意义是 ； （2）求线段的函数表达式； （3）设滤水壶净水区水面、蓄水区水面距滤水壶底的高度分别为、，请在图②中分别画出、与水流时间的函数图象，并标注出关键点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市建邺区2025－2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（ 本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中是无理数的有（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数与有理数的定义，熟练掌握无理数是无限不循环小数、有理数包括整数和分数是解题的关键．根据无理数的定义（无限不循环小数）和有理数的定义（整数和分数的统称），对每个选项进行判断，从而找出无理数． 【详解】解：∵=3，3是整数，属于有理数． ∵3是整数，属于有理数． ∵是分数，属于有理数． ∵是无限不循环小数，符合无理数的定义． ∴只有选项D是无理数， 故选：D． 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB的长为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】∠C＝90°，AC＝3，BC＝4,, 所以AB=5.故选C. 3. 如图，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． 先将点A的坐标代入一次函数解析式求出参数，再求函数与轴交点的坐标． 【详解】解：点在上， ， ， ， 一次函数解析式为， 点在轴上令，则， ， 故选：A． 4. 如图，，点C在线段上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，根据内角和定理得到． 【详解】解： 、 故选：B． 5. 点可能在（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 本题根据各象限内点的坐标符号特征，通过分类讨论的取值范围，判断点的横纵坐标正负性，进而确定点可能在的象限． 【详解】解：∵各象限点的坐标特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 当时， ∵横坐标，纵坐标，且， ∴纵坐标， ∴点在第四象限， 当时， ∵横坐标， 若，即，此时点在第二象限， 若，即，此时点在第三象限， 当时，点为，在y轴负半轴，不属于任何象限， 又∵若点在第一象限，需且，此不等式组无解，故点不可能在第一象限， ∴点可能在第二、三、四象限； 故选：D． 6. 已知一次函数（ k为常数，）．当时，，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，分当，，两种情况讨论，再结合当时，，得出不等式，解不等式即可． 【详解】解：当时，一次函数为增函数．要使当时，恒成立，则该一次函数图象与轴的交点的横坐标需要满足． 解得，与矛盾，故此种情况不存在． 当时，一次函数为减函数．要使当时，恒成立，则当时，必有．即． 解得，即． 又∵， ∴； 故选C． 二、填空题（ 本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 9的平方根是_________． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故答案为±3． 【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 8. 比较大小： ______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先比较与的大小，再根据两个负数，绝对值大的反而小即可求解，掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值． 【详解】解：点的纵坐标为， ， 点到轴的距离为． 故答案为：． 10. 若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 等腰三角形的两边长分别为和，需分情况讨论哪边为腰、哪边为底边，并验证是否满足三角形三边关系，然后求周长即可． 【详解】解：若为腰，为底边，则三边为、、，但，不满足三角形三边关系，不构成三角形； 若为腰，为底边，则三边为、、且，满足三角形三边关系，故周长为． 故答案为19． 11. 如图，点与数轴原点重合，点表示数，，，以点为圆心，长为半径画弧，与负半轴交于点，则点表示数_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、用数轴上的点表示数，利用勾股定理求出的长度，再根据得到点表示的数． 【详解】解：点表示数， ， 由勾股定理可得，， 由勾股定理可得，， 由圆的知识可得，， 点表示的数为， 故答案为：． 12. 如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC＝100°，则∠DAE＝_____． 【答案】20° 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可知：，即得：，即，即求出． 【详解】由垂直平分线的性质可知：， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理．由垂直平分线的性质得出是解答本题的关键． 13. 已知y是关于x的一次函数，如表是部分x与y的对应值，则m的值为_________． x … 0 2 3 … y … 2 m … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求一次函数解析式，再代入求值． 【详解】解：设一次函数解析式为，代入点，得： ， 解得， ∴一次函数解析式为． 当时，． 故答案为：． 14. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，根据题意，得出的值，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为函数与的图象相交于点， 所以，， 两式相减得，， 则， 所以不等式可化为， 解得． 故答案为：． 15. 如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（ 本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根、求立方根． 先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的性质解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）利用方程思想，平方根的定义计算即可； （2）利用方程思想，立方根的定义计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ． 19. 如图，已知．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，平行线的性质与判定，熟知以上定理和性质是解答本题的关键． 根据题意得到，再根据三角形全等的判定证得，从而得证，根据内错角相等，得到两直线平行． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过B作于D，可知，，进而求出，根据计算即可． 【详解】解：过B作于D， ∴，， ∴（）， 在中，， ∴（）， 答：至少需要的彩旗带． 21. 已知一次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象； （2）已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 【答案】（1）见解析 （2）①②③ 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移和轴对称、点的旋转变换等知识，熟练掌握各种变换是解题的关键． （1）求出一次函数与y轴的交点和与x轴的交点，画直线即可得到答案； （2）把函数变换后验证是否过点即可． 【小问1详解】 解：当时，，得到直线与y轴的交点为， 当时，，，得到直线与x轴的交点为， 在直角坐标系中描出点和，过这两点画直线，即为的图象，如图所示： ； 【小问2详解】 ①向上平移4个单位，平移后解析式：， 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ②沿x轴翻折 翻折后解析式：，即 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ③绕原点按顺时针方向旋转， 设原函数上任意一点旋转后对应点为，旋转的坐标变换为，即， 代入原函数，得，整理得， 代入：， ∴函数图象经过变换后过点． 综上，能使函数图象经过变换后过点是①②③． 故答案为：①②③． 22. 如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． （1）求证：． （2）若，，则 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据垂直平分线的性质得到，再证得，从而得出结论； （2）易证得，根据全等三角形的性质得到，再利用（1）的结论，根据线段的和差关系进行解答即可． 【小问1详解】 证明：连接，，如图： 点D在的垂直平分线上， ， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、， ， ， ， ， 故答案为：． 23. 某商店销售A、B两种型号水笔共200支，每支的成本和售价如表： A B 成本/（ 元/支） 3 5 售价/（ 元/支） 4 8 （1）设该商店销售A型号水笔x支，则销售B型号水笔 支，共获得利润 元（ 用含x的代数式表示，结果需化简）； （2）若购进两种型号水笔总成本不超过800元，则该商店如何安排购进A，B两种型号水笔的数量，使得销售完这些水笔后获利最大？并求出最大利润． 【答案】（1）， （2）该商店购进A型号水笔100支，B型号水笔100支，使得销售完这些水笔后获利最大，最大利润为400元 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列代数式，一元一次不等式的应用； （1）根据数量关系列代数式即可； （2）根据两种型号水笔总成本不超过800元列不等式，求出x的范围，再结合利润的表达式求解即可． 【小问1详解】 解：设该商店销售A型号水笔x支， ∵某商店销售A、B两种型号水笔共200支， ∴销售B型号水笔支， ∴共获得利润为（ 元）， 【小问2详解】 解：设该商店购进A型号水笔x支，则购进B型号水笔支， 根据题意得：， 解得：， 设共获得利润为y元， 由（1）可知，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 此时，， 答：该商店购进A型号水笔100支，B型号水笔100支，使得销售完这些水笔后获利最大，最大利润为400元． 24. 如图，在中，点D在上，点E在上，且，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． （3）平分，为直角三角形，若的面积为1，则的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，进而得到，再利用三角形的内角和定理得到，从而得出结论； （2）过点C作于点F，由（1）可知，根据直角三角形中线的性质得到，进而得到是等边三角形，利用勾股定理求解即可； （3）设，由（1）可知，分情况讨论：①当时，过点D作于点H，易证得是等腰直角三角形，进而得到，设，则，在中，由勾股定理得，则，根据的面积为1，列方程求解即可；②当时，过点B作于点P，则、，设，在中，， 则，进而得到，根据勾股定理求得、，进而得到，根据的面积为1，列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 点D在上， ， ， 在中，， ； 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图1所示： ， ， 由（1）可知， 是直角三角形， ， ， 是斜边上的中线， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ； 【小问3详解】 解：平分， 设， ， 由（1）可知， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，过点D作于点H，如图2所示： ， ， ， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 、， ， ， 设， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， 的面积为1， ， ， ， ； ②当时，过点B作于点P，如图3所示： 在中，， ， ， 、， 设， 在中，， ， ， 由勾股定理得， ， ， 是直角三角形， 在中，、， ， 由勾股定理得， ， 的面积为1， ， ， ， ， 综上所述，的面积为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、角平分线定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 25. 如图，三条直线两两相交，交点分别为A，B，C．分别在直线，上找点D，E，使得，，用直尺和圆规作出所有符合条件的点．（ 保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作线段等于已知线段，作角等于已知角，先以A为端点在直线上截取，再以为顶点作交直线于点D即可． 【详解】解：如图，点，或，即为所求． 先以A为端点在直线上截取，再以为顶点作交直线于点D即可． 26. 如图，某滤水壶有净水区和蓄水区．现给空壶的净水区加满水，净水区中水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（ 不计补水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离与水流时间的函数图象如图①所示． （1）点B的坐标的实际意义是 ； （2）求线段的函数表达式； （3）设滤水壶净水区水面、蓄水区水面距滤水壶底的高度分别为、，请在图②中分别画出、与水流时间的函数图象，并标注出关键点的坐标． 【答案】（1）3分钟时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分段函数的实际应用，解题的关键是结合水流过程分析距离的分段变化规律． （1）结合题意分析时间节点的水流状态，明确点对应的实际情景，即3分钟时净水区停止向蓄水区流水，此时两区水面距离为9厘米． （2）先利用、两点求出段的函数解析式；再根据水匀速流动得出，代入点求出的函数表达式． （3）根据水流的分段过程，可得由一刹那，高度查从变为，说明净水区高度上升了，也说明这它下降了，故时它的高度为，而蓄水区的高度为，这是它接受净水区的水导致的升高。这可推出：净水区、蓄水区的底面积之比为,升降高度比.故的关键转折点坐标如下，再据此画图即可． 【小问1详解】 解：点B坐标的实际意义是：经过3分钟又将净水区补满水，此时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米， 故答案为：3分钟时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米； 【小问2详解】 解：设为， 则：， 解得：， ∴； 又∵，且， ∴可设为， ∴， 解得：， ∴为； 【小问3详解】 解：由题意可得，作图如下： 其中实线是，虚线是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $