7.5 正态分布 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

§7.5 正态分布 目录 题型1：正态曲线的特征 3 题型2：正态分布的概率计算 7 题型3：正态分布的应用问题 15 1. 正态曲线 (1) 定义 我们把函数，（其中，为参数）称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线. (2) 正态曲线的性质 ①当无限增大时，曲线无限接近轴； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与轴之间的区域的面积为1； ⑤当一定时,曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示； ⑥当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中，如图乙所示. 2. 正态分布 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布，其图像称为标准正态曲线. 提醒 (1)参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计.是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计. (2)随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，就是落在区间的概率的近似值. 3. 原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值,这在统计学中称为原则. ①； ②； ③. 提醒 尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件. 题型1：正态曲线的特征 方法提炼 【例1.1.】 为了迎接春节的到来，某大型商场准备了质量为2kg的甲、乙两类水果礼盒．甲、乙两类水果礼盒与标识质量的差（单位：kg），分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ）（正态曲线的函数解析式为，）    A．甲类水果质量差的平均值 B．乙类水果的质量差比甲类水果的质量差更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量差比乙类水果的平均质量差大 D．乙类水果的质量差服从的正态分布的参数 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】正态曲线的性质 【分析】通过观察正态曲线的对称轴和形状，结合正态曲线的函数解析式来判断各选项的正误. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量差比乙类水果的质量差更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 【例1.2.】 某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质 【分析】越小，正态密度曲线越“高瘦”，可知选项A正确；根据正态密度曲线的对称性，可判断BCD正误． 【详解】对于选项A：因为为数据的方差，所以越小，数据在均值附近越集中， 所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于选项B：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 对于选项C：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 对于选项D：因为， ， 若越小，数据在均值附近越集中，则， 即， 所以该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等，故D错误. 故选：D. 【例1.3.】 （多选）正态分布的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】由正态密度曲线的对称性逐一分析四个选项即可得答案． 【详解】由正态分布的正态密度曲线关于直线对称， 对A：由对称性可得图中阴影部分可表示为，故选项A正确； 对B：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项B正确； 对C：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项C正确； 对D：由对称性可得，故选项D错误. 故选：ABC. 【例1.4.】 设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、概率分布曲线的认识 【分析】根据正态分布曲线的性质判断大小关系即可. 【详解】由、分布曲线关于轴对称， 则， ∵越大，正态分布曲线越扁平， ∴. 故选：C 【例1.5.】 已知随机变量，均服从正态分布，其中，且，设函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】求出，判断函数的对称性，可排除AC；求的值，可排除D.即可得到正确答案. 【详解】， 因为，所以， 即， ＝， 因为，所以根据对称性可知， 所以函数的图象关于对称，故排除AC； 当时，，所以排除D． 故选：B 题型2：正态分布的概率计算 方法提炼 正态分布下两类常见的概率计算 (1) 利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,常用,,等结论. (2) 利用原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的进行对比联系,使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率. 【例2.1.】 已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由正态分布的对称性，即可得出结论. 【详解】由题意， 随机变量服从正态分布，， ∵，由正态分布的对称性可得： ， 故. 故选：A. 【例2.2.】 已知随机变量X服从正态分布，若，且，则 . 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】依据正态分布的对称性得a，关于对称即可求解. 【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知a，关于对称， 所以，解得. 故答案为： 【例2.3.】 设随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】由题知，，进而根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】解：因为随机变量， 所以， 因为， 所以， 所以，根据正态分布的对称性，. 故选：A 【例2.4.】 设，且，则（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】应用正态分布的对称性有，，即可求概率. 【详解】由对称性质知，且， 又， 所以. 故选：A 【例2.5.】 已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.1 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由条件结合正态密度曲线的对称性可得，结合条件可求. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以随机变量的均值, 所以随机变量的密度曲线关于对称， 所以， 又， 所以， 因为， 所以， 【例2.6.】 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（   ） 附：若，则，，. A．8413 B．9772 C．9974 D．9987 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于150g的概率，即可得解. 【详解】由可知，，， 则， 故单果质量不低于150g的脐橙个数约为10000×0.9987=9987. 故选：D 【例2.7.】 某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为 ．（用百分数作答，精确到0.1%） 参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】特殊区间的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】计算样本的平均数和方差，由此估计，再结合参考数据求. 【详解】因为100个数据，，，…，的平均值， 方差， 所以的估计值为，的估计值为． 设该市高中生的身体素质指标值为X， 由， 得， 所以． 故答案为：. 【例2.8.】 已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（   ）（参考数据：①；②；③ A．这次考试成绩超过100分的约有1000人 B．这次考试分数低于70分的约有40人 C． D．从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指定区间的概率、独立重复试验的概率问题 【分析】由正态分布的性质即可得到A、B、C选项，用二项分布能够解决D. 【详解】由公式得到，所以超过100分的占，所以有人，所以A错； 低于分的概率为，所以大约有人，故B错； ，故C错； 分数超过100分的概率为，至少有2人的分数超过100分的概率为，符合题意，故D对. 故选：D. 【例2.9.】 （多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B． C． D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、正态分布的实际应用 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A正确； ，， 因为， 所以，故B错误； ，故C错误； 因为， ， 又，， 又与的密度曲线大致如下，所以， 所以，所以李明应选择公交车，故D正确． 故选：AD． 【例2.10.】 已知，则，，．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间．，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．50 B．55 C．59 D．64 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又， 所以，则， 设， 则， 所以，所以. ， 所以，所以. 所以以使得最大的值作为的估计值，则为. 故选：C. 题型3：正态分布的应用问题 【例3.1.】 某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布，其中，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”． (1)若，求a的取值范围； (2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，，则，，． 【答案】(1) (2)464100 【难度】0.65 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】（1）根据正态分布的对称性，分和两种情况求解可得； （2）根据原则求出和，然后求出各级群个数，即可求出所需奖金. 【详解】（1）由正态分布的对称性可知，若， 当，即时，因为， 所以有，得； 当，即时，要使， 则有，解得（舍去）. 综上，a的取值范围为. （2）因为 所以， ， 所以A级群有个，B级群有个， C级群有个， 所以，公司大约需要准备奖金元. 【例3.2.】 某高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动． 第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格； 第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束． 经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布． 参考数值：，，． (1)请估计该高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）； (2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立． ①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率． ②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)68 (2)①；②分布列见解析，. 【难度】0.65 【知识点】正态分布的实际应用、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可. （2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可. 【详解】（1）． 所以符合该项指标的学生人数为：人． （2）①记表示解答A类试题第一次测试合格， ，分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M， 则，． ②设X的取值为0，1，2， ，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望． 【例3.3.】 在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴．现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，统计他们的年龄数据，得样本平均数． (1)若所有参赛者年龄X服从正态分布，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数； (2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有的概率评为A类，的概率评为B类，每位参赛者作品的评级结果相互独立．记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为，求的极大值点； (3)以（2）中确定的作为a的值，记上述幸运嘉宾的作品中的A类作品数为Y，若对这些幸运嘉宾进行颁奖，现有两种颁奖方式：甲：A类作品参赛者获得1000元现金，B类作品参赛者获得100元现金；乙：A类作品参赛者获得3000元现金，B类作品参赛者不获得现金奖励．根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式，成本可能更低． 附：若，则． 【答案】(1) (2) (3)选择甲方式成本更低 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值点、正态分布的实际应用、二项分布的均值、利用二项分布求分布列 【分析】（1）根据正态分布的三段区间法求得概率，进而可求解； （2）记，根据二项分布的概率公式求得，求导后判断单调性进而可求得极大值点； （3）由题意知.记分别为甲、乙两种颁奖方式各自所发奖金总额，利用均值的性质求解，进而可判断. 【详解】（1）因为， 则. 所以参赛者年龄在30岁以上的人数约为（人）. （2）记，设， 其中为的极大值点. 依题意可得， 则， 令，因为，故， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点； （3）由题意知. 记分别为甲、乙两种颁奖方式各自所发奖金总额， 因为. 所以， 所以. 故选择甲方式成本更低. 【例3.4.】 已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【答案】(1)分布列见解析，期望值为； (2) 【难度】0.65 【知识点】指定区间的概率、标准正态分布的应用、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）首先求得乘客体重大于的概率为，再利用二项分布可求得概率得分布列和期望值； （2）根据可得保证该轮渡不超载的概率不低于等价于，解不等式可得. 【详解】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得， 则可得， 即任意一名乘客体重大于的概率为， 则的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望值为 （2）设为第位乘客的体重，则，其中， 所以， 由可得， 即，可得，即，. 所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客. 【例3.5.】 某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动. (1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率； (2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. ①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1) (2)①能，理由见解析②假 【难度】0.65 【知识点】正态分布的实际应用、3δ原则、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）设为第次通过第一关，为第次通过第二关，计算即可； （2）①由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； ②假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）设：第i次通过第一关，：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为，由题意知 . （2）设此次闯关活动的分数记为.①由题意可知，因为，且， 所以，则；而， 且， 所以前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励； ②假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §7.5 正态分布 目录 题型1：正态曲线的特征 3 题型2：正态分布的概率计算 5 题型3：正态分布的应用问题 7 1. 正态曲线 (1) 定义 我们把函数，（其中，为参数）称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线. (2) 正态曲线的性质 ①当无限增大时，曲线无限接近轴； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与轴之间的区域的面积为1； ⑤当一定时,曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示； ⑥当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中，如图乙所示. 2. 正态分布 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布，其图像称为标准正态曲线. 提醒 (1)参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计.是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计. (2)随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，就是落在区间的概率的近似值. 3. 原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值,这在统计学中称为原则. ①； ②； ③. 提醒 尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件. 题型1：正态曲线的特征 方法提炼 【例1.1.】 为了迎接春节的到来，某大型商场准备了质量为2kg的甲、乙两类水果礼盒．甲、乙两类水果礼盒与标识质量的差（单位：kg），分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ）（正态曲线的函数解析式为，）    A．甲类水果质量差的平均值 B．乙类水果的质量差比甲类水果的质量差更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量差比乙类水果的平均质量差大 D．乙类水果的质量差服从的正态分布的参数 【例1.2.】 某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【例1.3.】 （多选）正态分布的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（    ）    A． B． C． D． 【例1.4.】 设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知随机变量，均服从正态分布，其中，且，设函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型2：正态分布的概率计算 方法提炼 正态分布下两类常见的概率计算 (1) 利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,常用,,等结论. (2) 利用原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的进行对比联系,使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率. 【例2.1.】 已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知随机变量X服从正态分布，若，且，则 . 【例2.3.】 设随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 设，且，则（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 【例2.5.】 已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.1 B． C． D． 【例2.6.】 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（   ） 附：若，则，，. A．8413 B．9772 C．9974 D．9987 【例2.7.】 某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为 ．（用百分数作答，精确到0.1%） 参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【例2.8.】 已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（   ）（参考数据：①；②；③ A．这次考试成绩超过100分的约有1000人 B．这次考试分数低于70分的约有40人 C． D．从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 【例2.9.】 （多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B． C． D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车 【例2.10.】 已知，则，，．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间．，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．50 B．55 C．59 D．64 题型3：正态分布的应用问题 【例3.1.】 某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布，其中，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”． (1)若，求a的取值范围； (2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，，则，，． 【例3.2.】 某高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动． 第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格； 第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束． 经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布． 参考数值：，，． (1)请估计该高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）； (2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立． ①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率． ②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望． 【例3.3.】 在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴．现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，统计他们的年龄数据，得样本平均数． (1)若所有参赛者年龄X服从正态分布，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数； (2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有的概率评为A类，的概率评为B类，每位参赛者作品的评级结果相互独立．记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为，求的极大值点； (3)以（2）中确定的作为a的值，记上述幸运嘉宾的作品中的A类作品数为Y，若对这些幸运嘉宾进行颁奖，现有两种颁奖方式：甲：A类作品参赛者获得1000元现金，B类作品参赛者获得100元现金；乙：A类作品参赛者获得3000元现金，B类作品参赛者不获得现金奖励．根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式，成本可能更低． 附：若，则． 【例3.4.】 已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【例3.5.】 某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动. (1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率； (2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. ①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $