第2单元 认识三角形和四边形讲义-数学四年级下册单元预习北师大版

认识三角形和四边形 知识深度解析 认识图形 ①按平面图形和立体图形分； ②把平面图形按图形是否由线段围成来分，分为两大类。一类是由曲线围成的，一类是由线段围成的。 ③按图形的边数来分。 平行四边形和三角形的性质 三角形具有稳定性，平行四边形具有易变形（不稳定性）的特点。 三角形的分类及其依据 （1）按角分：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。 ①三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 ②有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ③有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 （2）按边分：等腰三角形、等边三角形、任意三角形。 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②三条边都相等的三角形是等边三角形。 通过分类发现：等边三角形是特殊的等腰三角形。 三角形内角和、三角形边的关系 任意一个三角形内角和等于180度。 三角形任意两边之和大于第三边。已知两条边的长度，那么第三边的长度要大于已知两边之差小于两边只差。 四边形的内角和及其与三角形的关系 四边形的内角和是360° 用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。 用2个相同的直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个长方形、一个大三角形。 用2个相同的等腰的直角的三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形。一个大的等腰的直角的三角形。 四边形的分类 1、 由四条线段围成的封闭图形叫作四边形。四边形中有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，只由一组对边平行的四边形是梯形。 2、长方形、正方形是特殊的平行四边形。正方形是特殊的长方形。 3、正方形、长方形、等腰梯形、菱形、等腰三角形、等边三角形、圆形是轴对称图形。 ① 正方形有4条对称轴。② 长方形有2条对称轴。菱形有2条对称轴。 ③ 等腰梯形有1条对称轴。④ 等边三角形有3条对称轴。⑤ 圆有无数条对称轴。 典例一讲即透 典例1：三角形的分类 1．只看三角形的一个角，（    ）判断出它是什么三角形。 A．能 B．不能 C．不一定能 D．肯定不能 2．下列说法不正确的是(　　)． A．只有一组对边平行的四边形是梯形 B．等边三角形也是等腰三角形 C．任何一个三角形中至少有两个锐角 D．等腰三角形都是锐角三角形 典例2：三角形的内角和 1．一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。 2．如下图，三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角的度数是( )°，原来这块纸片的形状，按角分是( )三角形。 典例3：三角形三边的关系 1．一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边的长度分别是4cm和7cm，那么第三条边最长是( )cm，最短是( )cm。 2．算一算，比一比，填一填。 6＋8( )10    8－6( )10 6＋10( )8    10－6( )8 8＋10( )6    10－8( )6 三角形任意两边之和( )第三边。三角形任意两边之差( )第三边。 典例4：四边形的分类 1．在中，是平行四边形的有( )，是梯形的有( )。 2．数一数，图中平行四边形有( )个，梯形有( )个。 核心考点特训 一、选择题 1．学校传达室的门坏了，下面（    ）种修理方案可以使这扇门最牢固。 A． B． C． D． 2．下面表示各图形之间的关系中，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．如果一个三角形的两条边分别是3cm和6cm，那么第三条边不可能是（    ）。 A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 4．下面各组小棒中，不能围成梯形的是（    ）。 A． B． C． D． 5．一个三角形最小的锐角是48°，这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上三种均可 6．依次连接方格纸上A、B、C 三个点，再连接①、②、③、④中的某一个点围成四边形。要使围成的四边形是梯形，可以有（    ）种不同的围法。 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．平行四边形有( )条边，( )个角，并且( )角相等。 8．分一分。（填序号） (1)锐角三角形有：( )。 (2)钝角三角形有：( )。 (3)直角三角形有：( )。 9．按要求选一选，填一填。（填序号） 能围成三角形的3根小棒是（    ）； 能围成等腰三角形的3根小棒是（    ）； 能围成平行四边形的4根小棒是（    ）。 10．数一数。 (1)有( )个三角形。 (2)有( )个四边形。 11．如下图，∠1＝80°，∠2＝60°，∠3＝( )。 12．一个等边三角形，三边之和是18cm，它一条边的长度是( )cm。 三、判断题 13．钝角三角形中没有锐角。( ) 14．若等边三角形的周长是84厘米，则边长是21厘米。( ) 15．照相机的三角支架应用了三角形的稳定性。( ) 16．如下图，把长方形纸的一个角折起，∠1＝31°。( ) 17．钝角三角形中两个锐角的和大于90°；正三角形也叫等边三角形，它的三个内角都是60°。( ) 四、解答题 18．算出下面三角形中未知角的度数。 ，，求。 19．如下图，用长3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒可以围成一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，那么围成的三角形是什么三角形？ 20． 21．如下图，两个三角形都是等腰三角形，∠3＝25°，∠5是多少度？ 22．手工课上，老师笑着说：“同学们，听说你们刚学了三角形和四边形的知识，那我可要考考你们了！”同学们信心满满地说：“没问题！” （1）首先，老师让大家设计一个三角形教具。下面是小宇和小恒的设计方案，这两个设计方案可行吗？为什么？ （2）然后，老师拿出了一根刚好围成一个边长是12厘米的等边三角形的铁丝，让大家用这根铁丝围成一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米？ （3）最后，老师让大家用三角形设计风筝图案。下面是园园用3个大小不同的等边三角形设计的风筝图案。她准备用彩绳给风筝做一个装饰，有①②③三种方案，哪种方案最省彩绳？哪两种方案用的彩绳一样长？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例一讲即透解析 典例1：三角形的分类 1．只看三角形的一个角，（    ）判断出它是什么三角形。 A．能 B．不能 C．不一定能 D．肯定不能 【答案】C 【分析】如果这个角大于或等于90°，就可以判定是钝角或者直角三角形；如果小于90°，则不能；进而得出结论。 【详解】由分析知：只看三角形的一个角，不一定能判断出它是什么三角形； 故答案为：C 【点睛】此题考查的是三角形的分类，应根据具体情况进行分析解答。 2．下列说法不正确的是(　　)． A．只有一组对边平行的四边形是梯形 B．等边三角形也是等腰三角形 C．任何一个三角形中至少有两个锐角 D．等腰三角形都是锐角三角形 【答案】D 【详解】梯形是只有一组对边平行的四边形;等边三角形符合等腰三角形的特点,所以它是特殊的等腰三角形; 任何一个三角形中至少有两个锐角; 等腰三角形是两条腰相等,它的顶角可以是锐角,也可以是直角,还可以是钝角．所以只有D选项是错误的． 典例2：三角形的内角和 1．一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。 【答案】 70° 40° 55° 55° 锐角 【分析】根据题意，等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和等于180°。题意没有说明70° 角是顶角还是底角，需分情况讨论。无论哪种情况，所有的角都是锐角，因此为锐角三角形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 当70°为底角时： 180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 此时三个角为：70°、70°、40° 当70°为顶角时： （ 180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 此时三个角分别为：70°、55°、55° 一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是70°和40°，也可能是55°和55°，按角分类这个三角形是锐角三角形。 2．如下图，三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角的度数是( )°，原来这块纸片的形状，按角分是( )三角形。 【答案】 57 锐角 【分析】根据三角形的内角和是180°计算出撕去角的度数；再根据三角形按角分类规则判断：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【详解】180°－66°－57° ＝114°－57° ＝57° 三个角都大于0°，小于90°。 所以撕去的这个角的度数是57°，原来这块纸片的形状，按角分是锐角三角形。 典例3：三角形三边的关系 1．一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边的长度分别是4cm和7cm，那么第三条边最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】 10 4 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行分析。 【详解】（cm） （cm） 一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边的长度分别是4cm和7cm，那么第三条边最长是10cm，最短是4cm。 2．算一算，比一比，填一填。 6＋8( )10    8－6( )10 6＋10( )8    10－6( )8 8＋10( )6    10－8( )6 三角形任意两边之和( )第三边。三角形任意两边之差( )第三边。 【答案】 ＞ ＜ ＞ ＜ ＞ ＜ 大于 小于 【分析】运用加法和减法运算，计算结果，进行比较即可；然后根据计算结果，得出三角形的边长关系。 【详解】，因为，所以； ，因为，所以； ，因为，所以； 因此，得出结论：三角形任意两边之和（大于）第三边。 ，因为，所以； ，因为，所以； ，因为，所以； 因此，得出结论：三角形任意两边之差（小于）第三边。 典例4：四边形的分类 1．在中，是平行四边形的有( )，是梯形的有( )。 【答案】 ①③ ②⑤ 【分析】平行四边形是两组对边分别平行且相等的四边形，梯形是只有一组对边平行的四边形，据此解答。 【详解】 根据分析：在中，是平行四边形的有①③，是梯形的有②⑤。 2．数一数，图中平行四边形有( )个，梯形有( )个。 【答案】 3 6 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形。据此解答。 【详解】如图所示，平行四边形有以下几个。 如下图所示，梯形有以下几个。 故图中平行四边形有3个，梯形有6个。 核心考点特训解析 1．C 【分析】三角形具有稳定性，这是其独特的性质，在生活中有诸多应用，比如建筑结构加固等。它的三条边相互制约，一旦三边长度确定，其形状和大小就固定下来，不易变形，只需在选项中找到三角形即可。 【详解】 A．是长方形结构，容易变形。 B．也是长方形结构，容易变形。 C．中有三角形，符合稳定性的要求。 D．是长方形结构，容易变形。 所以选项C中的修理方案可以使这扇门最牢固。 故答案为：C 2．B 【详解】根据各图形的特征，用集合图表示，逐项分析判断，得出结论。 【点睛】A.梯形分为：普通梯形、等腰梯形、直角梯形；等腰梯形和直角梯形是平行关系，而原题中等腰梯形包含直角梯形，所以原题表示错误； B.四边形包括平行四边形和梯形，其中长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形，所以平行四边形包含长方形，长方形包含正方形；原题表示正确； C.三角形按角分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形；这三种三角形组成所有的三角形，而原题中“三角形”与其它三种三角形是平行关系，原题表示错误； D.三角形按边分为普通三角形、等腰三角形；因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形包含等边三角形；而原题中等腰三角形和等边三角形是平行关系，原题表示错误。 故答案为：B 3．A 【分析】判断能不能围成三角形的方法：三角形两条短边之和必须大于第三边，将较短的两条线段长度相加，与第三条线段比较即可。 【详解】A．2＋3＝5（cm）＜6cm，第三条边不可能是2cm； B．3＋4＝7（cm）＞6cm，第三条边可能是4cm； C．3＋5＝8（cm）＞6cm，第三条边可能是5cm； D．3＋6＝9（cm）＞6cm，第三条边可能是6cm。 故答案为：A 4．A 【分析】依据梯形的定义判断，只有一组对边平行的四边形是梯形，所以，梯形不可能四条边都相等。 【详解】 不能围成梯形的是。 故答案为：A 5．A 【分析】由题意得，一个三角形最小的锐角是48°，那么另外两个角的度数都大于48°。48°＋48°＝96°，即较小的两个角的度数之和一定大于96°。三角形的内角和为180°，180°－96°＝84°，即最大的角不会超过84°。所以这个三角形的三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 【详解】48°＋48°＝96° 180°－96°＝84°，即这个三角形的三个内角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：A 6．A 【分析】梯形的上底和下底是平行的，所以围成的图形中有一组平行线，看哪些图形符合进行选择。 【详解】 根据图可知，连①是四边形，连②也是四边形，连③是平行四边形，只有连④才是梯形，所以只有1种； 故答案为：A 7． 4 4 对 【分析】平行四边形是四边形的一种，四边形都有4条边，所以平行四边形有4条边；四边形都有4个角，因此平行四边形有4个角；根据平行四边形的性质，其相对的两个角大小相等，即对角相等。 据此解答。 【详解】根据分析得： 平行四边形有4条边，4个角，并且对角相等。 8．(1)①②④ (2)③⑦⑨ (3)⑤⑥⑧⑩ 【分析】根据三角形的分类：锐角三角形：三个角都是锐角（小于 90°）的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角（大于 90°）的三角形；直角三角形：有一个角是直角（90°）的三角形。 据此解答。 【详解】（1）根据分析可知： 锐角三角形有：①②④ （2）根据分析可知： 钝角三角形有：③⑦⑨ （3）根据分析可知： 直角三角形有：⑤⑥⑧⑩ 9．①②③；③④⑤；①②③④（前两空答案不唯一） 【分析】三角形三边需满足 “任意两边之和大于第三边”，如：，，所以①②③能围成三角形；，，所以②③④能围成三角形； 等腰三角形需2边长度相等，同时满足三角形三边关系，如：，，所以③④⑤能围成等腰三角形；，，所以②③④能围成等腰三角形； 平行四边形需 “两组对边分别相等”，①和②都是2米，③和④都是3米，所以①②③④能围成平行四边形。 【详解】能围成三角形的3根小棒是①②③；（答案不唯一） 能围成等腰三角形的3根小棒是③④⑤；（答案不唯一） 能围成平行四边形的4根小棒是①②③④。 10．(1)10 (2)3 【分析】（1）三角形是由三条线段首尾相接组成的封闭图形，通过观察图形，找出所有符合条件的三角形； （2）四边形是由四条边组成的封闭图形，通过观察图形，找出所有符合条件的四边形。 【详解】（1）从最小的三角形数起：由一个小三角形组成的有4个，由两个小三角形组成的有3个，由三个小三角形组成的有2个，由四个小三角形组成的有1个，，所以一共有10个。 有10个三角形。 （2）由1个小四边形组成的有2个，由2个小四边形组成的有1个，，所以一共有3个。 有3个四边形。 11．40° 【分析】三角形的内角和是180°，，，则。 【详解】由分析可得： 。 12．6 【分析】根据等边三角形的三条边长度相同，可以用三边之和除以3即可求出一条边的长度，据此解答。 【详解】（cm） 一个等边三角形，三边之和是18cm，它一条边的长度是（6）cm。 13．× 【分析】根据三角形的定义，三角形内角和为180度。钝角三角形有一个钝角（大于90度），则其余两个角的和小于90度，因此这两个角都是锐角（小于90度）。所以钝角三角形中有锐角。 【详解】钝角三角形中有一个钝角，根据三角形内角和定理，内角和为180度，钝角大于90度，因此其余两个角的和小于90度，且每个角都小于90度，所以这两个角都是锐角。故钝角三角形中没有锐角的说法是错误的。 故答案为：× 14．× 【分析】根据等边三角形的定义，三条边的长度都相等，因此边长等于周长除以3。据此解答。 【详解】 （厘米） 28厘米 ≠ 21厘米，因此题干说法错误。 故答案为： 15．√ 【分析】三角形的稳定性是指当三角形三边长度固定时，其形状和大小保持不变的性质。生活中有许多应用实例，如建筑结构、支架设计等。题干中“照相机的三角支架”通过三条边构成三角形结构，符合稳定性原理。由此可做出判断。 【详解】照相机的三角支架由三条边组成一个三角形，三角形具有稳定性，能有效防止支架晃动或变形，原题干说法正确。 故答案为：√ 16．√ 【分析】折叠前后的两个图形关于折线轴对称；根据三角形的内角和是180°可知，直角三角形的两个锐角相加等于90°。 【详解】由分析可知，图中三角形是直角三角形，已知其中一个锐角是59°，求∠1，可得： ∠1＝90°－59° ＝31° 所以原题干说法正确。 故答案为：√ 17．× 【分析】三角形的内角和为180°，钝角三角形中有一个钝角，钝角大于90°，因此其余两个锐角的和等于180°减去钝角，所以两个锐角的和小于90°。等边三角形的特点，等边三角形又叫正三角形，三个内角都是60°。 【详解】根据分析得出： 钝角三角形中两个锐角的和大于90°，此说法是错误的； 正三角形也叫等边三角形，它的三个内角都是60°，此说法是正确的。 故答案为：× 18． 【分析】三角形的内角和是180°，已知∠1和∠2的度数，用180°减去∠1和∠2的度数和，即可求出∠3的度数。 【详解】 答：∠3的度数是46°。 19．钝角三角形 【分析】角的大小和角两边张口的大小有关，两边张开的越大角越大。根据题意分析，题中的三角形是一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，即要将图中的直角的两条边张口再变大些，所以这个直角会变成一个钝角，所以这个三角形是钝角三角形。据此分析解答。 【详解】用长3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒可以围成一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，那么直角的两条边的张口会变大，这个角会变成钝角，所以这时围成的三角形是钝角三角形。 答：围成的三角形是钝角三角形。 20．68度 【分析】三角形内角和是180度，用180度减去另外两个角的度数，就能求出剪掉的这个角的度数。 【详解】180－44－68 ＝136－68 ＝68（度） 答：被剪掉的这个角是68度。 21．140° 【分析】题目已知条件三角形为等腰三角形，从图可知，有一个角是直角，所以大三角形是等腰直角三角形。根据等腰直角三角形的性质求出与的度数，再求出∠1与∠2的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠5的度数。 【详解】 答：∠5是140°。 【点睛】结合三角形内角和与等腰直角三角形的性质得出答案。 22．（1）这两个设计方案都不可行。理由见解析； （2）9厘米；（3）方案②最省彩绳，方案①和方案③用的彩绳一样长，因为等边三角形三条边长度相等。 【分析】（1）根据三角形内角和判断小恒的设计方案是否可行；根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边判断小宇的设计方案是否可行； （2）已知等边三角形的铁丝边长为12厘米，先求三角形的周长，再用这根铁丝围成正方形，正方形的周长和三角形的周长一样，所以用周长除以4得到正方形的边长； （3）把三种方案的彩带长度计算出来，比较三种方案，选择长度最短的方案是最省彩绳的。 【详解】（1）， （厘米）， 答：这两个设计方案都不可行。因为小恒的设计方案中，三角形的内角和大于180°；小宇的设计方案中，三角形的其中两边之和等于第三边。 （2）（厘米） 答：这个正方形的边长是9厘米。 （3）方案①：（厘米） 方案③：（厘米） 方案②：（厘米）， 答：方案②最省彩绳，方案①和方案③用的彩绳一样长，因为等边三角形三条边长度相等。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $