专题06 二项分布、超几何分布和正态分布7大考点（期末真题汇编，天津专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 高中数学期末试题汇编，聚焦二项分布、超几何分布和正态分布7个高频考点，精选天津各区期末真题，注重实际情境中的概率模型应用与核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|30+题|7个考点全覆盖，重点考查概率计算、均值方差|结合科技（质子运动、软件测试）、文化（杨柳青年画）、生活（垃圾分类、粽子选取）情境| |解答题|18题|分布列、期望方差综合应用|分层设计，从基础（如摸球概率）到创新（如竞赛答题终止条件），匹配天津期末命题趋势|

专题06 二项分布、超几何分布和正态分布 高频考点概览 考点 01 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 考点 02 二项分布的概率 考点 03 二项分布的均值和方差 考点 04 超几何分布的均值和方差 考点 05 正态分布的概率计算 考点 06 根据正态分布的对称性求参 考点 07 正态分布的实际应用 考点01 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 1．（2024春•西青区期末）若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（2021春•河北区期末）某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有7次试验未成功的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2021春•河北区期末）将一枚均匀的硬币重复抛掷6次，求： （Ⅰ）恰好出现4次正面朝上的概率； （Ⅱ）正面朝上最多出现2次的概率． 4．（2023春•河北区期末）设随机变量服从二项分布，则等于（　　） 考点02 二项分布的概率 A． B． C． D． 5．（2025春•西青区期末）若随机变量服从二项分布，且，则（　　） A．39 B．50 C．63 D．68 6．（2022春•天津期末）设随机变量，则等于 　　． 7．（2025秋•河东区期末）已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动1个单位．若移动4次，质子恰好向正方向移动4个单位的概率为 ；质子位于原点的概率为　　 ． 8．（2025春•天津期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（　　） 考点03 二项分布的均值和方差 A． B． C． D． 9．（2025春•河西区期末）设随机变量，则 ． 10．（2024春•河北区期末）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中个红球，个黄球． （Ⅰ）若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率； （Ⅱ）若，现采用有放回摸球次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量，若，，求和的值； （Ⅲ）若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量，求的分布列以及数学期望． 11．（2023春•和平区期末）若随机变量，，则　　． 12．（2021春•天津期末）随着现代科技的不断发展，使用微信支付越来越广泛．设某群体的每位成员使用微信支付的概率都为0.8，且各成员的支付方式相互独立，则该群体的10位成员中使用微信支付的人数的均值和方差分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 13．（2021春•天津期末）某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数，则（　　） A．13 B．12 C．5 D．4 14．（2022秋•南开区校级期末）甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为．若，则　　，　　． 15．（2022春•和平区校级期末）已知随机变量，且，，则　　． 16．（2021春•河北区期末）已知一个随机变量满足：，则　　． 17．（2025春•天津期末）某军事院校招生要经过考试和体检两个过程，在考试通过后才有体检的机会，两项都合格则被录取，若甲、乙、丙三名考生能通过考试的概率分别为0.4，0.5，0.8，体检合格的概率分别为0.5，0.4，0.25，每名考生是否被录取相互之间没有影响． 求恰有一人通过考试的概率； （Ⅱ）设被录取的人数为，求的分布列和数学期望． 18．（2025春•宝坻区校级期末）某公司对其开发的软件进行测试，拟定让软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，软件答对语文问题的概率为，软件答对数学问题的概率为． （1）若从该指定题库中随机选取1道题让软件回答，求软件回答正确的概率． （2）若从该指定题库中随机选取4道题让软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示软件回答正确的题数，求的分布列与期望； （3）若从该指定题库中随机选取几道题让软件回答，且每道问题是否答对相互独立，并规定连续答对2题或连续答错3题则停止答题，设表示软件回答问题的题数，求． 19．（2024春•西青区期末）历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木板年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木版年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年画工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，，，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． （Ⅰ）设事件 “制作一件优秀作品”，求事件的概率； （Ⅱ）若该工艺画师进行3次制作，事件 “恰有一件优秀作品”，求事件的概率； （Ⅲ）若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为，求的分布列和数学期望． 20．（2024春•滨海新区期末）某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （Ⅰ）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； （Ⅱ）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 21．（2024春•天津期末）袋子中有大小相同的2个白球、3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球． （1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率； （2）若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和期望． 考点04 超几何分布的均值和方差 22．（2025春•河西区期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗，在2025年度第五届天津市中小学劳动技能大赛包粽子项目比赛中，李明5分钟内包了7个粽子，其中豆沙粽3个，红枣粽4个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个，设表示取到的豆沙粽个数．求 的分布列； （Ⅱ）的期望； （Ⅲ）求至少取到一个豆沙粽的概率． 23．（2025春•和平区期末）现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试． （Ⅰ）求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； （Ⅱ）设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望． 24．（2024春•滨海新区期末）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 25．（2024春•和平区期末）已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， （Ⅰ）求抽到一等品件数的分布列和数学期望； （Ⅱ）设事件 “在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率（A）． 26．（2023春•天津期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个． （1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； （2）设表示取到豆沙粽的个数，求随机变量的分布列与数学期望． 27．（2023春•天津期末）袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球． （1）求得分的分布列及均值； （2）求得分大于6的概率． 考点05 正态分布的概率计算 28．（2025春•滨海新区期末）已知随机变量，，若，则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 29．（2025春•西青区期末）如果随机变量，且，则（　　） A．0.3 B．0.2 C．0.8 D．0.7 30．（2025春•河东区期末）设随机变量，且，则　　 （用数字作答）． 31．（2024春•西青区期末）随机变量，，则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 32．（2024春•天津期末）设随机变量，，则（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 33．（2022春•和平区校级期末）随机变量服从正态分布，若，则　　． 34．（2024春•滨海新区期末）若随机变量，且，则　　． 35．（2024春•和平区校级期末）已知随机变量服从正态分布，且，则　　． 36．（2023春•西青区期末）已知随机变量服从正态分布，，则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.8 37．（2023春•滨海新区期末）如果随机变量，且，那么　　． 38．（2023春•和平区期末）设随机变量服从正态分布，若，则　　． 考点06 根据正态分布的对称性求参 39．（2025春•天津期末）设为随机变量，若，当时，的值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 40．（2025春•天津期末）设随机变量服从正态分布，且，若，则　　 ． 41．（2021春•天津期末）如果，且成立，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 42．（2022春•南开区期末）已知随机向量服从正态分布，且，则　　． 考点07 正态分布的实际应用 43．（2024春•天津期末）某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布．若平均分为100，120分以下人数概率为0.8，理论上说在分数段人数概率为 　　． 44．（2023春•天津期末）重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是 　　． 45．（2023春•南开区期末）某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为 　　 ． 46．（2023春•南开区校级期末）小明上学有时做公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4，假设做公交车用时，，骑自行车用时，，则（　　） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 47．（2022春•天津期末）我校高二年级1600人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在80分以上的人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在80分到130分之间的学生有 　　人． 48．（2021春•西青区期末）某市高二年级男生的身高（单位：近似服从正态分布．则随机选择一名本市高二年级的男生身高在，内的概率为（　　） 附：随机变量符合正态分布，则，，． A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.4772 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二项分布、超几何分布和正态分布 高频考点概览 考点 01 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 考点 02 二项分布的概率 考点 03 二项分布的均值和方差 考点 04 超几何分布的均值和方差 考点 05 正态分布的概率计算 考点 06 根据正态分布的对称性求参 考点 07 正态分布的实际应用 ( 考点01 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 ) 1．（2024春•西青区期末）若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：恰有2次击中目标的概率为，恰有3次击中目标的概率为， 故至少有两次击中目标的概率为， 故选：． 2．（2021春•河北区期末）某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有7次试验未成功的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得到，重复进行10次试验，7次未成功，说明3次成功， 所以所求概率为， 故选：． 3．（2021春•河北区期末）将一枚均匀的硬币重复抛掷6次，求： （Ⅰ）恰好出现4次正面朝上的概率； （Ⅱ）正面朝上最多出现2次的概率． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为， 所以将一枚均匀的硬币重复抛掷6次，正面朝上的次数， 故好出现4次正面朝上的概率为； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，正面朝上的次数， 故正面朝上最多出现2次的概率为． ( 考点02 二项分布的概率 ) 4．（2023春•河北区期末）设随机变量服从二项分布，则等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：随机变量服从二项分布， ． 故选：． 5．（2025春•西青区期末）若随机变量服从二项分布，且，则（　　） A．39 B．50 C．63 D．68 【解答】解：随机变量服从二项分布，且， ， ， ， ． 故选：． 6．（2022春•天津期末）设随机变量，则等于 　　． 【解答】解：因为随机变量， 所以． 故答案为：． 7．（2025秋•河东区期末）已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动1个单位．若移动4次，质子恰好向正方向移动4个单位的概率为 ；质子位于原点的概率为　　 ． 【解答】解：一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动， 每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动1个单位， 质子向数轴正方向或向负方向移动的概率均为， 移动4次，质子恰好向正方向移动4个单位的概率为； 若移动4次，质子位于原点，则向数轴正方向或向负方向各有2次， 质子位于原点的概率为． 故答案为：； ( 考点0 3 二项分布的均值和方差 ) 8．（2025春•天津期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以，， 故正确，正确； 所以，故正确； 所以，故错误． 故选：． 9．（2025春•河西区期末）设随机变量，则 ． 【解答】解：因为随机变量， 所以． 故答案为：． 10．（2024春•河北区期末）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中个红球，个黄球． （Ⅰ）若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率； （Ⅱ）若，现采用有放回摸球次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量，若，，求和的值； （Ⅲ）若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量，求的分布列以及数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到黄球”， 则（A），， 所以； （Ⅱ）由题意可知，每次摸到红球的概率都是， 所以， 所以，， 解得，； （Ⅲ）由题意可知，的所有可能取值为2，3，4， 则，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以． 11．（2023春•和平区期末）若随机变量，，则　　． 【解答】解：因为随机变量， 所以，解得， 所以． 故答案为：． 12．（2021春•天津期末）随着现代科技的不断发展，使用微信支付越来越广泛．设某群体的每位成员使用微信支付的概率都为0.8，且各成员的支付方式相互独立，则该群体的10位成员中使用微信支付的人数的均值和方差分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：由题意可知，， 则， ． 故选：． 13．（2021春•天津期末）某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数，则（　　） A．13 B．12 C．5 D．4 【解答】解：，， ． 故选：． 14．（2022秋•南开区校级期末）甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为．若，则　　，　　． 【解答】解：甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次， 记摸得白球个数为，则， ， ， ， ． 故答案为：2，． 15．（2022春•和平区校级期末）已知随机变量，且，，则　　． 【解答】解：随机变量，且，， ，且，解得，． 故答案为：12． 16．（2021春•河北区期末）已知一个随机变量满足：，则　　． 【解答】解：因为随机变量， 所以， 故答案为：3． 17．（2025春•天津期末）某军事院校招生要经过考试和体检两个过程，在考试通过后才有体检的机会，两项都合格则被录取，若甲、乙、丙三名考生能通过考试的概率分别为0.4，0.5，0.8，体检合格的概率分别为0.5，0.4，0.25，每名考生是否被录取相互之间没有影响． 求恰有一人通过考试的概率； （Ⅱ）设被录取的人数为，求的分布列和数学期望． 【解答】解：设恰有一人通过考试为事件， 则（A） （Ⅱ）的可能值为：0，1，2，3， 计算得三人被录取的概率均为0.2． 所以 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.512 0.384 0.096 0.008 因为服从二项分布，所以 18．（2025春•宝坻区校级期末）某公司对其开发的软件进行测试，拟定让软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，软件答对语文问题的概率为，软件答对数学问题的概率为． （1）若从该指定题库中随机选取1道题让软件回答，求软件回答正确的概率． （2）若从该指定题库中随机选取4道题让软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示软件回答正确的题数，求的分布列与期望； （3）若从该指定题库中随机选取几道题让软件回答，且每道问题是否答对相互独立，并规定连续答对2题或连续答错3题则停止答题，设表示软件回答问题的题数，求． 【解答】解：（1）根据题意，从该指定题库中随机选取1道题让软件回答，设 “选出的是语文问题”， “选出的数学问题”， “软件回答正确”， 则（A），（B），，， 故（C）（A）（B）； （2）根据题意，可取的值为0、1、2、3、4， 则， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 则其期望； （3）根据题意，即软件回答5个问题后停止答题， 设 “最后2道题软件均答对”， “最后3道题软件均答错”， （E）， ， 那么（E）． 19．（2024春•西青区期末）历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木板年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木版年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年画工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，，，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． （Ⅰ）设事件 “制作一件优秀作品”，求事件的概率； （Ⅱ）若该工艺画师进行3次制作，事件 “恰有一件优秀作品”，求事件的概率； （Ⅲ）若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为，求的分布列和数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）因为年画工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，，， 所以； （Ⅱ）若该工艺画师进行3次制作，恰有一件优秀作品为事件， 则； （Ⅲ）易知随机变量的所有取值为0，1，2，3， 此时，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 4 故． 20．（2024春•滨海新区期末）某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （Ⅰ）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； （Ⅱ）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 【解答】解：（Ⅰ）由题可得，， 所以， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以； （Ⅱ）将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件， “在第4轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件， “在第4轮结束时，学生代表乙答对1道题”记为事件，则，互斥，且， 则， ， 所以（A）， 因此，在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为． 21．（2024春•天津期末）袋子中有大小相同的2个白球、3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球． （1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率； （2）若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和期望． 【解答】解：（1）设 “第一次摸到白球”， “第二次摸到白球”， 则，， 故所求概率； （2）由题可得，的所有可能取值为0，1，2，3，显然， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则． ( 考点0 4 超几何分布的均值和方差 ) 22．（2025春•河西区期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗，在2025年度第五届天津市中小学劳动技能大赛包粽子项目比赛中，李明5分钟内包了7个粽子，其中豆沙粽3个，红枣粽4个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个，设表示取到的豆沙粽个数．求 的分布列； （Ⅱ）的期望； （Ⅲ）求至少取到一个豆沙粽的概率． 【解答】解：根据题意可得，3，， 所以的分布列为：，，1，2； （Ⅱ）由及超几何分布的期望的结论可得的期望为； （Ⅲ）由可知由至少取到一个豆沙粽的概率为． 23．（2025春•和平区期末）现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试． （Ⅰ）求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； （Ⅱ）设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意可以得到，4名同学全是男生的概率为， 故至少有1名女生的概率； （Ⅱ）由题意知，随机变量的所有可能取值为1，2，3，4， 根据古典概型可得：， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 ． 24．（2024春•滨海新区期末）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． 应从甲部门的员工中抽取人， 应从乙部门的员工中抽取人， 应从丙部门的员工中抽取人． （Ⅱ）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查， 用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望． 25．（2024春•和平区期末）已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， （Ⅰ）求抽到一等品件数的分布列和数学期望； （Ⅱ）设事件 “在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率（A）． 【解答】解：（Ⅰ）由题可得，的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则； （Ⅱ）设抽到的二等品和三等品的件数分别为，， 则． 26．（2023春•天津期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个． （1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； （2）设表示取到豆沙粽的个数，求随机变量的分布列与数学期望． 【解答】解：（1）由题意得既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为． （2）由题意得随机变量的可能取值为0，1，2， 则，，， 则的分布列如下： 0 1 2 故． 27．（2023春•天津期末）袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球． （1）求得分的分布列及均值； （2）求得分大于6的概率． 【解答】解：（1）由题意可知，随机变量的取值为5、6、7、8， 所取小球为1白3黑时，， 所取小球为2白2黑时，， 所取小球为3白1黑时，， 所取小球为4白时，， 所以随机变量的分布列为： 5 6 7 8 随机变量的均值为： ， （2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为： ． ( 考点0 5 正态分布的概率计算 ) 28．（2025春•滨海新区期末）已知随机变量，，若，则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【解答】解：已知随机变量，其图像关于对称， 因为0和4关于对称，所以， 根据概率总和为1，可得：． 故选：． 29．（2025春•西青区期末）如果随机变量，且，则（　　） A．0.3 B．0.2 C．0.8 D．0.7 【解答】解：因为随机变量，且， 根据正态分布密度曲线的对称性可得：， 所以． 故选：． 30．（2025春•河东区期末）设随机变量，且，则　　 （用数字作答）． 【解答】解：随机变量，该曲线对称轴为， 又， 由题意得． 故答案为：0.3． 31．（2024春•西青区期末）随机变量，，则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【解答】解：，， ． 故选：． 32．（2024春•天津期末）设随机变量，，则（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 【解答】解：随机变量，， 则， 故． 故选：． 33．（2022春•和平区校级期末）随机变量服从正态分布，若，则　　． 【解答】解：随机变量服从正态分布，， 则． 故答案为：0.14． 34．（2024春•滨海新区期末）若随机变量，且，则　　． 【解答】解：因为随机变量，则该曲线的对称轴为， 则， 则． 故答案为：0.26． 35．（2024春•和平区校级期末）已知随机变量服从正态分布，且，则　　． 【解答】解：，且， ， ． 故答案为：0.6． 36．（2023春•西青区期末）已知随机变量服从正态分布，，则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.8 【解答】解：随机变量服从正态分布，， ． 故选：． 37．（2023春•滨海新区期末）如果随机变量，且，那么　　． 【解答】解：因为随机变量， 所以正态曲线的对称轴是， 所以， 所以． 故答案为：0.8． 38．（2023春•和平区期末）设随机变量服从正态分布，若，则　　． 【解答】解：因为且， 所以， 所以． 故答案为：0.7． ( 考点0 6 根据正态分布的对称性求参 ) 39．（2025春•天津期末）设为随机变量，若，当时，的值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【解答】解：因为，且， 所以， 解得． 故选：． 40．（2025春•天津期末）设随机变量服从正态分布，且，若，则　　 ． 【解答】解：设随机变量服从正态分布，则对称轴为， 又，则， 则， 又， 则． 故答案为：0.5． 41．（2021春•天津期末）如果，且成立，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：， 正态分布曲线的对称轴为， 又成立， 对称轴． 故选：． 42．（2022春•南开区期末）已知随机向量服从正态分布，且，则　　． 【解答】解：随机变量服从正态分布， ， ， ， 故答案为：． ( 考点 07 正态分布的实际应用 ) 43．（2024春•天津期末）某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布．若平均分为100，120分以下人数概率为0.8，理论上说在分数段人数概率为 　　． 【解答】解：由题意得，， 所以 所以． 故答案为：0.6． 44．（2023春•天津期末）重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是 　　． 【解答】解：学生成绩符合正态分布， 故， 故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为． 故答案为：． 45．（2023春•南开区期末）某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为 　　 ． 【解答】解：由题意知，， ， 正态分布曲线的对称轴为直线， 因为， ， 故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4． 故答案为：0.4． 46．（2023春•南开区校级期末）小明上学有时做公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4，假设做公交车用时，，骑自行车用时，，则（　　） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【解答】解：因为，，，， 将，化为标准正态分布，则， 因为，所以，故错误； 又，，故正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故错误； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故错误． 故选：． 47．（2022春•天津期末）我校高二年级1600人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在80分以上的人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在80分到130分之间的学生有 　　人． 【解答】解：统计结果显示数学考试成绩在80分以上的人数为总人数的， ， ． 此次期中考试中数学成绩在80分到130分之间的学生有． 故答案为：960． 48．（2021春•西青区期末）某市高二年级男生的身高（单位：近似服从正态分布．则随机选择一名本市高二年级的男生身高在，内的概率为（　　） 附：随机变量符合正态分布，则，，． A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.4772 【解答】解：由题意，高二年级男生的身高（单位：近似服从正态分布， 所以，， 则，， 则， 所以随机选择一名本市高二年级的男生身高在，内的概率为0.8186． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $