8.2 特殊的平行四边形（第2课时 矩形的判定） 同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

8.2 特殊的平行四边形（第2课时 矩形的判定） 一、单选题 1．要使变为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 2．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处．设重叠部分为，那么下列说法错误的是（   ） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 5．如图，在中，M是边的中点，且，，若的周长为30，则的长为（    ） A．15 B．10 C． D．5 6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 7．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 9．如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，在中，，，当 时，四边形是矩形． 11．矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是 ． 12．已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 ． 13．四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为 时，四边形ABCD是矩形． 14．如图，，内的某一点P到这个角两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为 ． 15．如图，在长方形纸片ABCD中，将沿对角线BD折叠得，FB和AD相交于点E，将沿BE折叠得．若，则的度数为 ． 16．如图，P是矩形的对角线上一点，，，于点E，于点F．连接，，则的最小值为 ． 17．如图，矩形中，，，是边的中点，是边上任意一点，连接．把沿着折叠，使点落在处，当为直角三角形时，的长为 ． 三、解答题 18．如图，的对角线，交于点，是等边三角形，，求的面积． 19．如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 20．如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 21．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 22．如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ 23．如图，在中，，AD，AE分别平分和，．    (1)填空：的度数为_______． (2)试判断AB与DE是否相等，并证明你的结论． 24．一次函数的图象分别交x轴和y轴于点A和点B． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在x轴上有一点，点E在线段上，直线交y轴于点D，，求经过C、E两点的一次函数的解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P在直线上，Q是平面内一点，当以O、E、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点Q的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 矩形是有一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形，添加条件需使平行四边形满足矩形定义． 【详解】解：选项A和B是平行四边形固有性质，不能保证为矩形，不符合题意； 选项C中，表示邻边相等，可证四边形为菱形，但不一定是矩形，不符合题意； 选项D中，对角线相等，可证平行四边形为矩形，符合题意； 故选D． 2．C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 4．B 【分析】利用矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形的定义，逐一分析每个选项的正确性，从而找出错误的说法． 【详解】解：A、∵四边形是矩形， ∴，． 由折叠的性质可知， ∴． ∴． ∴是等腰三角形，不符合题意． B、折叠后，和 不一定相等． 只有当时，和才相等，一般情况下不成立，符合题意． C、折叠后得到的图形关于对角线所在的直线对称，因此是轴对称图形，不符合题意． D、∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∵ ∴，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形，解题关键是熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，并结合矩形的性质进行推理判断． 5．D 【分析】先证明，根据平行四边形的性质，得，再证明，得到矩形，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，M是边的中点， ∴，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的周长为30， ∴， 解得， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了平行四边形与矩形的判定，掌握矩形的判定需先证平行四边形，再结合对角线相等或有一个角是直角是解题的关键． 对每个选项，先判断能否证明四边形为平行四边形，再看能否进一步判定为矩形，从而找出不能判定的组合． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． B、∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． C、， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对边相等，可得到， 即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意． D、∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形，符合题意． 故选：C． 7．C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 8．A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【详解】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 9．D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，先求出的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，根据此规律写出的坐标即可． 【详解】解：矩形的顶点，顶点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：D． 10．10 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，证出即可． 【详解】解：当时， ， ， 四边形是矩形， 故答案为：10． 11．8 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过作的平行线交于，交于， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 12． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．以为对角线确定点D的位置，据此可得． 【详解】解：点A、B、C的坐标分别是、、， ∴，，， 如图所示， 当为对角线时，以点A、B、C为顶点的四边形是矩形，， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 13．2.5 【分析】本题考查了矩形的判定，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由如下：，且， ， 即， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形． 故当时，四边形是矩形． 故答案为：． 14．12 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是通过直角条件判定四边形为矩形，再利用矩形对边相等的性质，将周长转化为已知距离和的倍． 先判断四边形的形状，再结合矩形性质与已知条件求解周长。观察图形中各角均为直角，可确定四边形为矩形；利用矩形对边相等的性质，结合点到角两边距离之和的条件，进而计算周长． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴四边形是矩形． ∴，． ， ． ∴四边形周长 ． 故答案为：． 15．/22度 【分析】本题考查了折叠的性质、一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解题的关键． 设，根据折叠可得，，依据， 进而求解． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴解得， ∴． 故答案为： ． 16． 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， ∴， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 17．1或 【分析】本题考查了勾股定理、矩形与折叠综合问题，分类讨论：当时，当时，利用勾股定理及矩形与折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：是边的中点， ， 当时，如下图： ，， 矩形沿折叠，使点B落在点处， ， 在矩形中，， ， ， ； 当时，如下图： 矩形沿折叠，使点B落在点处， ， ， ∴点E，点，点C三点共线， 在中，， ， ， ， ， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或1． 18． 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的应用；先根据平行四边形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，然后判断是矩形，再根据勾股定理求出长，利用举行的面积计算解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的面积为． 19．(1)②或③ (2)选择②或③，证明见解析 【分析】（）根据矩形的判定定理选择条件即可； （）先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； 本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：选择的补充条件是②或③， 故答案为：②或③； （2）解：选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 选择③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 20．(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，角直角三角形性质，等边三角形的判定与性质等知识点． （1）连接，根据两次对折得到为等边三角形，即可求解； （2）在中，由角直角三角形性质以及勾股定理得到，由折叠得，证明，则在中，，设，，再由勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，由对折矩形可知： ， ， 由第二次折叠可知：， ， 为等边三角形， ， ； （2）解：在中，， ， ∵矩形， ∴，，， ∵沿着对折， ， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 在中，，设， ， ， 解得（舍去负值）， 即，故． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 22．(1)， (2)运动时间为时，四边形为平行四边形 (3)运动时间为时，四边形为矩形 【分析】此题考查了正方形，菱形，平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质． （1）根据题意速度乘以时间即可得出，，进而即可求得； （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意知，，则， 故答案为：， （2）由题意可得：，， ， ， 设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形． 由得，， 解得：， 当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． （3）， ， 设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． 由得：， 解得：， 又 平行四边形为矩形． 当运动时间为秒时，四边形为矩形． 23．(1) (2)相等．证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质，及可求出； （2）先通过角平分线和邻补角的定义得到，通过得到，通过三线合一得到，然后根据三个角为直角的四边形为矩形证明四边形是矩形，最后根据矩形的对角线相等得到． 【详解】（1）解：． ，分别平分和， ，， ． （2）解：相等． 理由如下：，分别平分和， ，， ． ， ． ，平分， ， ， ∴四边形是矩形， ． 【点睛】本题考查的是角平分线，等腰三角形的性质及矩形的判定定理，掌握上述知识是解题的关键． 24．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，得到，再根据，利用三角形内角和定理即可求解； （2）设，根据，可得点是点中点，由点D的横坐标为，求出e的值，可得点E的坐标，再利用待定系数法即可求解； （3）由（2）可求出，易得，求出，则，由（1）知，求出，分当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的边时，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的对角线时，两种情况讨论，根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入，则， 令，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴点是点中点， ∵点D在y轴上，即点D的横坐标为， ∴， 解得：，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：由（2）知直线的解析式为， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 如图，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的对角线时，则点Q在直线上， 设， 由（2）知， ∴， 解得：， 则， ∴； 如图，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的边时， 设， 在中，， ∴，即， ∴，则， ∴， ， 解得：， ∴； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数与坐标轴的交点问题，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是得出的函数关系式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $