精品解析：山东菏泽市东明县2025-2026学年度第一学期期末试题 八年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末试题 八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求，请把正确的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 衡量样本和总体的波动大小的特征数是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的意义可以选出合适的选项． 【详解】根据方差的概念，知方差反映了一组数据的波动大小、故选C 【点睛】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[++]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 2. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标；根据x轴上点的纵坐标为0的特征，建立方程求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴其纵坐标． 解此方程得：， 此时，点A的坐标为，符合x轴上点的定义． 故的值为， 故选：C． 3. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若，则， C. 内错角相等，两直线平行 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的定义、平行线的判定及有理数的运算可进行求解． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，比如这两个角是直角，故不符合题意； B、若，则有可能同为正数，有可能是异号，且正数的绝对值较大，故不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，属于真命题，故符合题意； D、若，，则，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查真假命题、对顶角、平行线的判定及有理数的运算，熟练掌握真假命题、对顶角、平行线的判定及有理数的运算是解题的关键． 4. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 1，4，9 D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，符合题意； B、 ，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．分别对每个选项进行二次根式的运算，判断其正确性． 【详解】解：，故A项错误． ，故B项正确． ，故C项错误． 与不是同类二次根式，不能合并，结果不是，故D项错误． 故选：B． 6. 有一组被墨水污染的数据：，，，，*，★，，，，，，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的上四分位数是15 C. 这组数据的中位数是10 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，另一个数可能是13 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图逐一分析即可． 【详解】解：A选项，箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，正确，不符合题意； B选项，箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，正确，不符合题意； C选项，箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，错误，符合题意； D选项，箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3， 最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值是18， 所以被墨水污染的数据中一个数是3； 由图可得这组数据的中位数为10.5， 将这组数据已知的部分进行排序，为3、4、4、4、7、10、11、15、15、17、18， 要使中位数为10.5，则被污染的一个数要大于11，即可能是13，正确，不符合题意． 7. 《九章算术》中记载有盈不足问题、今有共买金、人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、金价各几何？其大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设合伙人数为人，金价钱，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设合伙人数为人，金价钱． 每人出钱400，会多出3400钱， ； 每人出钱300，会多出100钱， ． 联立两方程组成方程组得． 整理得， 故选：B． 8. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行判断即可． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，不一定有唯一的值与之对应，故不是的函数，符合题意． 9. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点到y轴的距离是4，则a的值为（ ） A. B. 或4 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，根据第四象限内的点到y轴的距离是4，得，，进而可得出答案． 【详解】解：∵第四象限内的点到y轴的距离是4， ∴，， ∴， 故选：C． 10. A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程（千米）与时刻（小时）之间的关系．下列说法： ①乙晚出发1小时； ②乙出发3小时后追上甲； ③甲的速度是4千米/小时； ④乙先到达B地． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】根据函数的图像直接读取信息：①乙比甲晚出发1小时，正确； ②乙应出发2小时后追上甲，错误； ③甲的速度为12÷3=4（千米/小时），正确； 甲到达需要20÷4=5（小时）；乙的速度为12÷2=6（千米/小时）， ④乙到达需要的时间为20÷6=3（小时），即乙在甲出发4小时到达，甲5小时到达，故乙比甲先到，正确． 故选C 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质．从图象得到必要的信息和数据是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内． 11. 若，则的平方根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负数的应用，涉及平方根定义、算术平方根非负性、平方的非负性等知识，根据非负数和为零的条件得到值，代值求解即可得到答案，熟练掌握非负数和为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：， ，解得， ， 的平方根为， 故答案为：． 12. 如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米． 【答案】13 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图所示， AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5， 在直角三角形AEC中， AC＝＝＝13． 答：小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 13. 如图，直尺的一边经过直角三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，求出，得到，由对顶角的在得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系．熟练掌握二元一次方程组的解即为两直线交点的横纵坐标是解题的关键． 根据二元一次方程组的解即为两直线交点的横纵坐标，结合图象作答即可． 【详解】解：由图象可知，二元一次方程组的解为， 故答案为：． 15. 若一次函数的图象经过第一，二，四象限，点，点是图象上的两个点，则______（用、或填空）． 【答案】 【解析】 【分析】由一次函数图象经过的象限可得出，，利用一次函数的性质即可解答． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 随的增大而减小， ，点是图象上的两个点，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象经过的象限，找出，是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交于点E，交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键；由折叠可知：，则有，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：由折叠可知：， ∵点D为的中点，， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：，即， 故答案为． 三、简答题：本题共7小题，共72分，把解答、演算步骤或证明过程写在答题卡的相应区域内． 17. （1）计算： （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，二元一次方程组的解法，掌握二次根式的混合运算的运算顺序与方程组的解法步骤是解本题的关键； （1）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可； （2）利用加减法先消去未知数y，求解x，再求解y即可． 【详解】解：（1） （2） 解：由得： 由得： 由得， ， 把代入②得：， ， 原方程组的解为． 18. 某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为 【解析】 【分析】在Rt中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在Rt中, ，，（m）， （m）， 在Rt中，，，（m）， （m）， （m）， 答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点，． （1）求直线的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为：，然后代入，，求出k、b的值即可得出答案； （2）先求出直线与y轴的交点，然后再根据三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入得：， ∴直线与y轴的交点为， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的一般步骤，准确计算． 20. [定义]把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则称，，为这组数据的四分位数． [应用]甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数，，； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． [理解]根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】（1），，； （2）如图所示： ； [理解]：根据箱线图和对四分位数的理解，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中． 【解析】 【分析】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据“四分位数”的定义解答即可； （2）根据甲组的四分位数即可绘制箱线图，根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】解：（1）把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 故，，； （2）略 [理解]：根据箱线图和对四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中．（答案不唯一） 21. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3）或 【解析】 【分析】此题考查坐标系中点坐标特点，画轴对称图形，利用三角形面积求点坐标， （1）根据平行于轴，得到，求出，即可得到点的坐标； （2）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可得到； （3）根据得到，求出点的坐标为或． 【小问1详解】 解：∵，，平行于轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，点的坐标为，平行于轴，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 22. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】（1），两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元 （2）该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元，根据“1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元， 由题意得：， 解得：， ∴，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元； 【小问2详解】 解：设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆． 23. 如图，点，分别在线段，上，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明， ． ， ． ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 由（1）知，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末试题 八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求，请把正确的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 衡量样本和总体的波动大小的特征数是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 2. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（    ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若，则， C. 内错角相等，两直线平行 D. 若，，则 4. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 1，4，9 D. 1，2，3 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 有一组被墨水污染的数据：，，，，*，★，，，，，，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的上四分位数是15 C. 这组数据的中位数是10 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，另一个数可能是13 7. 《九章算术》中记载有盈不足问题、今有共买金、人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、金价各几何？其大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点到y轴的距离是4，则a的值为（ ） A. B. 或4 C. D. 4 10. A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程（千米）与时刻（小时）之间的关系．下列说法： ①乙晚出发1小时； ②乙出发3小时后追上甲； ③甲的速度是4千米/小时； ④乙先到达B地． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内． 11. 若，则的平方根为______． 12. 如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米． 13. 如图，直尺的一边经过直角三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则______． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则二元一次方程组的解为______． 15. 若一次函数的图象经过第一，二，四象限，点，点是图象上的两个点，则______（用、或填空）． 16. 如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交于点E，交于点F，则的长为______． 三、简答题：本题共7小题，共72分，把解答、演算步骤或证明过程写在答题卡的相应区域内． 17. （1）计算： （2）解方程组：． 18. 某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点，． （1）求直线的表达式； （2）求的面积． 20. [定义]把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则称，，为这组数据的四分位数． [应用]甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数，，； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． [理解]根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 21. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 22. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 23. 如图，点，分别在线段，上，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $