1.1.1 多边形及其内角和 课件 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

第1章 四边形 1.1 多边形 第1课时 多边形及其内角和 1 1.能正确识别多边形、多边形的顶点、边、内角、对角线以及正多边形等概念． 2.探索、归纳多边形的内角和公式，并能用于解决计算问题． 3.让学生学会用类比、转化的方法解决问题，培养学生主动参与、合作交流的良好学习习惯． 素养目标 2 重点：多边形内角和公式的推导． 难点：如何把多边形转化为三角形，用分割法推导多边形的内角和公式． 教学重难点 3 观察图形，从图中抽象出多边形. 导入新课 4 活动一：总结共性，生成概念 问题1：这些多边形有什么特征？ 这些多边形都在一个平面内，且均由几条(不少于三条)线段首尾顺次相接而成. 课堂探究 5 问题2：仿照三角形的概念给出多边形的概念. 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形. 注意两个条件：①在同一平面内；②线段首尾顺次相接. 课堂探究 6 凸多边形：多边形总在任何一条边所在直线的同一旁. 凹多边形：一个多边形的所有边中，有一条边向两端无限延长为一条直线时，其他各边不都在此直线的同一旁. 课堂探究 7 组成多边形的各条线段叫作多边形的____. 边 边 相邻两条边的公共端点叫作多边形的_____. 顶点 顶点 连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的_______. 对角线 对角线 相邻两边组成的角叫作多边形的_______，简称多边形的_____. 内角 角 内角 课堂探究 为了方便，可用几何语言来表示多边形及其相关概念. 例如，在如图所示的多边形中，线段AB是边，点E是顶点，线段BD是对角线，∠A是内角. 课堂探究 边 顶点 对角线 内角 9 问题3：如图所示多边形的边有几条？ 它们分别是什么？ 顶点呢？ 内角呢？ 对角线呢？ 画图找找. 有五条边，分别是线段AB，BC，CD，DE，EA； 有五个顶点，分别是点A，B，C，D，E； 有五个内角，分别是∠A，∠ABC，∠C，∠CDE，∠E； 有五条对角线，分别是线段AC，AD，BD，BE，CE. 课堂探究 10 多边形的分类及表示方法： 边数大于3时，有几条边就是几边形；用表示多边形的几个顶点的大写字母来表示，如六边形ABCDEF. 课堂探究 11 问题4：三角形中有一种最特殊的三角形，它是谁？ 它的定义是什么？ 等边三角形. 三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形). 已经知道正三角形的三个角相等，三条边也相等.多边形中有没有这种特殊的多边形？ 有，比如正方形，它的四条边相等，四个角也相等. 课堂探究 12 在平面内，像正方形这样，各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.例如，如图所示. 课堂探究 13 下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？ (四条边都相等) (四个角都相等) 答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等； 第二个图形不符合各边都相等. 注意：判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备. 想一想 1. 下列说法中，正确的有（　C　） ①由几条线段连接起来组成的图形叫作多边形； ②三角形是边数最少的多边形； ③n边形有n条边、n个顶点、n个内角. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 C 跟踪练习 2.下列说法中错误的是( ) B A.正多边形的各边都相等 B.各边都相等的多边形是正多边形 C.正三角形的三条边都相等 D.正六边形的六个内角都相等 【解析】 各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形，故B项 符合题意. 16 活动二：思考探究，得出结论 思考：三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度？ 知道长方形和正方形的内角和是360°，猜想任意四边形的内角和也是360°. 课堂探究 正方形 360° 长方形 360° 17 方法1：证明：如图所示，四边形ABCD被它的一条对角线AC分成△ADC和△ABC. 由于三角形的内角和为180°， 所以四边形ABCD的内角和为180°×2＝360°. 课堂探究 18 方法2：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 A B C D E 结论： 四边形的内角和为360°. 总结：这方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解 180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED) = 180°×3 - 180° = 360°. 总结：利用对角线把四边形分割成两个三角形，从而把四边形的内角和与三角形的内角和有效地联系起来，从而得出任意四边形的内角和是360°. 课堂探究 想一想，五边形、六边形、七边形的内角和怎么求？ 20 图形 五边形 六边形 七边形 ··· 边数 5 6 7 ··· 从一个顶点出发的对角线条数 ··· 可分成三角形的个数 ··· 多边形的内角和 ··· 2 (5-2)×180° 3 (6-2)×180° 3 4 (7-2)×180° 4 5 课堂探究 在下列各个多边形中，任取一个顶点，画出通过该顶点的所有对角线，并完成下表. 猜测：n边形(n是不小于3的整数)的内角和等于多少？ 从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线. 将多边形分成 (n - 2) 个三角形. n (n ≥ 3) 边形共有 条对角线. 总结 1.[2025平顶山鲁山模拟]过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形 分成8个三角形，这个多边形的边数是( ) C A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】 设这个多边形的边数是，由题意得,，解得 ． 跟踪练习 23 2.[2025武汉青山区期中]若从一个多边形的一个顶点出发，可以作7条对角 线，则这个多边形是( ) D A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形 【解析】 设这个多边形的边数是， 从一个多边形的一个顶点出发， 可以作7条对角线，，解得 ，故这个多边形是十边形. 24 证明 方法1 如图，n边形A1A2…An有n个顶点A1，A2，A3，…，An.由于与任一顶点（如点A1）不相邻的顶点均有（n-3）个，因而从某一顶点出发有（n-3）条对角线，于是n边形A1A2…An被分成了（n-2）个三角形. 因此，n边形的内角和等于这（n-2）个三角形的内角和，即（n-2）·180°. n边形的内角和等于（n-2）·180°. 由此得出： 思考 还可以用其他方法求n边形的内角和吗？ 方法2 如图，在n边形A1A2…An内任取一点O，连接OA1，OA2，…，OAn，则n边形A1A2…An被分成了n个三角形. 由于n个三角形的内角和为n·180°，且这n个三角形有一个共同顶点O，以O为顶点的内角构成了一个周角. n·180°-360°=（n-2）·180°. 因此，n边形的内角和为 结论：n边形的内角和等于(n－2)·180°. 这二种方法有什么共同点？ 二种方法都运用了转化思想，即把多边形分割成三角形，将多边形的内角和转化成学过的三角形的内角和进行求解. 课堂探究 27 活动三：知识迁移与应用 例1（1） 十边形的内角和是多少度？ （2） 一个多边形的内角和等于 1980°，它是几边形？ 解 （1）十边形的内角和是 (10-2)×180°= 1440°. （2）设这个多边形的边数为 n，则 (n-2)×180°= 1980°， 解得 n = 13. 所以这是一个十三边形. 课堂探究 28 1.[2025云南中考]一个六边形的内角和等于( ) C A. B. C. D. 【解析】 六边形的内角和等于 . 跟踪练习 29 2.[2025武威中考]如图，一个多边形纸片的内角和为 ，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多 边形的边数为( ) A A.12 B.11 C.10 D.9 【解析】 设原多边形的边数为，则 ，解得 ，按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边 数多1，为12. 30 3. （教材P52练习T1变式）求下图中x的值： 解：x°＋（x＋30）°＋60°＋x°＋（x－10）° ＝（5－2）×180°， 解得x＝115. 4.小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到其结果为 ，老师说他算错 了，于是小马虎认真地检查了一遍. （1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，则这个多边形的边数是多少？ 【解】设这个多边形的边数是，重复计算的内角的度数是 ，则 . 为正整数，为 的倍数，, . 故这个多边形的边数是12. 32 （2）若他检查发现漏算了一个内角，则漏算的那个内角是多少度？这个多边形是 几边形？ 【解】设这个多边形的边数是，漏算的那个内角的度数是 ，则 . 为正整数，为 的倍数，, ， 故漏算的那个内角是 ，这个多边形是十三边形. 关键点拨 本题主要考查了多边形的内角和公式，掌握多边形的内角和是 的整倍数是解 题的关键. 33 1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？ 2.在学习的过程中，你都运用了哪些数学思想方法？ 课堂总结 n 边形从任一顶点出发有 (n-3) 条对角线，n 边形被分成了 (n-2) 个三角形. n 边形的内角和等于 (n-2) ·180°. 34 $