精品解析：江西鹰潭市贵溪市第一中学2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

贵溪一中2028届高一上学期期末考试 数学学科试题 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，根据分式不等式的等价条件可得集合，又可得集合，然后求交集即可. 【详解】根据题意，所以， 又，所以， 则. 故选：C. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在原理，结合函数的单调性逐一判断即可 【详解】易知函数的定义域为全体正实数集， 由函数的单调性的性质可以判断该函数是正实数集上的增函数， ， 显然，因此函数的零点所在的区间是， 故选：C 3. 若函数在区间上单调递增，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列不等式组求解即可. 【详解】令，由且可得且， 所以单调递减， 因为在区间上单调递增， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：B 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用函数的奇偶性的判定方法，结合对数函数的性质判断得的奇偶性排除AC，再利用区间法判断得时，从而排除B，由此得解. 【详解】对于，有，解得且， 所以的定义域为， 又，所以为偶函数， 所以的图象关于轴对称，故排除A、C； 当时，，，所以，故排除B. 故选：D. 5. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数图象过点求出，可得的解析式，再根据的单调性可得答案. 【详解】已知幂函数经过点，可得，解得， 即，易知在上单调递减． 由于，， 所以可得，综上所述，． 故选：B． 6. 已知为锐角且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求的值. 【详解】为锐角，故，而，故， 又 . 故选：C. 7. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（ ） （参考数据：，） A. 6分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的信息求出函数关系式，再建立不等式求解即得. 【详解】依题意，时，，则，解得， 因此，由，得，解得， 则，， 所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟. 故选：C 8. 已知直线和函数的图象相交，，为两个相邻的交点，若，则（ ） A. 2 B. 2或6 C. 3或5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先将代入函数求得取值，再根据，列关系即得结果. 【详解】将代入到中， 得，或，， 因为，因此或，解得或6. 故选：B. 二、多选题：每小题6分，共18分.每小题全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分 9. 盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（ ） A. A与相互独立 B. A与互为对立 C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可. 【详解】依题意可设2个红球为，2个白球为，则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件A，共4个基本事件. 事件B，共6个基本事件. 事件C，共6个基本事件. 事件D， 共8个基本事件. 对于A选项，因， 则，故A与相互独立，故A正确； 对于B选项，注意到，得A与互为对立事件，故B正确； 对于C选项，注意到，则与不互斥，故C错误； 对于D选项，因，，， 则，故D与相互独立，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数在有两个零点 D. 函数为偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】由诱导公式及辅助角公式化简函数，由解析式求得函数最小正周期、对称轴和函数零点，判断ABC选项；写出函数解析式，由解析式得函数奇偶性，判断D选项. 【详解】， ∴函数的最小正周期，A选项正确； 令，则，当时，，B选项错误； 令，则，∵， ∴，，，∴函数在有三个零点，C选项错误； 是偶函数，D选项正确. 故选：AD 11. 设函数的定义域为的偶函数，满足是奇函数，若．则下列结论正确的（ ） A. B. 在上单调递减 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件判断出是周期函数，根据周期性和奇偶性求得正确答案. 【详解】函数的定义域为的偶函数，， 是奇函数，，用替换，得， 又函数为偶函数，，， 再用替换，得，，的周期为， ，令，得，，故A正确； 根据已知条件无法判断的单调性，故B错误； ，， ，由，令，得， ，，故C正确； 由，令，得；令，得，即一个周期内， 即， ，即，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式先化简，再将弦化为切即可求解. 【详解】由题意有：， 故答案为：. 13. 某扇形的面积为，周长为，则该扇形的半径为___________. 【答案】1或 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式列式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 则由题意可得，解得或， 故答案为：1或 14. 函数，，方程恰有三个根，其中，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，通过换元法得关于的方程的根的个数为2；结合韦达定理可知（舍去）或，由此即可得解. 【详解】 由题意，即，显然， 所以， 令，所以，等号成立当且仅当， 由对勾函数性质得， 当或时，关于的方程的根的个数为2， 当或时，关于的方程的根的个数为1， 当时，关于的方程的根的个数为0， 由题意方程恰有三个根，其中， 而关于的方程的根的个数情况可能为0，1，2； 所以关于的方程只能有两个不相等的根（）， 不妨设为，且或，或； 又由韦达定理有， 所以（舍去）或， 所以是关于的方程的根，是关于的方程即的根， 由韦达定理有，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是通过换元法、数形结合以及韦达定理分析方程的根的情况，由此即可顺利得解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，解一元二次不等式得集合，利用并集运算求解即可. （2）由题意得，按照和分类讨论，利用子集关系列不等式组求解即可，注意最后求并集. 【小问1详解】 当时，集合，所以或， ， 所以或． 【小问2详解】 由已知，由题意得， ①当时，，解得； ②当时，由得，解得：， 综上所述，． 16. 某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取200人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的平均数以及中位数.（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）（保留小数点后两位）； （2）若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖的概率分别为，，，甲、乙、丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率. 【答案】（1），平均数为，中位数为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及平均数、中位数的求法计算即可； （2）利用独立事件的概率公式计算即可. 【小问1详解】 易知， 则该校学生初赛成绩的平均数为 ， 又，则中位数位于之间， 中位数不妨设为x，则； 小问2详解】 设事件甲、乙、丙获奖分别为 至少两位同学获奖有如下情况：甲乙获奖丙未获奖，甲丙获奖乙未获奖，乙丙获奖甲未获奖，甲乙丙三人均获奖， 则 . 17. 已知函数的部分图象如图． （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； （3）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的图像，求得，得到，再由，求得，进而得到函数的解析式； （2）根据三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求得的单调递增区间； （3）令，得到，转化为方程在有且仅有两个实根，结合余弦函数的性质，求得方程的根，进而的对答案. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为， 由函数的图像，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 又因为，所以，解得， 因为，所以令，可得， 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 解：函数的图象先向右平移个单位长度， 得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间． 【小问3详解】 令，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或， 所以方程的较小的三个正根从小到大排列分别是， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 18. 已知函数 （1）若，求的值; （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）根据函数单调性的定义进行证明. （3）根据函数的单调性化简题目所给不等式，分离常数，然后利用换元法以及函数的单调性来求得的取值范围. 【小问1详解】 ，， 【小问2详解】 证明：任取，，且， 则 ，，，， 故，即，所以在上单调递增. 【小问3详解】 ， 由（2）可知，在上单调递增， 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， ，，令 只要存在，使得成立， 即，，函数在上单调递增， ， 【点睛】思路点睛： 小问 1：遇到此类问题，先根据已知对数等式求出自变量的值，再将其代入函数，利用对数性质计算函数值. 小问 2：证明函数单调性，按照定义，先设出两个自变量，作差并化简变形，再根据函数性质判断差的正负，得出函数单调性结论. 小问 3：对于存在性不等式问题，先利用函数表达式化简不等式，再根据函数单调性去掉函数符号，通过换元转化为常见函数的最值问题，最后利用函数单调性求出最值，进而得到参数的取值范围. 19. 已知，函数，其中． （1）设，求的取值范围，并把表示为的函数； （2）求函数的最大值（可以用表示）； （3）若对区间内的任意实数，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1），，． （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，换元可得； （2）问题转化为，最大值，由二次函数分类讨论可得； （3）问题转化为，分类讨论可得． 【小问1详解】 解：由已知可得， 又因为，所以， 从而，所以． 又因为，所以， 因为， 所以，． 【小问2详解】 求函数的最大值即求，的最大值． ，对称轴为． 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上，当时，的最大值是； 当时，的最大值是； 当时，的最大值是． 【小问3详解】 由题意知函数在上的最大值， 由（2）知当时，的最大值是． 所以，即且所以 当时，的最大值是； 此时， 即，所以，此时 当时，的最大值是；即恒成立 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵溪一中2028届高一上学期期末考试 数学学科试题 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为锐角且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（ ） （参考数据：，） A. 6分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 8. 已知直线和函数的图象相交，，为两个相邻的交点，若，则（ ） A. 2 B. 2或6 C. 3或5 D. 3 二、多选题：每小题6分，共18分.每小题全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分 9. 盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（ ） A. A与相互独立 B. A与互为对立 C. 与互斥 D. 与相互独立 10. 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数在有两个零点 D. 函数为偶函数 11. 设函数定义域为的偶函数，满足是奇函数，若．则下列结论正确的（ ） A. B. 在上单调递减 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 13. 某扇形的面积为，周长为，则该扇形的半径为___________. 14. 函数，，方程恰有三个根，其中，则的值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若是充分条件，求实数的取值范围． 16. 某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取200人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的平均数以及中位数.（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）（保留小数点后两位）； （2）若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖的概率分别为，，，甲、乙、丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率. 17. 已知函数的部分图象如图． （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； （3）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 18. 已知函数 （1）若，求的值; （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 19. 已知，函数，其中． （1）设，求取值范围，并把表示为的函数； （2）求函数最大值（可以用表示）； （3）若对区间内的任意实数，总有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $