精品解析：福建厦门市第二外国语学校2025-2026学年高一上学期期末考数学科试题

厦门市第二外国语学校2025-2026学年上期末考 数学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因集合，，则. 故选：A. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案. 【详解】解：由题意得： 全称量词命题的否定是存在性量词命题： 故，则 故选：C 3. “”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由解得，再由充分条件和必要条件的定义即可得出结论. 【详解】解：由，解得， 不能推出， 能推出 故是的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的概念应用，属于基础题. 4. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合中间值，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即可. 【详解】依题意，， 因此实数的大小关系是. 故选：B 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将区间端点代入函数，只要保证函数值异号，即可得答案； 【详解】易知是上的增函数，且，， 所以的零点所在的区间为． 故选：B. 6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为，年月日我国唐山发生的里氏级地震与年月日我国汶川发生的里氏级地震所释放出来的能量的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设唐山地震所释放出的能量是，汶川地震所释放出的能量是，由已知列式结合对数的运算性质求得与的值，作比得答案. 【详解】设唐山地震所释放出的能量是，汶川地震所释放出的能量是， 则，， ，， . 故选：D. 7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A B. 函数图象的一条对称轴是直线 C. 是奇函数 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D. 【详解】对于A，，故错误； 对于B，因，而，则函数图象的一条对称轴是直线，故正确； 对于C，， 令，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B 8. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数图象，设，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，列式求解即可. 【详解】∵， 当时， 在上为减函数，且， 当时，在上为增函数，且， 当时，在上为增函数，且， 作出函数的图象如图所示： 设， 当时，方程有1个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有3个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有1个解， 当时，方程有0个解， 方程等价为，解得， 要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，方程有1个解， 所以时，方程有3个解，所以，即得. 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的65分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数在上为减函数 D. 函数在上为增函数 【答案】BC 【解析】 【分析】利用待定系数法求得，再结合函数性质判断即可. 【详解】由幂函数的图象过点得，解得 所以，在和上均为减函数. 故AD错误，BC正确. 故选：BC 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，直接根据均值不等式进行求解即可；对于B选项，利用“1”的代换结合均值不等式进行求解即可；对于C选项，根据均值不等式结合指数运算进行求解即可；对于D选项，由，得，从而进行求解即可. 【详解】对于A选项，因为，， ，所以 当且仅当  时取等号， 所以  ，当且仅当  时取等号，所以A正确； 对于B选项，因为， 当且仅当  时取等号，所以B正确； 对于C选项，因为 ， 当且仅当  时取等号，所以C正确； 对于D选项，因为  ，所以  ，所以 ， 当且仅当  时取等号，所以D错误， 故选：ABC 11. 已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得对，恒成立 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知可判断函数奇偶性与单调性，进而判断各选项. 【详解】由已知，，且，当时，都有， 则函数为上的偶函数，且当时函数单调递增， 则当时函数单调递减， 所以，A选项错误； 且若，则，解得，B选项错误； 又，所以，又函数的图象是连续不断的， 所以当时，，当时，，当时，， 所以的解集为，C选项正确； 由函数图象连续不断及函数的单调性可知，当时，取最小值， 所以当时，，恒成立，D选项正确； 故选：CD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长及扇形面积公式计算求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为的弧所对的圆心角为，所以，所以， 则该弧所在的扇形面积为. 故答案为：. 13. 如果角满足，那么的值是_____ 【答案】2 【解析】 【分析】对两边同时平方化简得，再利用同角的商的关系切化弦可得解. 【详解】，， . . 故答案为;2 【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系，属于基础题. 14. 已知函数，对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数在对应区间上的值域，再结合值域的关系求解即可. 【详解】 当时，，，即， 则， 所以， 因为，对称轴，开口向上， 所以，当，， 因为对任意的，总存在，使得， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，结合集合补集、交集、并集的定义进行求解即可； （2）根据并集的运算性质得，然后利用集合关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 当时，，，所以， 又或，所以； 【小问2详解】 因为，所以， ，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求的值； （2）求值； （3）若角满足，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再代入求解即可求得答案； （2）根据诱导公式化简，再代入值求解即可； （3）由同角三角函数的基本关系及角的变换、两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 解：因为在角的终边上， 所以由三角函数定义知， 所以. 【小问2详解】 解：由（1）知， 所以 【小问3详解】 解：，，， 又， 17. 已知. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再结合正弦函数的最小正周期，单调性求解； （2）先由平移变换得到，再利用余弦函数性质求解. 【小问1详解】 解：， 所以函数的周期为， 令，则， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 解：由题意得， 因，有，则， ， 所以在上的值域为. 18. 无人机凭借其灵活､便捷的优势，在农业､物流､安防等多个场景中落地，成为提升生活效率､丰富生活方式的重要工具.通过市场调查可知，某企业生产某款无人机需投入的年固定成本为1000万元，每生产百台该产品，需另投入变动成本万元，且，每台无人机售价3万元，假设生产的无人机当年能全部销售完. （1）求年利润（万元）关于年产量（百台）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本） （2）年产量为多少百台时，年利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）； （2）年产量为百台时，年利润最大，为万. 【解析】 【分析】（1）根据及已知关系式求函数表达式； （2）利用二次函数、对勾函数的性质求的最大值，并确定对应年产量. 【小问1详解】 由题设， 所以； 【小问2详解】 当，则的图象开口向下，且对称轴为， 所以，当百台时，年利润最大为万； 当，则万， 当且仅当时取等号，此时最大万； 综上可得百台时，年利润最大，为万. 19. 已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数. （1）求的解析式； （2）求的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2），，在R上为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数利用待定系数法求； （2）利用奇函数用特值法求，可得到解析式，再结合复合函数单调性去判断函数单调性； （3）根据函数的单调性与奇偶性，转化为对任意的恒成立，再结合二次函数的性质分类讨论求的取值范围． 【小问1详解】 解：设，则，∴，∴ 【小问2详解】 解：结合（1）得， ∵是上的奇函数，∴，即 ∴ 又，∴ ∴，定义域为， 检验满足奇函数， 所以， ∴， ∵函数在上单调递减，在上单调递增， ∴由复合函数单调性可知在上单调递减， ∴在R上为减函数 【小问3详解】 解：∵是奇函数， ∴ ∵在R上为减函数， ∴， 即对任意的，有恒成立， ∴对任意的恒成立，即，. 令，开口向上，对称轴为， ∴当，即时，在上单调递增，最小值为， 解得，故； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 最小值为，解得，故； 当，即时，在上单调递减，最小值为， 解得，与无交集，故无解. 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市第二外国语学校2025-2026学年上期末考 数学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ） A B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A B. C. D. 6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为，年月日我国唐山发生的里氏级地震与年月日我国汶川发生的里氏级地震所释放出来的能量的比值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象的一条对称轴是直线 C. 是奇函数 D. 若，则 8. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的65分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数在上为减函数 D. 函数在上为增函数 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 11. 已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得对，恒成立 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为_______． 13. 如果角满足，那么的值是_____ 14. 已知函数，对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数取值范围． 16. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求的值； （2）求值； （3）若角满足，且，求值. 17. 已知. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 18. 无人机凭借其灵活､便捷的优势，在农业､物流､安防等多个场景中落地，成为提升生活效率､丰富生活方式的重要工具.通过市场调查可知，某企业生产某款无人机需投入的年固定成本为1000万元，每生产百台该产品，需另投入变动成本万元，且，每台无人机售价3万元，假设生产的无人机当年能全部销售完. （1）求年利润（万元）关于年产量（百台）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本） （2）年产量为多少百台时，年利润最大？并求出最大利润. 19. 已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数. （1）求的解析式； （2）求的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $